La soluzione non basta: l’eredità di Fibonacci

Riassunto

Sono sempre rimasto colpito dalla fantasia dei matematici antichi. Hanno inventato problemi molto belli, ma le soluzioni che danno spesso non sono dimostrate: semplicemente indicano il risultato con cui verificare la traccia del problema. Usando le tecniche attuali possiamo allora cercare la soluzione con equazioni, sistemi o altri strumenti.

Mi è capitato però di leggere la soluzione moderna di due problemi di Fibonacci tratti dal Liber Abaci. Sebbene corretta, mi lascia perplesso: trova i numeri, ma non risolve il problema nella sua essenza, cioè non spiega perché il meccanismo funzioni. In questo articolo provo a darne una spiegazione e a generalizzarlo.

Introduzione

Leggendo il libro Giochi matematici del Medioevo, a cura di Nando Geronimi, sono rimasto perplesso davanti alla soluzione proposta per il problema seguente.

Un tale, poco prima di morire, chiamò il figlio maggiore e gli disse: «Dividete tra voi le mie poche sostanze. Tu terrai 1 bisante e 1/7 dei rimanenti».

Al secondo figlio disse: «Tu prenderai 2 bisanti e 1/7 dei rimanenti».

Al terzo figlio disse: «Tu prenderai 3 bisanti e 1/7 dei rimanenti».

Così chiamò tutti i suoi figli in ordine decrescente di età, dando a ciascuno 1 bisante in più rispetto al figlio precedente e sempre 1/7 dei rimanenti. L’ultimo, infine, prese tutto quanto avanzava.

Dopo avere ripartito l’intera eredità, i figli videro che ognuno aveva ricevuto lo stesso numero di bisanti.

Quanti erano i figli e quanti bisanti ricevette ognuno?

Nota. Il problema compare nella parte settima del capitolo XII del Liber Abaci, con il titolo «L’eredità dei beni di un uomo», al foglio 70 recto del manoscritto.

La soluzione proposta

La soluzione proposta calcola quanto riceve il primo figlio e quanto riceve il secondo, poi impone che le due quantità siano uguali. Indichiamo con N il numero dei figli e con S la somma ricevuta da ciascuno; N · S è l’intera eredità.

Primo figlio:   1 + (N · S − 1) / 7
Secondo figlio: 2 + ((N − 1) · S − 2) / 7

Poiché entrambi ricevono S, si ottiene il sistema:

1 + (N · S − 1) / 7 = S
2 + ((N − 1) · S − 2) / 7 = S

Risolvendo si ricavano N = 6 e S = 6.

Verifica con 36 bisanti

La mia perplessità nasce dal fatto che, pur essendo corretto, il ragionamento non parte dall’ipotesi completa: i figli non sono soltanto due. Inoltre, perché anche il terzo, il quarto, il quinto e il sesto figlio ricevono la stessa somma?

Una soluzione che usa tutti i dati del problema

Partiamo dall’ipotesi corretta. Sia T l’intera eredità e sia k la somma ricevuta da ogni figlio. Prima del turno del figlio j sono già state distribuite (j − 1)k monete; il figlio j prende quindi:

j + [T − (j − 1)k − j] / 7

Poiché ogni figlio prende la stessa somma, per j = 1, 2, 3, … possiamo scrivere:

j + [T − (j − 1)k − j] / 7 = k

Moltiplicando entrambi i membri per 7 e sviluppando:

7j + T − (j − 1)k − j = 7k
7j + T − jk + k − j = 7k
T + k − 7k = jk − 7j + j
T − 6k = jk − 6j
T − 6k = j(k − 6)

Questa uguaglianza deve essere vera per ogni j. Ciò accade soltanto se T − 6k = 0 e k − 6 = 0. Dunque k = 6 e T = 36.

La prima generalizzazione

Osserviamo che nel problema 7 = k + 1. Per capire se la struttura si può generalizzare, sostituiamo quindi k + 1 al denominatore 7:

j + [T − (j − 1)k − j] / (k + 1) = k

Moltiplichiamo entrambi i membri per k + 1:

(k + 1)j + T − (j − 1)k − j = (k + 1)k
(k + 1)j + T − jk + k − j = (k + 1)k
kj + j + T − jk + k − j = (k + 1)k
T + k = k² + k
T = k²

Poiché l’eredità totale è anche T = N · k, dall’uguaglianza T = k² segue N = k (con k > 0). La situazione si verifica dunque quando l’eredità è il quadrato del numero dei figli.

Esempio con 8 figli e 64 bisanti

Un tale, poco prima di morire, chiamò il figlio maggiore e gli disse: «Dividete tra voi le mie poche sostanze. Tu terrai 1 bisante e 1/9 dei rimanenti».

Al secondo figlio disse: «Tu prenderai 2 bisanti e 1/9 dei rimanenti».

Al terzo figlio disse: «Tu prenderai 3 bisanti e 1/9 dei rimanenti».

Così chiamò tutti i suoi figli in ordine decrescente di età, dando a ciascuno 1 bisante in più rispetto al figlio precedente e sempre 1/9 dei rimanenti. L’ultimo, infine, prese tutto quanto avanzava.

Dopo avere ripartito l’intera eredità, i figli videro che ognuno aveva ricevuto lo stesso numero di bisanti.

Quanti erano i figli e quanti bisanti ricevette ognuno?

Esempio con 9 figli e 81 bisanti

Un tale, poco prima di morire, chiamò il figlio maggiore e gli disse: «Dividete tra voi le mie poche sostanze. Tu terrai 1 bisante e 1/10 dei rimanenti».

Al secondo figlio disse: «Tu prenderai 2 bisanti e 1/10 dei rimanenti».

Al terzo figlio disse: «Tu prenderai 3 bisanti e 1/10 dei rimanenti».

Così chiamò tutti i suoi figli in ordine decrescente di età, dando a ciascuno 1 bisante in più rispetto al figlio precedente e sempre 1/10 dei rimanenti. L’ultimo, infine, prese tutto quanto avanzava.

Dopo avere ripartito l’intera eredità, i figli videro che ognuno aveva ricevuto lo stesso numero di bisanti.

Quanti erano i figli e quanti bisanti ricevette ognuno?

Verifica sintetica. Prima del turno del figlio j restano 81 − (j − 1) · 9 = 9(10 − j) bisanti. La sua quota è quindi:

j + [9(10 − j) − j] / 10 = 9

L’identità vale per ogni j = 1, …, 9; di conseguenza, tutti i nove figli ricevono 9 bisanti.

Conclusioni sulla prima forma

In generale, se vi sono n figli e un’eredità di n² bisanti, il problema diventa:

Un tale, poco prima di morire, chiamò il figlio maggiore e gli disse: «Dividete tra voi le mie poche sostanze. Tu terrai 1 bisante e 1/(n + 1) dei rimanenti».

Al secondo figlio disse: «Tu prenderai 2 bisanti e 1/(n + 1) dei rimanenti».

Al terzo figlio disse: «Tu prenderai 3 bisanti e 1/(n + 1) dei rimanenti».

Così chiamò tutti i suoi figli in ordine decrescente di età, dando a ciascuno 1 bisante in più rispetto al figlio precedente e sempre 1/(n + 1) dei rimanenti. L’ultimo, infine, prese tutto quanto avanzava.

Dopo avere ripartito l’intera eredità, i figli videro che ognuno aveva ricevuto lo stesso numero di bisanti.

Quanti erano i figli e quanti bisanti ricevette ognuno?

Risposta: i figli erano n, l’eredità era di n² bisanti e ciascun figlio ricevette n bisanti.

Una seconda forma del problema

Con lo stesso procedimento si può generalizzare anche il problema seguente, nel quale si calcola prima la frazione del denaro disponibile e poi si aggiunge il numero fisso di bisanti.

Un tale, poco prima di morire, chiamò il figlio maggiore e gli disse: «Dividete tra voi, figli miei, le mie piccole sostanze. Tu terrai 1/7 di tutti i bisanti più 1 bisante».

Al secondo figlio disse: «Tu prenderai 1/7 dei bisanti rimanenti più altri 2 bisanti».

Così chiamò tutti i suoi figli in ordine decrescente di età, dando a ciascuno 1/7 dei bisanti rimanenti e un bisante in più rispetto al figlio precedente.

Dopo avere ripartito l’intera eredità, i figli videro che ognuno aveva ricevuto lo stesso numero di bisanti.

Quanti erano i figli e quanti bisanti ricevette ognuno?

Nota. Anche questo problema compare nella parte settima del capitolo XII del Liber Abaci, con il titolo «L’eredità dei beni di un uomo», al foglio 70 recto del manoscritto.

La soluzione proposta pone ancora N uguale al numero dei figli e S uguale alla quota di ciascuno:

Primo figlio:   (N · S) / 7 + 1 = S
Secondo figlio: ((N − 1) · S) / 7 + 2 = S

Le soluzioni sono N = 6 e S = 7.

Verifica con 42 bisanti

Analogamente a quanto fatto prima, si dimostra facilmente che, in generale, se n è il numero dei figli, l’eredità è n(n + 1) e ciascuno riceve n + 1 bisanti. La formulazione diventa:

Un tale, poco prima di morire, chiamò il figlio maggiore e gli disse: «Dividete tra voi, figli miei, le mie piccole sostanze. Tu terrai 1/(n + 1) di tutti i bisanti più 1 bisante».

Al secondo figlio disse: «Tu prenderai 1/(n + 1) dei bisanti rimanenti più altri 2 bisanti».

Così chiamò tutti i suoi figli in ordine decrescente di età, dando a ciascuno 1/(n + 1) dei bisanti rimanenti e un bisante in più rispetto al figlio precedente.

Dopo avere ripartito l’intera eredità, i figli videro che ognuno aveva ricevuto lo stesso numero di bisanti.

Quanti erano i figli e quanti bisanti ricevette ognuno?

Dimostrazione della seconda generalizzazione

Siano T = n(n + 1) l’eredità e k = n + 1 la quota comune. Prima del turno del figlio j rimane:

T − (j − 1)k = (n − j + 1)(n + 1)

La somma ricevuta dal figlio j è quindi:

[T − (j − 1)k] / (n + 1) + j
= n − j + 1 + j
= n + 1

Il calcolo vale per ogni j = 1, …, n; pertanto tutti gli n figli ricevono la stessa quota.

Risposta: i figli sono n, ciascuno riceve n + 1 bisanti e l’eredità è di n(n + 1) bisanti.

A cura di Salvatore Mosaico.