Une méthode pour transformer la proportionnalité composée en une suite d’étapes simples
Un problème classique
12 poules pondent 48 œufs en 12 jours. Combien d’œufs pondent 3 poules en 3 jours ?
Les nombres sont simples, mais la structure est intéressante, car elle fait intervenir simultanément trois grandeurs : production, ressources et temps.
1. Tout d’abord : la règle de trois simple
La règle de trois simple fait intervenir deux grandeurs, tandis qu’une éventuelle troisième grandeur reste fixe.
Par exemple : 12 poules pondent 48 œufs en 12 jours. Combien d’œufs pondraient 3 poules pendant les mêmes 12 jours ?
Le temps ne change pas. Seuls les poules et les œufs changent. Passer de 12 poules à 3 signifie diviser par 4 ; la production est donc elle aussi divisée par 4 :
48 : 4 = 12
Ainsi, 3 poules pondent 12 œufs en 12 jours. Une seule proportion suffit ici : c’est un problème de règle de trois simple.
2. Pourquoi le problème initial relève de la règle de trois composée
Dans le problème initial, en revanche, le nombre de poules et le nombre de jours changent tous deux. Nous devons passer simultanément de 12 poules à 3 poules et de 12 jours à 3 jours.
La production est directement proportionnelle aux deux grandeurs : moins de poules signifie moins d’œufs ; moins de jours signifie encore moins d’œufs. C’est pourquoi on parle de règle de trois composée.
3. La solution classique
La méthode traditionnelle utilise les deux facteurs de variation :
48 × (3/12) × (3/12) = 3
Le premier rapport tient compte de la variation des ressources ; le second, de celle du temps. La réponse est donc 3 œufs.
La formule générale, en notant P la production, R les ressources et T le temps, est :
P2 = P1 × (R2/R1) × (T2/T1)
La procédure est correcte et rapide. Mais une question peut subsister pour un élève : pourquoi y a-t-il précisément deux rapports ?
4. La méthode du triplet
Nous pouvons représenter chaque situation par le triplet :
(P, R, T)
où P est la Production, R les Ressources et T le Temps. L’élément important consiste à montrer immédiatement aussi le triplet demandé avec son point d’interrogation, afin de voir clairement où nous devons arriver.
| Situation initiale | Situation demandée |
|---|---|
| (48, 12, 12) | (?, 3, 3) |
Nous pouvons maintenant procéder une grandeur à la fois.
Première transformation : changer les ressources
Nous devons faire passer les poules de 12 à 3 : nous divisons par 4. Si le temps reste inchangé, nous divisons aussi la production par 4.
(48, 12, 12) -> (12, 3, 12)
Deuxième transformation : changer le temps
Les poules sont déjà 3. Nous devons faire passer les jours de 12 à 3 : nous divisons encore par 4, cette fois la production et le temps.
(12, 3, 12) -> (3, 3, 3)
Le triplet demandé était :
(?, 3, 3)
et nous sommes arrivés à :
(3, 3, 3)
La valeur recherchée est donc 3.
5. La règle du triplet
Dans les problèmes de production linéaire, on travaille toujours sur un couple à la fois : (P,R) ou (P,T).
Règle : multiplier ou diviser par le même nombre la production et une seule des deux grandeurs, ressources ou temps, en laissant l’autre inchangée.
(P, R, T) -> (kP, kR, T)
(P, R, T) -> (kP, R, kT)
6. Pourquoi cela fonctionne
Si la production est linéaire, la relation suivante est vérifiée :
P = kRT
et donc :
P / (R × T) = k
La quantité P/(RT) reste constante. Dans notre exemple :
48/(12×12) = 12/(3×12) = 3/(3×3) = 1/3
La méthode du triplet n’est donc pas une astuce : elle conserve l’invariant du problème.
7. Le problème inverse
Trois poules pondent 3 œufs en 3 jours. Combien d’œufs pondent 12 poules en 12 jours ?
| Situation initiale | Situation demandée |
|---|---|
| (3, 3, 3) | (?, 12, 12) |
Nous multiplions la production et les ressources par 4 :
(3, 3, 3) -> (12, 12, 3)
Puis nous multiplions la production et le temps par 4 :
(12, 12, 3) -> (48, 12, 12)
La réponse est donc 48 œufs.
8. L’avantage pédagogique
La formule classique condense tout en une ligne. La méthode du triplet rend au contraire visibles les deux étapes contenues dans la formule. La règle de trois composée devient ainsi une succession de deux problèmes de proportionnalité simple.
(48,12,12) -> (12,3,12) -> (3,3,3)
L’idée centrale est : une variation à la fois.
Cinq versions classiques du problème
Voyons maintenant cinq problèmes typiques. Dans chacun, nous écrivons immédiatement le triplet connu et le triplet demandé avec son point d’interrogation, puis nous appliquons rapidement la méthode.
1. Ouvriers et pièces
8 ouvriers produisent 120 pièces en 5 jours. Combien de pièces produisent 12 ouvriers en 10 jours ?
| Situation initiale | Situation demandée |
|---|---|
| (120, 8, 5) | (?, 12, 10) |
De 8 à 12 ouvriers : × 3/2 sur P et R
(120, 8, 5) -> (180, 12, 5)
De 5 à 10 jours : × 2 sur P et T
(180, 12, 5) -> (360, 12, 10)
Réponse : 360 pièces.
2. Machines et composants
6 machines produisent 900 composants en 3 heures. Combien de composants produisent 4 machines en 6 heures ?
| Situation initiale | Situation demandée |
|---|---|
| (900, 6, 3) | (?, 4, 6) |
De 6 à 4 machines : × 2/3 sur P et R
(900, 6, 3) -> (600, 4, 3)
De 3 à 6 heures : × 2 sur P et T
(600, 4, 3) -> (1200, 4, 6)
Réponse : 1200 composants.
3. Imprimantes et pages
5 imprimantes impriment 2000 pages en 4 heures. Combien de pages impriment 10 imprimantes en 6 heures ?
| Situation initiale | Situation demandée |
|---|---|
| (2000, 5, 4) | (?, 10, 6) |
De 5 à 10 imprimantes : × 2 sur P et R
(2000, 5, 4) -> (4000, 10, 4)
De 4 à 6 heures : × 3/2 sur P et T
(4000, 10, 4) -> (6000, 10, 6)
Réponse : 6000 pages.
4. Métiers à tisser et tissu
9 métiers à tisser produisent 540 mètres de tissu en 6 heures. Combien de mètres produisent 3 métiers à tisser en 12 heures ?
| Situation initiale | Situation demandée |
|---|---|
| (540, 9, 6) | (?, 3, 12) |
De 9 à 3 métiers à tisser : ÷ 3 sur P et R
(540, 9, 6) -> (180, 3, 6)
De 6 à 12 heures : × 2 sur P et T
(180, 3, 6) -> (360, 3, 12)
Réponse : 360 mètres.
5. Pompes et litres d’eau
4 pompes transfèrent 2400 litres en 2 heures. Combien de litres transfèrent 6 pompes en 5 heures ?
| Situation initiale | Situation demandée |
|---|---|
| (2400, 4, 2) | (?, 6, 5) |
De 4 à 6 pompes : × 3/2 sur P et R
(2400, 4, 2) -> (3600, 6, 2)
De 2 à 5 heures : × 5/2 sur P et T
(3600, 6, 2) -> (9000, 6, 5)
Réponse : 9000 litres.
Conclusion
La règle de trois composée reste parfaitement valable, mais la méthode du triplet en explicite la structure. On montre d’abord la situation initiale, puis la situation demandée avec le point d’interrogation :
(P1, R1, T1) -> (?, R2, T2)
On modifie alors une seule grandeur à la fois, en accompagnant sa variation de la même variation de la production.
(P1, R1, T1) -> (P', R2, T1) -> (P2, R2, T2)
La formule classique :
P2 = P1 × (R2/R1) × (T2/T1)
devient ainsi l’écriture compacte de deux transformations élémentaires. L’avantage principal est pédagogique : on ne demande pas seulement d’appliquer une formule, on rend visible le chemin qui mène à la solution.
Quand le point d’interrogation porte sur les Ressources ou le Temps
Jusqu’ici, nous avons surtout recherché la production. Mais le triplet (P,R,T) fonctionne de la même manière lorsque l’inconnue est le nombre de ressources ou le temps.
La règle ne change pas : on transforme un couple à la fois, en choisissant (P,R) ou (P,T), jusqu’à atteindre le triplet demandé.
1. Inconnue sur les ressources - ouvriers
6 ouvriers produisent 240 pièces en 5 jours. Combien d’ouvriers faut-il pour produire 360 pièces pendant les mêmes 5 jours ?
| Situation initiale | Situation demandée |
|---|---|
| (240, 6, 5) | (360, ?, 5) |
Le temps est déjà celui demandé. La production doit passer de 240 à 360 : × 3/2. Nous travaillons sur le couple (P,R).
(240, 6, 5) -> (360, 9, 5)
Il faut 9 ouvriers.
2. Inconnue sur les ressources - machines
8 machines produisent 400 pièces en 10 heures. Combien de machines faut-il pour produire 300 pièces en 5 heures ?
| Situation initiale | Situation demandée |
|---|---|
| (400, 8, 10) | (300, ?, 5) |
Je fais d’abord passer le temps de 10 à 5 heures : ÷ 2 sur P et T.
(400, 8, 10) -> (200, 8, 5)
Je dois maintenant faire passer la production de 200 à 300 : × 3/2 sur P et R.
(200, 8, 5) -> (300, 12, 5)
Il faut 12 machines.
3. Inconnue sur les ressources - imprimantes
10 imprimantes produisent 5000 pages en 4 heures. Combien d’imprimantes faut-il pour produire 7500 pages en 6 heures ?
| Situation initiale | Situation demandée |
|---|---|
| (5000, 10, 4) | (7500, ?, 6) |
Je fais passer le temps de 4 à 6 heures : × 3/2 sur P et T.
(5000, 10, 4) -> (7500, 10, 6)
Il faut 10 imprimantes.
4. Inconnue sur le temps - machines
5 machines produisent 600 pièces en 4 heures. En combien d’heures produisent-elles 900 pièces, en utilisant toujours 5 machines ?
| Situation initiale | Situation demandée |
|---|---|
| (600, 5, 4) | (900, 5, ?) |
Les ressources sont déjà celles demandées. La production passe de 600 à 900 : × 3/2. Nous travaillons sur le couple (P,T).
(600, 5, 4) -> (900, 5, 6)
Il faut 6 heures.
5. Inconnue sur le temps - ouvriers
6 ouvriers produisent 900 pièces en 3 jours. En combien de jours 4 ouvriers produisent-ils 1200 pièces ?
| Situation initiale | Situation demandée |
|---|---|
| (900, 6, 3) | (1200, 4, ?) |
Je fais d’abord passer les ouvriers de 6 à 4 : × 2/3 sur P et R.
(900, 6, 3) -> (600, 4, 3)
La production doit maintenant passer de 600 à 1200 : × 2 sur P et T.
(600, 4, 3) -> (1200, 4, 6)
Il faut 6 jours.
Le triplet est symétrique par rapport à l’inconnue
Le point d’interrogation peut donc se trouver à n’importe quelle position :
(?, R, T) ou (P, ?, T) ou (P, R, ?)
Il n’est pas nécessaire d’apprendre trois procédures différentes. On part du triplet connu, on écrit le triplet que l’on souhaite atteindre et on effectue des transformations successives uniquement sur les couples autorisés :
(P,R) ou (P,T)
C’est l’une des caractéristiques les plus utiles de la méthode : la procédure reste identique même lorsque la grandeur à déterminer change.