La soluzione non basta: l’eredità di Fibonacci

Articolo originale di Salvatore Mosaico: «La soluzione non basta», pubblicato sulla rivista Alice & Bob, n. 17, il 18 maggio 2010. La dimostrazione attribuita a ChatGPT è un’integrazione successiva e non faceva parte della pubblicazione originale.

Riassunto

Sono sempre rimasto colpito dalla fantasia dei matematici antichi. Hanno inventato problemi molto belli, ma le soluzioni che danno spesso non sono dimostrate: semplicemente indicano il risultato con cui verificare la traccia del problema. Usando le tecniche attuali possiamo allora cercare la soluzione con equazioni, sistemi o altri strumenti.

Mi è capitato però di leggere la soluzione moderna di due problemi di Fibonacci tratti dal Liber Abaci. Sebbene corretta, mi lascia perplesso: trova i numeri, ma non risolve il problema nella sua essenza, cioè non spiega perché il meccanismo funzioni. In questo articolo provo a darne una spiegazione e a generalizzarlo.

Introduzione

Leggendo il libro Giochi matematici del Medioevo, a cura di Nando Geronimi, sono rimasto perplesso davanti alla soluzione proposta per il problema seguente.

Un tale, poco prima di morire, chiamò il figlio maggiore e gli disse: «Dividete tra voi le mie poche sostanze. Tu terrai 1 bisante e 1/7 dei rimanenti».

Al secondo figlio disse: «Tu prenderai 2 bisanti e 1/7 dei rimanenti».

Al terzo figlio disse: «Tu prenderai 3 bisanti e 1/7 dei rimanenti».

Così chiamò tutti i suoi figli in ordine decrescente di età, dando a ciascuno 1 bisante in più rispetto al figlio precedente e sempre 1/7 dei rimanenti. L’ultimo, infine, prese tutto quanto avanzava.

Dopo avere ripartito l’intera eredità, i figli videro che ognuno aveva ricevuto lo stesso numero di bisanti.

Quanti erano i figli e quanti bisanti ricevette ognuno?

Nota. Il problema compare nella parte settima del capitolo XII del Liber Abaci, con il titolo «L’eredità dei beni di un uomo», al foglio 70 recto del manoscritto.

La soluzione proposta

La soluzione proposta calcola quanto riceve il primo figlio e quanto riceve il secondo, poi impone che le due quantità siano uguali. Indichiamo con N il numero dei figli e con S la somma ricevuta da ciascuno; N · S è l’intera eredità.

Primo figlio:   1 + (N · S − 1) / 7
Secondo figlio: 2 + ((N − 1) · S − 2) / 7

Poiché entrambi ricevono S, si ottiene il sistema:

1 + (N · S − 1) / 7 = S
2 + ((N − 1) · S − 2) / 7 = S

Risolvendo si ricavano N = 6 e S = 6.

Verifica con 36 bisanti

La mia perplessità nasce dal fatto che, pur essendo corretto, il ragionamento non parte dall’ipotesi completa: i figli non sono soltanto due. Inoltre, perché anche il terzo, il quarto, il quinto e il sesto figlio ricevono la stessa somma?

Una soluzione che usa tutti i dati del problema

Partiamo dall’ipotesi corretta. Sia T l’intera eredità e sia k la somma ricevuta da ogni figlio. Prima del turno del figlio j sono già state distribuite (j − 1)k monete; il figlio j prende quindi:

j + [T − (j − 1)k − j] / 7

Poiché ogni figlio prende la stessa somma, per j = 1, 2, 3, … possiamo scrivere:

j + [T − (j − 1)k − j] / 7 = k

Moltiplicando entrambi i membri per 7 e sviluppando:

7j + T − (j − 1)k − j = 7k
7j + T − jk + k − j = 7k
T + k − 7k = jk − 7j + j
T − 6k = jk − 6j
T − 6k = j(k − 6)

Questa uguaglianza deve essere vera per ogni j. Ciò accade soltanto se T − 6k = 0 e k − 6 = 0. Dunque k = 6 e T = 36.

La prima generalizzazione

Osserviamo che nel problema 7 = k + 1. Proviamo allora a sostituire il denominatore 7 con k + 1 e vediamo che cosa succede. È un tentativo esplorativo: questa coincidenza, da sola, non garantisce che la formula funzioni anche negli altri casi.

j + [T − (j − 1)k − j] / (k + 1) = k

Moltiplichiamo entrambi i membri per k + 1:

(k + 1)j + T − (j − 1)k − j = (k + 1)k
(k + 1)j + T − jk + k − j = (k + 1)k
kj + j + T − jk + k − j = (k + 1)k
T + k = k² + k
T = k²

Perché funziona sempre — nota di ChatGPT

Nota esplicativa elaborata da ChatGPT nel dialogo con Salvatore Mosaico, aggiunta successivamente all’articolo originale del 2010. Il ragionamento seguente non parte dalla soluzione: parte soltanto dalla richiesta che le quote siano uguali.

Consideriamo due figli consecutivi. Il successivo prende un bisante fisso in più. Per ricevere complessivamente la stessa quota, deve quindi prendere un bisante in meno dalla parte frazionaria.

La frazione è un settimo: perché quella parte diminuisca di un bisante, la quantità su cui calcolarla deve diminuire di sette bisanti. Da dove viene questa diminuzione? Dalla quota assegnata al figlio precedente, ancora sconosciuta, e dal bisante fisso in più tolto per il successivo.

Chiamiamo k la quota comune. Otteniamo, senza conoscerne prima il valore:

k + 1 = 7 → k = 6

La quota di sei bisanti è dunque una conseguenza della compensazione, non un dato da cui siamo partiti. Il primo figlio deve ricevere sei: un bisante fisso e cinque dalla frazione. Dopo aver tolto il primo bisante devono esserci 5 × 7 = 35 bisanti; l’eredità iniziale è quindi 36. Divisa in quote da sei, corrisponde a sei figli.

Perché il meccanismo continua? Una volta assegnata una quota di sei, al turno successivo la base della frazione diminuisce di 6 + 1 = 7. Il settimo diminuisce di uno, mentre la parte fissa aumenta di uno: la quota rimane sei. Il primo turno funziona e ogni turno riproduce la stessa compensazione, fino all’ultimo:

1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3 = 4 + 2 = 5 + 1 = 6 + 0

Nel caso generale, con denominatore d e quota comune k, la diminuzione della base è k + 1. La compensazione impone (k + 1)/d = 1, quindi k = d − 1. Per il primo figlio: 1 + (T − 1)/d = d − 1, da cui T = (d − 1)² e n = T/k = d − 1. Per una distribuzione con almeno due figli e la stessa regola fino all’ultimo, prendiamo d intero ≥ 3. A ogni turno la compensazione conserva la quota fino a esaurire l’eredità.

È facile verificare il meccanismo dopo aver individuato che cosa confrontare; scoprirlo non è necessariamente immediato. La dimostrazione seguente formalizza questa spiegazione.

Dimostrazione della generalizzazione — contributo di ChatGPT

Questa dimostrazione è stata elaborata da ChatGPT nel dialogo con Salvatore Mosaico, come integrazione successiva all’articolo del 2010. Il tentativo esplorativo e la generalizzazione precedenti appartengono all’autore; qui se ne esplicitano necessità, sufficienza e meccanismo di compensazione.

1. Un denominatore indipendente

Non supponiamo che il denominatore sia k + 1: chiamiamolo d. Indichiamo con T l’eredità, con k > 0 la quota comune e con n ≥ 2 il numero dei figli; d > 1. Adottiamo la regola uniforme usata nelle verifiche: anche l’ultimo figlio segue la stessa procedura, esaurendo l’eredità. Se «l’ultimo prende tutto» fosse invece un’eccezione alla regola, andrebbero precisate separatamente le condizioni del problema.

Prima del figlio j, i precedenti j − 1 figli hanno ricevuto (j − 1)k. Il figlio j prende j bisanti, poi 1/d del resto. L’uguaglianza delle quote richiede:

j + [T − (j − 1)k − j]/d = k
dj + T − (j − 1)k − j = dk
dj + T − jk + k − j = dk
T − (d − 1)k = j[k − (d − 1)]

2. Perché deve essere d = k + 1

L’ultimo membro deve dare lo stesso valore per ogni j. Scriviamolo per j = 1 e j = 2 e sottraiamo:

j = 1:  T − (d − 1)k = k − (d − 1)
j = 2:  T − (d − 1)k = 2[k − (d − 1)]
0 = k − (d − 1)
k = d − 1;  d = k + 1

La relazione d = k + 1 non è più una supposizione: è necessaria. Sostituendola nell’equazione e usando T = nk, otteniamo:

T = (d − 1)k = k²
T = nk;  nk = k²;  n = k
d = n + 1;  k = n;  T = n²

3. Perché funziona per tutti i figli

Le condizioni necessarie non bastano: verifichiamo la sufficienza. Scegliamo un intero n ≥ 2, un’eredità n² e il denominatore n + 1. Supponiamo che i primi j − 1 figli abbiano ricevuto n ciascuno. Dopo aver assegnato i j bisanti fissi al figlio j, rimangono:

n² − (j − 1)n − j
= n² − jn + n − j
= (n + 1)(n − j)
j + [(n + 1)(n − j)]/(n + 1) = j + (n − j) = n

La parte frazionaria è n − j. La quota totale è quindi j + (n − j) = n. Per j = 1 non ci sono quote precedenti da supporre: questo verifica il primo passo. Il ragionamento passa poi da ogni figlio al successivo. Per 1 ≤ j ≤ n il resto è non negativo; all’ultimo turno la quota è n + 0 e l’eredità residua è n² − n × n = 0. È una dimostrazione per induzione, non una verifica limitata a qualche esempio.

4. Il meccanismo di compensazione

Da un figlio al successivo la parte fissa aumenta di 1. La base su cui calcolare la frazione diminuisce di k + 1: k già assegnati al figlio precedente e un bisante fisso in più al successivo. La parte frazionaria diminuisce dunque di (k + 1)/d. Per compensare esattamente l’aumento della parte fissa deve essere (k + 1)/d = 1, cioè d = k + 1. Ecco perché il meccanismo funziona.

5. Confronto con la seconda forma del problema

Nella seconda forma, descritta più avanti, si calcola prima la frazione del disponibile e poi si aggiungono j bisanti. Si ottiene invece:

j + [T − (j − 1)k]/d = k
T − (d − 1)k = j(k − d)
k = d;  T = d(d − 1);  n = d − 1
d = n + 1;  k = n + 1;  T = n(n + 1)

La base frazionaria ora diminuisce solo di k. La compensazione richiede k/d = 1. Anche la sufficienza si verifica: se T = n(n + 1) e ciascuno dei precedenti ha ricevuto n + 1, il figlio j riceve (n − j + 1) + j = n + 1, fino a esaurire l’eredità.

6. Una precisazione sul sistema dei primi due figli

Usare le equazioni dei primi due figli non significa supporre che i figli siano soltanto due: quelle equazioni sono condizioni necessarie anche quando i figli sono molti. Dopo aver trovato i valori candidati, occorre però dimostrare che funzionano per tutti e che esauriscono l’eredità. La formula con j rende trasparente questo passaggio. Il tentativo racconta la scoperta; il denominatore indipendente dimostra la necessità; l’induzione dimostra la sufficienza.

Poiché l’eredità totale è anche T = N · k, dall’uguaglianza T = k² segue N = k (con k > 0). La situazione si verifica dunque quando l’eredità è il quadrato del numero dei figli.

Esempio con 8 figli e 64 bisanti

Un tale, poco prima di morire, chiamò il figlio maggiore e gli disse: «Dividete tra voi le mie poche sostanze. Tu terrai 1 bisante e 1/9 dei rimanenti».

Al secondo figlio disse: «Tu prenderai 2 bisanti e 1/9 dei rimanenti».

Al terzo figlio disse: «Tu prenderai 3 bisanti e 1/9 dei rimanenti».

Così chiamò tutti i suoi figli in ordine decrescente di età, dando a ciascuno 1 bisante in più rispetto al figlio precedente e sempre 1/9 dei rimanenti. L’ultimo, infine, prese tutto quanto avanzava.

Dopo avere ripartito l’intera eredità, i figli videro che ognuno aveva ricevuto lo stesso numero di bisanti.

Quanti erano i figli e quanti bisanti ricevette ognuno?

Esempio con 9 figli e 81 bisanti

Un tale, poco prima di morire, chiamò il figlio maggiore e gli disse: «Dividete tra voi le mie poche sostanze. Tu terrai 1 bisante e 1/10 dei rimanenti».

Al secondo figlio disse: «Tu prenderai 2 bisanti e 1/10 dei rimanenti».

Al terzo figlio disse: «Tu prenderai 3 bisanti e 1/10 dei rimanenti».

Così chiamò tutti i suoi figli in ordine decrescente di età, dando a ciascuno 1 bisante in più rispetto al figlio precedente e sempre 1/10 dei rimanenti. L’ultimo, infine, prese tutto quanto avanzava.

Dopo avere ripartito l’intera eredità, i figli videro che ognuno aveva ricevuto lo stesso numero di bisanti.

Quanti erano i figli e quanti bisanti ricevette ognuno?

Verifica sintetica. Prima del turno del figlio j restano 81 − (j − 1) · 9 = 9(10 − j) bisanti. La sua quota è quindi:

j + [9(10 − j) − j] / 10 = 9

L’identità vale per ogni j = 1, …, 9; di conseguenza, tutti i nove figli ricevono 9 bisanti.

Conclusioni sulla prima forma

In generale, se vi sono n figli e un’eredità di n² bisanti, il problema diventa:

Un tale, poco prima di morire, chiamò il figlio maggiore e gli disse: «Dividete tra voi le mie poche sostanze. Tu terrai 1 bisante e 1/(n + 1) dei rimanenti».

Al secondo figlio disse: «Tu prenderai 2 bisanti e 1/(n + 1) dei rimanenti».

Al terzo figlio disse: «Tu prenderai 3 bisanti e 1/(n + 1) dei rimanenti».

Così chiamò tutti i suoi figli in ordine decrescente di età, dando a ciascuno 1 bisante in più rispetto al figlio precedente e sempre 1/(n + 1) dei rimanenti. L’ultimo, infine, prese tutto quanto avanzava.

Dopo avere ripartito l’intera eredità, i figli videro che ognuno aveva ricevuto lo stesso numero di bisanti.

Quanti erano i figli e quanti bisanti ricevette ognuno?

Risposta: i figli erano n, l’eredità era di n² bisanti e ciascun figlio ricevette n bisanti.

Una seconda forma del problema

Con lo stesso procedimento si può generalizzare anche il problema seguente, nel quale si calcola prima la frazione del denaro disponibile e poi si aggiunge il numero fisso di bisanti.

Un tale, poco prima di morire, chiamò il figlio maggiore e gli disse: «Dividete tra voi, figli miei, le mie piccole sostanze. Tu terrai 1/7 di tutti i bisanti più 1 bisante».

Al secondo figlio disse: «Tu prenderai 1/7 dei bisanti rimanenti più altri 2 bisanti».

Così chiamò tutti i suoi figli in ordine decrescente di età, dando a ciascuno 1/7 dei bisanti rimanenti e un bisante in più rispetto al figlio precedente.

Dopo avere ripartito l’intera eredità, i figli videro che ognuno aveva ricevuto lo stesso numero di bisanti.

Quanti erano i figli e quanti bisanti ricevette ognuno?

Nota. Anche questo problema compare nella parte settima del capitolo XII del Liber Abaci, con il titolo «L’eredità dei beni di un uomo», al foglio 70 recto del manoscritto.

La soluzione proposta pone ancora N uguale al numero dei figli e S uguale alla quota di ciascuno:

Primo figlio:   (N · S) / 7 + 1 = S
Secondo figlio: ((N − 1) · S) / 7 + 2 = S

Le soluzioni sono N = 6 e S = 7.

Verifica con 42 bisanti

Analogamente a quanto fatto prima, si dimostra facilmente che, in generale, se n è il numero dei figli, l’eredità è n(n + 1) e ciascuno riceve n + 1 bisanti. La formulazione diventa:

Un tale, poco prima di morire, chiamò il figlio maggiore e gli disse: «Dividete tra voi, figli miei, le mie piccole sostanze. Tu terrai 1/(n + 1) di tutti i bisanti più 1 bisante».

Al secondo figlio disse: «Tu prenderai 1/(n + 1) dei bisanti rimanenti più altri 2 bisanti».

Così chiamò tutti i suoi figli in ordine decrescente di età, dando a ciascuno 1/(n + 1) dei bisanti rimanenti e un bisante in più rispetto al figlio precedente.

Dopo avere ripartito l’intera eredità, i figli videro che ognuno aveva ricevuto lo stesso numero di bisanti.

Quanti erano i figli e quanti bisanti ricevette ognuno?

Dimostrazione della seconda generalizzazione

Siano T = n(n + 1) l’eredità e k = n + 1 la quota comune. Prima del turno del figlio j rimane:

T − (j − 1)k = (n − j + 1)(n + 1)

La somma ricevuta dal figlio j è quindi:

[T − (j − 1)k] / (n + 1) + j
= n − j + 1 + j
= n + 1

Il calcolo vale per ogni j = 1, …, n; pertanto tutti gli n figli ricevono la stessa quota.

Risposta: i figli sono n, ciascuno riceve n + 1 bisanti e l’eredità è di n(n + 1) bisanti.

A cura di Salvatore Mosaico.

Dal 2010 al 2026: l’eredità in forma generalizzata