Números primos y patrones ocultos

Los números primos son los ladrillos de la multiplicación: todo entero mayor que 1 tiene una descomposición en factores primos única, salvo el orden. Por ejemplo, 360 = 2³ · 3² · 5. ¿Cómo reconocerlos y qué patrones podemos demostrar?

1. ¿Qué es un número primo?

Un entero mayor que 1 es primo si tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo. Si tiene otros divisores, es compuesto. El número 1 no es primo ni compuesto. El 2 es el único primo par: cualquier otro entero par mayor que 2 es divisible por 2.

Los primos hasta 50 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

2. ¿Por qué basta llegar a la raíz cuadrada?

Si n = a · b es compuesto, al menos uno de los factores es menor o igual que √n: si ambos fueran mayores, su producto superaría n. Por tanto, basta buscar divisores primos que no superen √n.

Para 97, como 9 < √97 < 10, probamos solo 2, 3, 5 y 7. Ninguno divide 97: es primo. La igualdad importa: para 49 también debemos probar 7.

3. La criba de Eratóstenes

Para encontrar todos los primos hasta un límite N, podemos trabajar con los números en conjunto en vez de comprobarlos por separado.

1. Escribe los enteros del 2 al N, inicialmente todos sin marcar.
2. Toma el menor número sin marcar p: es primo.
3. Marca sus múltiplos a partir de p². Los múltiplos menores ya se eliminaron con primos anteriores.
4. Pasa al siguiente número sin marcar y continúa mientras p² ≤ N.
5. Los números que quedan sin marcar son exactamente los primos.

Hasta 50 basta eliminar los múltiplos de 2, 3, 5 y 7, empezando respectivamente por 4, 9, 25 y 49.

4. El patrón 6k − 1 y 6k + 1

Todo entero tiene resto 0, 1, 2, 3, 4 o 5 al dividirlo entre 6. Los restos 0, 2 y 4 dan números pares; el resto 3 da múltiplos de 3. Para un primo mayor que 3 solo quedan los restos 1 y 5.

p > 3 primo ⇒ p = 6k − 1 o p = 6k + 1

Es una condición necesaria, pero no suficiente. El 25 es 6 · 4 + 1, pero es compuesto; el 35 es 6 · 6 − 1 y también es compuesto. El patrón filtra candidatos, pero no demuestra su primalidad.

5. Distancias entre primos

Las distancias entre primos consecutivos varían: de 2 a 3 es 1, de 3 a 5 es 2, de 7 a 11 es 4 y de 23 a 29 es 6. Después del 2 todas estas distancias son pares, porque restamos dos números impares.

Existen secuencias de números compuestos consecutivos tan largas como queramos. Para cualquier entero m ≥ 2, consideremos:

(m + 1)! + 2, (m + 1)! + 3, …, (m + 1)! + (m + 1)

Son m números compuestos consecutivos: cada término acabado en +j es divisible por j, porque el factorial también lo es. Aquí q! = 1 · 2 · … · q. Para m = 3 obtenemos 26, 27 y 28.

6. Por qué los primos nunca se acaban

Supongamos que hemos enumerado todos los primos, de p₁ a pₖ, y construimos M = p₁ · p₂ · … · pₖ + 1. Al dividir M entre cualquier primo de la lista queda resto 1. Sin embargo, M, al ser mayor que 1, tiene un divisor primo, que debe estar fuera de la lista. ¡Contradicción!

M no tiene por qué ser primo. Por ejemplo, 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30031 = 59 · 509. La demostración garantiza un nuevo divisor primo, no que cada producto más uno sea primo.

Pon a prueba los patrones

1. ¿Es primo el 221?

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   No: 221 = 13 · 17. Como √221 está entre 14 y 15, probar los primos hasta 13 basta para encontrar un divisor.

2. ¿Pueden ser primos a la vez p, p + 2 y p + 4?

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   Sí: 3, 5, 7. Es la única terna: uno de los tres números es divisible por 3, por lo que debe ser exactamente 3 para ser primo. Situar el 3 en segundo o tercer lugar no da tres primos.

3. ¿Para qué primos p también es primo p² + 2?

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   Solo para p = 3, que da 11. Todo primo distinto de 3 tiene resto 1 o 2 módulo 3; su cuadrado tiene resto 1. Por tanto, p² + 2 es un múltiplo de 3 mayor que 3 y es compuesto.

4. ¿La fórmula n² + n + 41 siempre produce primos para enteros no negativos n?

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   No. Aunque los primeros valores parecen prometedores, para n = 40 obtenemos 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41². Muchos ejemplos favorables no sustituyen una demostración.

Explorar un patrón significa formular una conjetura, buscar contraejemplos y reconocer una demostración. Una regularidad útil no siempre es una regla sin excepciones.