Résumé
J’ai toujours été frappé par l’imagination des mathématiciens anciens. Ils ont inventé de très beaux problèmes, mais les solutions qu’ils donnent ne sont souvent pas démontrées : elles indiquent simplement le résultat qui permet de vérifier les données du problème. Grâce aux techniques actuelles, nous pouvons alors chercher la solution à l’aide d’équations, de systèmes ou d’autres outils.
Il m’est toutefois arrivé de lire les solutions modernes de deux problèmes de Fibonacci tirés du Liber Abaci. Bien qu’elles soient correctes, elles me laissent perplexe : elles trouvent les nombres sans résoudre le problème dans son essence, car elles n’expliquent pas pourquoi le mécanisme fonctionne. Dans cet article, je propose une explication ainsi qu’une généralisation.
Introduction
En lisant le livre Jeux mathématiques du Moyen Âge, sous la direction de Nando Geronimi, je suis resté perplexe devant la solution proposée au problème suivant.
Peu avant de mourir, un homme appela son fils aîné et lui dit : « Partagez entre vous mes modestes biens. Tu garderas 1 besant et 1/7 de ce qui reste. »
Au deuxième fils, il dit : « Tu prendras 2 besants et 1/7 de ce qui reste. »
Au troisième fils, il dit : « Tu prendras 3 besants et 1/7 de ce qui reste. »
Il appela ainsi tous ses fils par ordre d’âge décroissant, donnant à chacun 1 besant de plus qu’au fils précédent et toujours 1/7 de ce qui restait. Enfin, le dernier prit tout ce qui restait.
Après le partage de la totalité de l’héritage, les fils constatèrent que chacun avait reçu le même nombre de besants.
Combien y avait-il de fils et combien de besants chacun reçut-il ?
Note. Le problème figure dans la septième partie du chapitre XII du Liber Abaci, sous le titre « L’héritage des biens d’un homme », au folio 70 recto du manuscrit.
La solution proposée
La solution proposée calcule ce que reçoit le premier fils et ce que reçoit le deuxième, puis impose l’égalité de ces deux quantités. Notons N le nombre de fils et S la somme reçue par chacun ; N · S représente la totalité de l’héritage.
Premier fils : 1 + (N · S − 1) / 7
Deuxième fils : 2 + ((N − 1) · S − 2) / 7Puisque tous deux reçoivent S, on obtient le système :
1 + (N · S − 1) / 7 = S
2 + ((N − 1) · S − 2) / 7 = SSa résolution donne N = 6 et S = 6.
Vérification avec 36 besants
| Fils | Calcul de la part | Reste |
|---|---|---|
| 1er | 1 + (36 − 1)/7 = 1 + 35/7 = 6 | 36 − 6 = 30 |
| 2e | 2 + (30 − 2)/7 = 2 + 28/7 = 6 | 30 − 6 = 24 |
| 3e | 3 + (24 − 3)/7 = 3 + 21/7 = 6 | 24 − 6 = 18 |
| 4e | 4 + (18 − 4)/7 = 4 + 14/7 = 6 | 18 − 6 = 12 |
| 5e | 5 + (12 − 5)/7 = 5 + 7/7 = 6 | 12 − 6 = 6 |
| 6e | 6 + (6 − 6)/7 = 6 + 0/7 = 6 | 6 − 6 = 0 |
Ma, même si le raisonnement est correct, il ne part pas de l’hypothèse complète : les fils ne sont pas seulement deux. De plus, pourquoi le troisième, le quatrième, le cinquième et le sixième fils reçoivent-ils eux aussi la même somme ?
Une solution qui utilise toutes les données
Partons de l’hypothèse correcte. Soit T la totalité de l’héritage et k la somme reçue par chaque fils. Avant le tour du fils j, (j − 1)k pièces ont déjà été distribuées. Le fils j reçoit donc :
j + [T − (j − 1)k − j] / 7Puisque chacun reçoit la même somme, nous pouvons écrire, pour j = 1, 2, 3, … :
j + [T − (j − 1)k − j] / 7 = kMultiplions les deux membres par 7 et développons :
7j + T − (j − 1)k − j = 7k
7j + T − jk + k − j = 7k
T + k − 7k = jk − 7j + j
T − 6k = jk − 6j
T − 6k = j(k − 6)Cette égalité doit être vraie pour toute valeur de j. Cela ne se produit que si T − 6k = 0 et k − 6 = 0. Ainsi, k = 6 et T = 36.
La première généralisation
Observons que, dans ce problème, 7 = k + 1. Pour savoir si la structure peut être généralisée, remplaçons donc le dénominateur 7 par k + 1 :
j + [T − (j − 1)k − j] / (k + 1) = kEn multipliant les deux membres par k + 1, on obtient :
(k + 1)j + T − (j − 1)k − j = (k + 1)k
(k + 1)j + T − jk + k − j = (k + 1)k
kj + j + T − jk + k − j = (k + 1)k
T + k = k² + k
T = k²Comme l’héritage total vaut aussi T = N · k, l’égalité T = k² implique N = k (pour k > 0). La situation se produit donc lorsque l’héritage est le carré du nombre de fils.
| Nombre de fils | Héritage |
|---|---|
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
| 5 | 25 |
| 6 | 36 |
| 7 | 49 |
| 8 | 64 |
| 9 | 81 |
| n | n2 |
Exemple avec 8 fils et 64 besants
Peu avant de mourir, un homme appela son fils aîné et lui dit : « Partagez entre vous mes modestes biens. Tu garderas 1 besant et 1/9 de ce qui reste. »
Au deuxième fils, il dit : « Tu prendras 2 besants et 1/9 de ce qui reste. »
Au troisième fils, il dit : « Tu prendras 3 besants et 1/9 de ce qui reste. »
Il appela ainsi tous ses fils par ordre d’âge décroissant, donnant à chacun 1 besant de plus qu’au fils précédent et toujours 1/9 de ce qui restait. Enfin, le dernier prit tout ce qui restait.
Après le partage de la totalité de l’héritage, les fils constatèrent que chacun avait reçu le même nombre de besants.
Combien y avait-il de fils et combien de besants chacun reçut-il ?
| Fils | Calcul de la part | Reste |
|---|---|---|
| 1er | 1 + (64 − 1)/9 = 1 + 63/9 = 8 | 64 − 8 = 56 |
| 2e | 2 + (56 − 2)/9 = 2 + 54/9 = 8 | 56 − 8 = 48 |
| 3e | 3 + (48 − 3)/9 = 3 + 45/9 = 8 | 48 − 8 = 40 |
| 4e | 4 + (40 − 4)/9 = 4 + 36/9 = 8 | 40 − 8 = 32 |
| 5e | 5 + (32 − 5)/9 = 5 + 27/9 = 8 | 32 − 8 = 24 |
| 6e | 6 + (24 − 6)/9 = 6 + 18/9 = 8 | 24 − 8 = 16 |
| 7e | 7 + (16 − 7)/9 = 7 + 9/9 = 8 | 16 − 8 = 8 |
| 8e | 8 + (8 − 8)/9 = 8 + 0/9 = 8 | 8 − 8 = 0 |
Exemple avec 9 fils et 81 besants
Peu avant de mourir, un homme appela son fils aîné et lui dit : « Partagez entre vous mes modestes biens. Tu garderas 1 besant et 1/10 de ce qui reste. »
Au deuxième fils, il dit : « Tu prendras 2 besants et 1/10 de ce qui reste. »
Au troisième fils, il dit : « Tu prendras 3 besants et 1/10 de ce qui reste. »
Il appela ainsi tous ses fils par ordre d’âge décroissant, donnant à chacun 1 besant de plus qu’au fils précédent et toujours 1/10 de ce qui restait. Enfin, le dernier prit tout ce qui restait.
Après le partage de la totalité de l’héritage, les fils constatèrent que chacun avait reçu le même nombre de besants.
Combien y avait-il de fils et combien de besants chacun reçut-il ?
Vérification synthétique. Avant le tour du fils j, il reste 81 − (j − 1) · 9 = 9(10 − j) besants. Sa part est donc :
j + [9(10 − j) − j] / 10 = 9Cette identité est vraie pour tout j = 1, …, 9 ; chacun des neuf fils reçoit donc 9 besants.
Conclusion sur la première forme
En général, s’il y a n fils et un héritage de n2 besants, le problème devient :
Peu avant de mourir, un homme appela son fils aîné et lui dit : « Partagez entre vous mes modestes biens. Tu garderas 1 besant et 1/(n + 1) de ce qui reste. »
Au deuxième fils, il dit : « Tu prendras 2 besants et 1/(n + 1) de ce qui reste. »
Au troisième fils, il dit : « Tu prendras 3 besants et 1/(n + 1) de ce qui reste. »
Il appela ainsi tous ses fils par ordre d’âge décroissant, donnant à chacun 1 besant de plus qu’au fils précédent et toujours 1/(n + 1) de ce qui restait. Enfin, le dernier prit tout ce qui restait.
Après le partage de la totalité de l’héritage, les fils constatèrent que chacun avait reçu le même nombre de besants.
Combien y avait-il de fils et combien de besants chacun reçut-il ?
Réponse : il y avait n fils, l’héritage était de n2 besants et chacun reçut n besants.
Une seconde forme du problème
Le même raisonnement permet aussi de généraliser le problème suivant, dans lequel on calcule d’abord la fraction de l’argent disponible, puis on ajoute le nombre fixe de besants.
Peu avant de mourir, un homme appela son fils aîné et lui dit : « Mes fils, partagez entre vous mes modestes biens. Tu garderas 1/7 de tous les besants, plus 1 besant. »
Au deuxième fils, il dit : « Tu prendras 1/7 des besants restants, plus 2 autres besants. »
Il appela ainsi tous ses fils par ordre d’âge décroissant, donnant à chacun 1/7 des besants restants et un besant de plus qu’au fils précédent.
Après le partage de la totalité de l’héritage, les fils constatèrent que chacun avait reçu le même nombre de besants.
Combien y avait-il de fils et combien de besants chacun reçut-il ?
Note. Ce problème figure lui aussi dans la septième partie du chapitre XII du Liber Abaci, sous le titre « L’héritage des biens d’un homme », au folio 70 recto du manuscrit.
La solution proposée note encore N le nombre de fils et S la part de chacun :
Premier fils : (N · S) / 7 + 1 = S
Deuxième fils : ((N − 1) · S) / 7 + 2 = SLes solutions sont N = 6 et S = 7.
Vérification avec 42 besants
| Fils | Calcul de la part | Reste |
|---|---|---|
| 1er | 1 + 42/7 = 1 + 6 = 7 | 42 − 7 = 35 |
| 2e | 2 + 35/7 = 2 + 5 = 7 | 35 − 7 = 28 |
| 3e | 3 + 28/7 = 3 + 4 = 7 | 28 − 7 = 21 |
| 4e | 4 + 21/7 = 4 + 3 = 7 | 21 − 7 = 14 |
| 5e | 5 + 14/7 = 5 + 2 = 7 | 14 − 7 = 7 |
| 6e | 6 + 7/7 = 6 + 1 = 7 | 7 − 7 = 0 |
Comme précédemment, on démontre facilement que, de manière générale, si n est le nombre de fils, l’héritage vaut n(n + 1) et chacun reçoit n + 1 besants. L’énoncé devient :
Peu avant de mourir, un homme appela son fils aîné et lui dit : « Mes fils, partagez entre vous mes modestes biens. Tu garderas 1/(n + 1) de tous les besants, plus 1 besant. »
Au deuxième fils, il dit : « Tu prendras 1/(n + 1) des besants restants, plus 2 autres besants. »
Il appela ainsi tous ses fils par ordre d’âge décroissant, donnant à chacun 1/(n + 1) des besants restants et un besant de plus qu’au fils précédent.
Après le partage de la totalité de l’héritage, les fils constatèrent que chacun avait reçu le même nombre de besants.
Combien y avait-il de fils et combien de besants chacun reçut-il ?
Démonstration de la seconde généralisation
Soient T = n(n + 1) l’héritage et k = n + 1 la part commune. Avant le tour du fils j, il reste :
T − (j − 1)k = (n − j + 1)(n + 1)La somme reçue par le fils j est donc :
[T − (j − 1)k] / (n + 1) + j
= n − j + 1 + j
= n + 1Le calcul est valable pour tout j = 1, …, n ; les n fils reçoivent donc tous la même part.
Réponse : il y a n fils, chacun reçoit n + 1 besants et l’héritage est de n(n + 1) besants.
Préparé par Salvatore Mosaico.