La solution ne suffit pas : l’héritage de Fibonacci

Article original de Salvatore Mosaico : «La soluzione non basta», publié dans Alice & Bob, n° 17, le 18 mai 2010. La démonstration attribuée à ChatGPT est un complément ultérieur, absent de la publication originale.

Résumé

J’ai toujours été frappé par l’imagination des mathématiciens anciens. Ils ont inventé de très beaux problèmes, mais les solutions qu’ils donnent ne sont souvent pas démontrées : elles indiquent simplement le résultat qui permet de vérifier les données du problème. Grâce aux techniques actuelles, nous pouvons alors chercher la solution à l’aide d’équations, de systèmes ou d’autres outils.

Il m’est toutefois arrivé de lire les solutions modernes de deux problèmes de Fibonacci tirés du Liber Abaci. Bien qu’elles soient correctes, elles me laissent perplexe : elles trouvent les nombres sans résoudre le problème dans son essence, car elles n’expliquent pas pourquoi le mécanisme fonctionne. Dans cet article, je propose une explication ainsi qu’une généralisation.

Introduction

En lisant le livre Jeux mathématiques du Moyen Âge, sous la direction de Nando Geronimi, je suis resté perplexe devant la solution proposée au problème suivant.

Peu avant de mourir, un homme appela son fils aîné et lui dit : « Partagez entre vous mes modestes biens. Tu garderas 1 besant et 1/7 de ce qui reste. »

Au deuxième fils, il dit : « Tu prendras 2 besants et 1/7 de ce qui reste. »

Au troisième fils, il dit : « Tu prendras 3 besants et 1/7 de ce qui reste. »

Il appela ainsi tous ses fils par ordre d’âge décroissant, donnant à chacun 1 besant de plus qu’au fils précédent et toujours 1/7 de ce qui restait. Enfin, le dernier prit tout ce qui restait.

Après le partage de la totalité de l’héritage, les fils constatèrent que chacun avait reçu le même nombre de besants.

Combien y avait-il de fils et combien de besants chacun reçut-il ?

Note. Le problème figure dans la septième partie du chapitre XII du Liber Abaci, sous le titre « L’héritage des biens d’un homme », au folio 70 recto du manuscrit.

La solution proposée

La solution proposée calcule ce que reçoit le premier fils et ce que reçoit le deuxième, puis impose l’égalité de ces deux quantités. Notons N le nombre de fils et S la somme reçue par chacun ; N · S représente la totalité de l’héritage.

Premier fils :  1 + (N · S − 1) / 7
Deuxième fils : 2 + ((N − 1) · S − 2) / 7

Puisque tous deux reçoivent S, on obtient le système :

1 + (N · S − 1) / 7 = S
2 + ((N − 1) · S − 2) / 7 = S

Sa résolution donne N = 6 et S = 6.

Vérification avec 36 besants

Ma, même si le raisonnement est correct, il ne part pas de l’hypothèse complète : les fils ne sont pas seulement deux. De plus, pourquoi le troisième, le quatrième, le cinquième et le sixième fils reçoivent-ils eux aussi la même somme ?

Une solution qui utilise toutes les données

Partons de l’hypothèse correcte. Soit T la totalité de l’héritage et k la somme reçue par chaque fils. Avant le tour du fils j, (j − 1)k pièces ont déjà été distribuées. Le fils j reçoit donc :

j + [T − (j − 1)k − j] / 7

Puisque chacun reçoit la même somme, nous pouvons écrire, pour j = 1, 2, 3, … :

j + [T − (j − 1)k − j] / 7 = k

Multiplions les deux membres par 7 et développons :

7j + T − (j − 1)k − j = 7k
7j + T − jk + k − j = 7k
T + k − 7k = jk − 7j + j
T − 6k = jk − 6j
T − 6k = j(k − 6)

Cette égalité doit être vraie pour toute valeur de j. Cela ne se produit que si T − 6k = 0 et k − 6 = 0. Ainsi, k = 6 et T = 36.

La première généralisation

Dans ce problème, 7 = k + 1. Essayons de remplacer le dénominateur 7 par k + 1 et observons le résultat. Il s’agit d’une tentative exploratoire : cette coïncidence ne garantit pas, à elle seule, que la formule fonctionne dans les autres cas.

j + [T − (j − 1)k − j] / (k + 1) = k

En multipliant les deux membres par k + 1, on obtient :

(k + 1)j + T − (j − 1)k − j = (k + 1)k
(k + 1)j + T − jk + k − j = (k + 1)k
kj + j + T − jk + k − j = (k + 1)k
T + k = k² + k
T = k²

Pourquoi cela fonctionne toujours — note de ChatGPT

Note explicative élaborée par ChatGPT dans un dialogue avec Salvatore Mosaico, ajoutée après l’article original de 2010. Ce raisonnement ne part pas de la solution : il part uniquement de l’exigence de parts égales.

Considérons deux fils consécutifs. Le suivant prend un besant fixe de plus. Pour recevoir la même part totale, il doit donc recevoir un besant de moins dans la partie fractionnaire.

La fraction est un septième : pour que cette partie diminue d’un besant, sa base de calcul doit diminuer de sept. D’où vient cette diminution ? De la part encore inconnue attribuée au fils précédent et du besant fixe supplémentaire retiré pour le suivant.

Notons k la part commune. Sans connaître sa valeur à l’avance, nous obtenons :

k + 1 = 7 → k = 6

La part de six besants découle donc de la compensation ; elle n’était pas notre point de départ. Le premier fils doit recevoir six : un besant fixe et cinq provenant de la fraction. Après avoir retiré le premier besant, il doit rester 5 × 7 = 35 besants ; l’héritage initial vaut donc 36. Partagé en parts de six, il correspond à six fils.

Pourquoi le mécanisme continue-t-il ? Après l’attribution d’une part de six, la base fractionnaire suivante diminue de 6 + 1 = 7. Le septième diminue de un, tandis que la partie fixe augmente de un : la part reste six. Le premier tour fonctionne et chaque tour reproduit la même compensation jusqu’au dernier :

1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3 = 4 + 2 = 5 + 1 = 6 + 0

En général, avec un dénominateur d et une part commune k, la base diminue de k + 1. La compensation impose (k + 1)/d = 1, donc k = d − 1. Pour le premier fils, 1 + (T − 1)/d = d − 1 donne T = (d − 1)² et n = T/k = d − 1. Pour au moins deux fils et une règle identique jusqu’au dernier tour, prenons un entier d ≥ 3. À chaque tour, la compensation conserve la part jusqu’à épuisement de l’héritage.

Le mécanisme est facile à vérifier une fois que l’on sait quoi comparer ; le découvrir n’est pas nécessairement immédiat. La démonstration suivante formalise cette explication.

Démonstration de la généralisation — contribution de ChatGPT

Cette démonstration a été élaborée par ChatGPT dans un dialogue avec Salvatore Mosaico, comme complément ultérieur à l’article de 2010. La tentative exploratoire et la généralisation précédentes appartiennent à l’auteur ; ce complément explicite leur nécessité, leur suffisance et le mécanisme de compensation.

1. Un dénominateur indépendant

Ne supposons pas que le dénominateur vaut k + 1 : appelons-le d. Notons T l’héritage, k > 0 la part commune et n ≥ 2 le nombre de fils ; d > 1. Nous adoptons la règle uniforme des vérifications : le dernier fils suit lui aussi la même procédure, qui épuise l’héritage. Si «le dernier prend tout» constituait une exception, il faudrait préciser séparément les conditions.

Avant le fils j, les j − 1 fils précédents ont reçu (j − 1)k. Le fils j prend j besants, puis 1/d du reste. L’égalité des parts exige :

j + [T − (j − 1)k − j]/d = k
dj + T − (j − 1)k − j = dk
dj + T − jk + k − j = dk
T − (d − 1)k = j[k − (d − 1)]

2. Pourquoi d doit être égal à k + 1

Le dernier membre de droite doit donner la même valeur pour tout j. Écrivons-le pour j = 1 et j = 2, puis soustrayons :

j = 1:  T − (d − 1)k = k − (d − 1)
j = 2:  T − (d − 1)k = 2[k − (d − 1)]
0 = k − (d − 1)
k = d − 1;  d = k + 1

La relation d = k + 1 n’est plus une supposition : elle est nécessaire. En la substituant et en utilisant T = nk, on obtient :

T = (d − 1)k = k²
T = nk;  nk = k²;  n = k
d = n + 1;  k = n;  T = n²

3. Pourquoi cela fonctionne pour tous les fils

Les conditions nécessaires ne suffisent pas : vérifions la suffisance. Choisissons un entier n ≥ 2, un héritage n² et le dénominateur n + 1. Supposons que les j − 1 premiers fils aient reçu n chacun. Après avoir attribué les j besants fixes au fils j, il reste :

n² − (j − 1)n − j
= n² − jn + n − j
= (n + 1)(n − j)
j + [(n + 1)(n − j)]/(n + 1) = j + (n − j) = n

La partie fractionnaire vaut n − j. La part totale est donc j + (n − j) = n. Pour j = 1, aucune part précédente n’est à supposer : le premier pas est vérifié. Le raisonnement passe ensuite de chaque fils au suivant. Pour 1 ≤ j ≤ n, le reste est non négatif ; la dernière part vaut n + 0, laissant n² − n × n = 0. C’est une démonstration par récurrence, et non une simple vérification de quelques exemples.

4. Le mécanisme de compensation

D’un fils au suivant, la partie fixe augmente de 1. La base de calcul de la fraction diminue de k + 1 : k déjà attribués au précédent, plus un besant fixe supplémentaire pour le suivant. La partie fractionnaire diminue donc de (k + 1)/d. Pour compenser exactement l’augmentation fixe, il faut (k + 1)/d = 1, donc d = k + 1. Voilà pourquoi le mécanisme fonctionne.

5. Comparaison avec la seconde forme

Dans la seconde forme, décrite plus loin, on calcule d’abord la fraction du montant disponible, puis on ajoute j besants. On obtient alors :

j + [T − (j − 1)k]/d = k
T − (d − 1)k = j(k − d)
k = d;  T = d(d − 1);  n = d − 1
d = n + 1;  k = n + 1;  T = n(n + 1)

La base fractionnaire diminue maintenant seulement de k. La compensation impose k/d = 1. La suffisance se vérifie également : avec T = n(n + 1), si chaque fils précédent a reçu n + 1, le fils j reçoit (n − j + 1) + j = n + 1, jusqu’à épuisement de l’héritage.

6. Une précision sur les deux premières équations

Utiliser les équations des deux premiers fils ne signifie pas supposer qu’il n’y a que deux fils : ces conditions sont nécessaires même s’ils sont nombreux. Après avoir trouvé les valeurs candidates, il faut toutefois montrer qu’elles fonctionnent pour tous et épuisent l’héritage. La formule en j explicite cette étape. L’exploration raconte la découverte ; le dénominateur indépendant démontre la nécessité ; la récurrence démontre la suffisance.

Comme l’héritage total vaut aussi T = N · k, l’égalité T = k² implique N = k (pour k > 0). La situation se produit donc lorsque l’héritage est le carré du nombre de fils.

Exemple avec 8 fils et 64 besants

Peu avant de mourir, un homme appela son fils aîné et lui dit : « Partagez entre vous mes modestes biens. Tu garderas 1 besant et 1/9 de ce qui reste. »

Au deuxième fils, il dit : « Tu prendras 2 besants et 1/9 de ce qui reste. »

Au troisième fils, il dit : « Tu prendras 3 besants et 1/9 de ce qui reste. »

Il appela ainsi tous ses fils par ordre d’âge décroissant, donnant à chacun 1 besant de plus qu’au fils précédent et toujours 1/9 de ce qui restait. Enfin, le dernier prit tout ce qui restait.

Après le partage de la totalité de l’héritage, les fils constatèrent que chacun avait reçu le même nombre de besants.

Combien y avait-il de fils et combien de besants chacun reçut-il ?

Exemple avec 9 fils et 81 besants

Peu avant de mourir, un homme appela son fils aîné et lui dit : « Partagez entre vous mes modestes biens. Tu garderas 1 besant et 1/10 de ce qui reste. »

Au deuxième fils, il dit : « Tu prendras 2 besants et 1/10 de ce qui reste. »

Au troisième fils, il dit : « Tu prendras 3 besants et 1/10 de ce qui reste. »

Il appela ainsi tous ses fils par ordre d’âge décroissant, donnant à chacun 1 besant de plus qu’au fils précédent et toujours 1/10 de ce qui restait. Enfin, le dernier prit tout ce qui restait.

Après le partage de la totalité de l’héritage, les fils constatèrent que chacun avait reçu le même nombre de besants.

Combien y avait-il de fils et combien de besants chacun reçut-il ?

Vérification synthétique. Avant le tour du fils j, il reste 81 − (j − 1) · 9 = 9(10 − j) besants. Sa part est donc :

j + [9(10 − j) − j] / 10 = 9

Cette identité est vraie pour tout j = 1, …, 9 ; chacun des neuf fils reçoit donc 9 besants.

Conclusion sur la première forme

En général, s’il y a n fils et un héritage de n² besants, le problème devient :

Peu avant de mourir, un homme appela son fils aîné et lui dit : « Partagez entre vous mes modestes biens. Tu garderas 1 besant et 1/(n + 1) de ce qui reste. »

Au deuxième fils, il dit : « Tu prendras 2 besants et 1/(n + 1) de ce qui reste. »

Au troisième fils, il dit : « Tu prendras 3 besants et 1/(n + 1) de ce qui reste. »

Il appela ainsi tous ses fils par ordre d’âge décroissant, donnant à chacun 1 besant de plus qu’au fils précédent et toujours 1/(n + 1) de ce qui restait. Enfin, le dernier prit tout ce qui restait.

Après le partage de la totalité de l’héritage, les fils constatèrent que chacun avait reçu le même nombre de besants.

Combien y avait-il de fils et combien de besants chacun reçut-il ?

Réponse : il y avait n fils, l’héritage était de n² besants et chacun reçut n besants.

Une seconde forme du problème

Le même raisonnement permet aussi de généraliser le problème suivant, dans lequel on calcule d’abord la fraction de l’argent disponible, puis on ajoute le nombre fixe de besants.

Peu avant de mourir, un homme appela son fils aîné et lui dit : « Mes fils, partagez entre vous mes modestes biens. Tu garderas 1/7 de tous les besants, plus 1 besant. »

Au deuxième fils, il dit : « Tu prendras 1/7 des besants restants, plus 2 autres besants. »

Il appela ainsi tous ses fils par ordre d’âge décroissant, donnant à chacun 1/7 des besants restants et un besant de plus qu’au fils précédent.

Après le partage de la totalité de l’héritage, les fils constatèrent que chacun avait reçu le même nombre de besants.

Combien y avait-il de fils et combien de besants chacun reçut-il ?

Note. Ce problème figure lui aussi dans la septième partie du chapitre XII du Liber Abaci, sous le titre « L’héritage des biens d’un homme », au folio 70 recto du manuscrit.

La solution proposée note encore N le nombre de fils et S la part de chacun :

Premier fils :  (N · S) / 7 + 1 = S
Deuxième fils : ((N − 1) · S) / 7 + 2 = S

Les solutions sont N = 6 et S = 7.

Vérification avec 42 besants

Comme précédemment, on démontre facilement que, de manière générale, si n est le nombre de fils, l’héritage vaut n(n + 1) et chacun reçoit n + 1 besants. L’énoncé devient :

Peu avant de mourir, un homme appela son fils aîné et lui dit : « Mes fils, partagez entre vous mes modestes biens. Tu garderas 1/(n + 1) de tous les besants, plus 1 besant. »

Au deuxième fils, il dit : « Tu prendras 1/(n + 1) des besants restants, plus 2 autres besants. »

Il appela ainsi tous ses fils par ordre d’âge décroissant, donnant à chacun 1/(n + 1) des besants restants et un besant de plus qu’au fils précédent.

Après le partage de la totalité de l’héritage, les fils constatèrent que chacun avait reçu le même nombre de besants.

Combien y avait-il de fils et combien de besants chacun reçut-il ?

Démonstration de la seconde généralisation

Soient T = n(n + 1) l’héritage et k = n + 1 la part commune. Avant le tour du fils j, il reste :

T − (j − 1)k = (n − j + 1)(n + 1)

La somme reçue par le fils j est donc :

[T − (j − 1)k] / (n + 1) + j
= n − j + 1 + j
= n + 1

Le calcul est valable pour tout j = 1, …, n ; les n fils reçoivent donc tous la même part.

Réponse : il y a n fils, chacun reçoit n + 1 besants et l’héritage est de n(n + 1) besants.

Préparé par Salvatore Mosaico.

De 2010 à 2026 : le problème de l’héritage généralisé