Dal tre composto alla terna Produzione-Risorse-Tempo

Un metodo per trasformare la proporzionalità composta in una sequenza di passaggi semplici

Un problema classico

12 galline fanno 48 uova in 12 giorni. Quante uova fanno 3 galline in 3 giorni?

È un problema semplice nei numeri, ma interessante nella struttura, perché coinvolge contemporaneamente tre grandezze: produzione, risorse e tempo.

1. Prima di tutto: il tre semplice

Nella regola del tre semplice entrano in gioco due grandezze, mentre una eventuale terza grandezza rimane fissa.

Per esempio: 12 galline fanno 48 uova in 12 giorni. Quante uova farebbero 3 galline negli stessi 12 giorni?

Il tempo non cambia. Cambiano soltanto galline e uova. Passare da 12 galline a 3 significa dividere per 4; quindi anche la produzione viene divisa per 4:

48 : 4 = 12

Dunque 3 galline, in 12 giorni, fanno 12 uova. Qui basta una sola proporzione: è un problema di tre semplice.

2. Perché il problema iniziale è un tre composto

Nel problema iniziale, invece, cambiano sia il numero delle galline sia il numero dei giorni. Dobbiamo passare contemporaneamente da 12 galline a 3 galline e da 12 giorni a 3 giorni.

La produzione è direttamente proporzionale a entrambe le grandezze: meno galline significano meno uova; meno giorni significano ancora meno uova. Per questo si parla di regola del tre composto.

3. La soluzione classica

Il metodo tradizionale usa i due fattori di variazione:

48 × (3/12) × (3/12) = 3

Il primo rapporto tiene conto della variazione delle risorse; il secondo della variazione del tempo. La risposta è quindi 3 uova.

La formula generale, indicando con P la produzione, con R le risorse e con T il tempo, è:

P2 = P1 × (R2/R1) × (T2/T1)

Il procedimento è corretto e rapido. Ma per uno studente può restare una domanda: perché compaiono proprio due rapporti?

4. Il metodo della terna

Possiamo rappresentare ogni situazione con la terna:

(P, R, T)

dove P è la Produzione, R le Risorse e T il Tempo. La caratteristica importante è mostrare subito anche la terna richiesta con il punto interrogativo, così da vedere chiaramente dove dobbiamo arrivare.

Situazione iniziale	Situazione richiesta
(48, 12, 12)	(?, 3, 3)

Ora possiamo procedere una grandezza alla volta.

Prima trasformazione: cambiamo le risorse

Dobbiamo portare le galline da 12 a 3: dividiamo per 4. Se il tempo rimane invariato, dividiamo per 4 anche la produzione.

(48, 12, 12) -> (12, 3, 12)

Seconda trasformazione: cambiamo il tempo

Ora le galline sono già 3. Dobbiamo portare i giorni da 12 a 3: dividiamo ancora per 4, questa volta produzione e tempo.

(12, 3, 12) -> (3, 3, 3)

La terna richiesta era:

(?, 3, 3)

e siamo arrivati a:

(3, 3, 3)

Quindi il valore cercato è 3.

5. La regola della terna

Nei problemi di produzione lineare si lavora sempre su una coppia alla volta: (P,R) oppure (P,T).

Regola: moltiplicare o dividere per lo stesso numero la produzione e una sola tra risorse o tempo, lasciando invariata l'altra grandezza.

(P, R, T) -> (kP, kR, T)
(P, R, T) -> (kP, R, kT)

6. Perché funziona

Se la produzione è lineare, vale la relazione:

P = kRT

e quindi:

P / (R × T) = k

La quantità P/(RT) rimane costante. Nel nostro esempio:

48/(12×12) = 12/(3×12) = 3/(3×3) = 1/3

Il metodo della terna non è quindi un trucco: conserva l'invariante del problema.

7. Il problema contrario

Tre galline fanno 3 uova in 3 giorni. Quante uova fanno 12 galline in 12 giorni?

Situazione iniziale	Situazione richiesta
(3, 3, 3)	(?, 12, 12)

Moltiplichiamo per 4 produzione e risorse:

(3, 3, 3) -> (12, 12, 3)

Poi moltiplichiamo per 4 produzione e tempo:

(12, 12, 3) -> (48, 12, 12)

Quindi la risposta è 48 uova.

8. Il vantaggio didattico

La formula classica comprime tutto in una riga. Il metodo della terna rende invece visibili i due passaggi che la formula contiene. In questo modo il tre composto diventa una successione di due problemi di proporzionalità semplice.

(48,12,12) -> (12,3,12) -> (3,3,3)

L'idea centrale è: una variazione alla volta.

Cinque versioni classiche del problema

Vediamo ora cinque problemi tipici. In ciascuno scriviamo subito la terna nota e la terna richiesta con il punto interrogativo, poi applichiamo il metodo in modo rapido.

1. Operai e pezzi

8 operai producono 120 pezzi in 5 giorni. Quanti pezzi producono 12 operai in 10 giorni?

Situazione iniziale	Situazione richiesta
(120, 8, 5)	(?, 12, 10)

Da 8 a 12 operai: × 3/2 su P e R

(120, 8, 5) -> (180, 12, 5)

Da 5 a 10 giorni: × 2 su P e T

(180, 12, 5) -> (360, 12, 10)

Risposta: 360 pezzi.

2. Macchine e componenti

6 macchine producono 900 componenti in 3 ore. Quanti componenti producono 4 macchine in 6 ore?

Situazione iniziale	Situazione richiesta
(900, 6, 3)	(?, 4, 6)

Da 6 a 4 macchine: × 2/3 su P e R

(900, 6, 3) -> (600, 4, 3)

Da 3 a 6 ore: × 2 su P e T

(600, 4, 3) -> (1200, 4, 6)

Risposta: 1200 componenti.

3. Stampanti e pagine

5 stampanti stampano 2000 pagine in 4 ore. Quante pagine stampano 10 stampanti in 6 ore?

Situazione iniziale	Situazione richiesta
(2000, 5, 4)	(?, 10, 6)

Da 5 a 10 stampanti: × 2 su P e R

(2000, 5, 4) -> (4000, 10, 4)

Da 4 a 6 ore: × 3/2 su P e T

(4000, 10, 4) -> (6000, 10, 6)

Risposta: 6000 pagine.

4. Telai e tessuto

9 telai producono 540 metri di tessuto in 6 ore. Quanti metri producono 3 telai in 12 ore?

Situazione iniziale	Situazione richiesta
(540, 9, 6)	(?, 3, 12)

Da 9 a 3 telai: ÷ 3 su P e R

(540, 9, 6) -> (180, 3, 6)

Da 6 a 12 ore: × 2 su P e T

(180, 3, 6) -> (360, 3, 12)

Risposta: 360 metri.

5. Pompe e litri d'acqua

4 pompe trasferiscono 2400 litri in 2 ore. Quanti litri trasferiscono 6 pompe in 5 ore?

Situazione iniziale	Situazione richiesta
(2400, 4, 2)	(?, 6, 5)

Da 4 a 6 pompe: × 3/2 su P e R

(2400, 4, 2) -> (3600, 6, 2)

Da 2 a 5 ore: × 5/2 su P e T

(3600, 6, 2) -> (9000, 6, 5)

Risposta: 9000 litri.

Conclusione

La regola del tre composto rimane perfettamente valida, ma il metodo della terna ne rende esplicita la struttura. Prima si mostra la situazione iniziale, poi la situazione richiesta con il punto interrogativo:

(P1, R1, T1) -> (?, R2, T2)

A quel punto si modifica una sola grandezza alla volta, accompagnando la variazione con la stessa variazione della produzione.

(P1, R1, T1) -> (P', R2, T1) -> (P2, R2, T2)

La formula classica:

P2 = P1 × (R2/R1) × (T2/T1)

diventa così la scrittura compatta di due trasformazioni elementari. Il vantaggio principale è didattico: non si chiede soltanto di applicare una formula, ma si rende visibile il percorso che porta alla soluzione.

Quando il punto interrogativo è su Risorse o Tempo

Finora abbiamo cercato soprattutto la produzione. Ma la terna (P,R,T) funziona nello stesso modo anche quando l'incognita è il numero di risorse oppure il tempo.

La regola non cambia: si trasforma una coppia alla volta, scegliendo (P,R) oppure (P,T), fino a raggiungere la terna richiesta.

1. Incognita sulle risorse - operai

6 operai producono 240 pezzi in 5 giorni. Quanti operai servono per produrre 360 pezzi negli stessi 5 giorni?

Situazione iniziale	Situazione richiesta
(240, 6, 5)	(360, ?, 5)

Il tempo è già quello richiesto. La produzione deve passare da 240 a 360: × 3/2. Lavoriamo sulla coppia (P,R).

(240, 6, 5) -> (360, 9, 5)

Servono 9 operai.

2. Incognita sulle risorse - macchine

8 macchine producono 400 pezzi in 10 ore. Quante macchine servono per produrre 300 pezzi in 5 ore?

Situazione iniziale	Situazione richiesta
(400, 8, 10)	(300, ?, 5)

Prima porto il tempo da 10 a 5 ore: ÷ 2 su P e T.

(400, 8, 10) -> (200, 8, 5)

Ora devo portare la produzione da 200 a 300: × 3/2 su P e R.

(200, 8, 5) -> (300, 12, 5)

Servono 12 macchine.

3. Incognita sulle risorse - stampanti

10 stampanti producono 5000 pagine in 4 ore. Quante stampanti servono per produrre 7500 pagine in 6 ore?

Situazione iniziale	Situazione richiesta
(5000, 10, 4)	(7500, ?, 6)

Porto il tempo da 4 a 6 ore: × 3/2 su P e T.

(5000, 10, 4) -> (7500, 10, 6)

Servono 10 stampanti.

4. Incognita sul tempo - macchine

5 macchine producono 600 pezzi in 4 ore. In quante ore producono 900 pezzi, usando sempre 5 macchine?

Situazione iniziale	Situazione richiesta
(600, 5, 4)	(900, 5, ?)

Le risorse sono già quelle richieste. La produzione passa da 600 a 900: × 3/2. Lavoriamo sulla coppia (P,T).

(600, 5, 4) -> (900, 5, 6)

Occorrono 6 ore.

5. Incognita sul tempo - operai

6 operai producono 900 pezzi in 3 giorni. In quanti giorni 4 operai producono 1200 pezzi?

Situazione iniziale	Situazione richiesta
(900, 6, 3)	(1200, 4, ?)

Prima porto gli operai da 6 a 4: × 2/3 su P e R.

(900, 6, 3) -> (600, 4, 3)

Ora la produzione deve passare da 600 a 1200: × 2 su P e T.

(600, 4, 3) -> (1200, 4, 6)

Occorrono 6 giorni.

La terna è simmetrica rispetto all'incognita

Il punto interrogativo può quindi trovarsi in qualunque posizione:

(?, R, T) oppure (P, ?, T) oppure (P, R, ?)

Non occorre imparare tre procedimenti diversi. Si parte dalla terna nota, si scrive la terna che si vuole raggiungere e si eseguono trasformazioni successive sulle sole coppie ammesse:

(P,R) oppure (P,T)

Questa è una delle caratteristiche più utili del metodo: la procedura rimane identica anche quando cambia la grandezza da determinare.