Un método para transformar la proporcionalidad compuesta en una secuencia de pasos sencillos
Un problema clásico
12 gallinas ponen 48 huevos en 12 días. ¿Cuántos huevos ponen 3 gallinas en 3 días?
Es un problema sencillo en sus números, pero interesante en su estructura, porque implica simultáneamente tres magnitudes: producción, recursos y tiempo.
1. Antes de nada: la regla de tres simple
En la regla de tres simple intervienen dos magnitudes, mientras que una posible tercera magnitud permanece fija.
Por ejemplo: 12 gallinas ponen 48 huevos en 12 días. ¿Cuántos huevos pondrían 3 gallinas en los mismos 12 días?
El tiempo no cambia. Solo cambian gallinas y huevos. Pasar de 12 gallinas a 3 significa dividir entre 4; por tanto, la producción también se divide entre 4:
48 : 4 = 12
Así, 3 gallinas ponen 12 huevos en 12 días. Aquí basta una sola proporción: es un problema de regla de tres simple.
2. Por qué el problema inicial es de regla de tres compuesta
En el problema inicial, en cambio, cambian tanto el número de gallinas como el número de días. Debemos pasar simultáneamente de 12 gallinas a 3 gallinas y de 12 días a 3 días.
La producción es directamente proporcional a ambas magnitudes: menos gallinas significan menos huevos; menos días significan todavía menos huevos. Por eso se habla de regla de tres compuesta.
3. La solución clásica
El método tradicional utiliza los dos factores de variación:
48 × (3/12) × (3/12) = 3
La primera razón tiene en cuenta la variación de los recursos; la segunda, la variación del tiempo. La respuesta es, por tanto, 3 huevos.
La fórmula general, indicando con P la producción, con R los recursos y con T el tiempo, es:
P2 = P1 × (R2/R1) × (T2/T1)
El procedimiento es correcto y rápido. Pero a un estudiante le puede quedar una pregunta: ¿por qué aparecen precisamente dos razones?
4. El método de la terna
Podemos representar cada situación mediante la terna:
(P, R, T)
donde P es la Producción, R los Recursos y T el Tiempo. Lo importante es mostrar inmediatamente también la terna solicitada con el signo de interrogación, para ver con claridad adónde debemos llegar.
| Situación inicial | Situación solicitada |
|---|---|
| (48, 12, 12) | (?, 3, 3) |
Ahora podemos proceder una magnitud cada vez.
Primera transformación: cambiamos los recursos
Debemos pasar las gallinas de 12 a 3: dividimos entre 4. Si el tiempo permanece igual, dividimos también la producción entre 4.
(48, 12, 12) -> (12, 3, 12)
Segunda transformación: cambiamos el tiempo
Ahora ya hay 3 gallinas. Debemos pasar los días de 12 a 3: volvemos a dividir entre 4, esta vez la producción y el tiempo.
(12, 3, 12) -> (3, 3, 3)
La terna solicitada era:
(?, 3, 3)
y hemos llegado a:
(3, 3, 3)
Por tanto, el valor buscado es 3.
5. La regla de la terna
En los problemas de producción lineal se trabaja siempre sobre un par cada vez: (P,R) o (P,T).
Regla: multiplicar o dividir entre el mismo número la producción y solo una de las magnitudes, recursos o tiempo, dejando la otra sin cambios.
(P, R, T) -> (kP, kR, T)
(P, R, T) -> (kP, R, kT)
6. Por qué funciona
Si la producción es lineal, se cumple la relación:
P = kRT
y, por tanto:
P / (R × T) = k
La cantidad P/(RT) permanece constante. En nuestro ejemplo:
48/(12×12) = 12/(3×12) = 3/(3×3) = 1/3
El método de la terna no es, por tanto, un truco: conserva el invariante del problema.
7. El problema inverso
Tres gallinas ponen 3 huevos en 3 días. ¿Cuántos huevos ponen 12 gallinas en 12 días?
| Situación inicial | Situación solicitada |
|---|---|
| (3, 3, 3) | (?, 12, 12) |
Multiplicamos por 4 la producción y los recursos:
(3, 3, 3) -> (12, 12, 3)
Después multiplicamos por 4 la producción y el tiempo:
(12, 12, 3) -> (48, 12, 12)
La respuesta es, por tanto, 48 huevos.
8. La ventaja didáctica
La fórmula clásica comprime todo en una línea. El método de la terna, en cambio, hace visibles los dos pasos que contiene la fórmula. Así, la regla de tres compuesta se convierte en una sucesión de dos problemas de proporcionalidad simple.
(48,12,12) -> (12,3,12) -> (3,3,3)
La idea central es: una variación cada vez.
Cinco versiones clásicas del problema
Veamos ahora cinco problemas típicos. En cada uno escribimos inmediatamente la terna conocida y la terna solicitada con el signo de interrogación, y después aplicamos el método rápidamente.
1. Trabajadores y piezas
8 trabajadores producen 120 piezas en 5 días. ¿Cuántas piezas producen 12 trabajadores en 10 días?
| Situación inicial | Situación solicitada |
|---|---|
| (120, 8, 5) | (?, 12, 10) |
De 8 a 12 trabajadores: × 3/2 sobre P y R
(120, 8, 5) -> (180, 12, 5)
De 5 a 10 días: × 2 sobre P y T
(180, 12, 5) -> (360, 12, 10)
Respuesta: 360 piezas.
2. Máquinas y componentes
6 máquinas producen 900 componentes en 3 horas. ¿Cuántos componentes producen 4 máquinas en 6 horas?
| Situación inicial | Situación solicitada |
|---|---|
| (900, 6, 3) | (?, 4, 6) |
De 6 a 4 máquinas: × 2/3 sobre P y R
(900, 6, 3) -> (600, 4, 3)
De 3 a 6 horas: × 2 sobre P y T
(600, 4, 3) -> (1200, 4, 6)
Respuesta: 1200 componentes.
3. Impresoras y páginas
5 impresoras imprimen 2000 páginas en 4 horas. ¿Cuántas páginas imprimen 10 impresoras en 6 horas?
| Situación inicial | Situación solicitada |
|---|---|
| (2000, 5, 4) | (?, 10, 6) |
De 5 a 10 impresoras: × 2 sobre P y R
(2000, 5, 4) -> (4000, 10, 4)
De 4 a 6 horas: × 3/2 sobre P y T
(4000, 10, 4) -> (6000, 10, 6)
Respuesta: 6000 páginas.
4. Telares y tejido
9 telares producen 540 metros de tejido en 6 horas. ¿Cuántos metros producen 3 telares en 12 horas?
| Situación inicial | Situación solicitada |
|---|---|
| (540, 9, 6) | (?, 3, 12) |
De 9 a 3 telares: ÷ 3 sobre P y R
(540, 9, 6) -> (180, 3, 6)
De 6 a 12 horas: × 2 sobre P y T
(180, 3, 6) -> (360, 3, 12)
Respuesta: 360 metros.
5. Bombas y litros de agua
4 bombas transfieren 2400 litros en 2 horas. ¿Cuántos litros transfieren 6 bombas en 5 horas?
| Situación inicial | Situación solicitada |
|---|---|
| (2400, 4, 2) | (?, 6, 5) |
De 4 a 6 bombas: × 3/2 sobre P y R
(2400, 4, 2) -> (3600, 6, 2)
De 2 a 5 horas: × 5/2 sobre P y T
(3600, 6, 2) -> (9000, 6, 5)
Respuesta: 9000 litros.
Conclusión
La regla de tres compuesta sigue siendo perfectamente válida, pero el método de la terna hace explícita su estructura. Primero se muestra la situación inicial y después la situación solicitada con el signo de interrogación:
(P1, R1, T1) -> (?, R2, T2)
En ese momento se modifica una sola magnitud cada vez, acompañando la variación con la misma variación de la producción.
(P1, R1, T1) -> (P', R2, T1) -> (P2, R2, T2)
La fórmula clásica:
P2 = P1 × (R2/R1) × (T2/T1)
se convierte así en la escritura compacta de dos transformaciones elementales. La principal ventaja es didáctica: no se pide solamente aplicar una fórmula, sino que se hace visible el camino que lleva a la solución.
Cuando el signo de interrogación está en Recursos o Tiempo
Hasta ahora hemos buscado sobre todo la producción. Pero la terna (P,R,T) funciona del mismo modo cuando la incógnita es el número de recursos o el tiempo.
La regla no cambia: se transforma un par cada vez, eligiendo (P,R) o (P,T), hasta alcanzar la terna solicitada.
1. Incógnita en los recursos - trabajadores
6 trabajadores producen 240 piezas en 5 días. ¿Cuántos trabajadores se necesitan para producir 360 piezas en los mismos 5 días?
| Situación inicial | Situación solicitada |
|---|---|
| (240, 6, 5) | (360, ?, 5) |
El tiempo ya es el solicitado. La producción debe pasar de 240 a 360: × 3/2. Trabajamos sobre el par (P,R).
(240, 6, 5) -> (360, 9, 5)
Se necesitan 9 trabajadores.
2. Incógnita en los recursos - máquinas
8 máquinas producen 400 piezas en 10 horas. ¿Cuántas máquinas se necesitan para producir 300 piezas en 5 horas?
| Situación inicial | Situación solicitada |
|---|---|
| (400, 8, 10) | (300, ?, 5) |
Primero paso el tiempo de 10 a 5 horas: ÷ 2 sobre P y T.
(400, 8, 10) -> (200, 8, 5)
Ahora debo pasar la producción de 200 a 300: × 3/2 sobre P y R.
(200, 8, 5) -> (300, 12, 5)
Se necesitan 12 máquinas.
3. Incógnita en los recursos - impresoras
10 impresoras producen 5000 páginas en 4 horas. ¿Cuántas impresoras se necesitan para producir 7500 páginas en 6 horas?
| Situación inicial | Situación solicitada |
|---|---|
| (5000, 10, 4) | (7500, ?, 6) |
Paso el tiempo de 4 a 6 horas: × 3/2 sobre P y T.
(5000, 10, 4) -> (7500, 10, 6)
Se necesitan 10 impresoras.
4. Incógnita en el tiempo - máquinas
5 máquinas producen 600 piezas en 4 horas. ¿En cuántas horas producen 900 piezas, utilizando siempre 5 máquinas?
| Situación inicial | Situación solicitada |
|---|---|
| (600, 5, 4) | (900, 5, ?) |
Los recursos ya son los solicitados. La producción pasa de 600 a 900: × 3/2. Trabajamos sobre el par (P,T).
(600, 5, 4) -> (900, 5, 6)
Se necesitan 6 horas.
5. Incógnita en el tiempo - trabajadores
6 trabajadores producen 900 piezas en 3 días. ¿En cuántos días 4 trabajadores producen 1200 piezas?
| Situación inicial | Situación solicitada |
|---|---|
| (900, 6, 3) | (1200, 4, ?) |
Primero paso los trabajadores de 6 a 4: × 2/3 sobre P y R.
(900, 6, 3) -> (600, 4, 3)
Ahora la producción debe pasar de 600 a 1200: × 2 sobre P y T.
(600, 4, 3) -> (1200, 4, 6)
Se necesitan 6 días.
La terna es simétrica respecto a la incógnita
El signo de interrogación puede, por tanto, encontrarse en cualquier posición:
(?, R, T) o (P, ?, T) o (P, R, ?)
No hace falta aprender tres procedimientos distintos. Se parte de la terna conocida, se escribe la terna que se quiere alcanzar y se realizan transformaciones sucesivas solo sobre los pares permitidos:
(P,R) o (P,T)
Esta es una de las características más útiles del método: el procedimiento sigue siendo idéntico aunque cambie la magnitud que hay que determinar.