I numeri primi sono i mattoni della moltiplicazione: ogni intero maggiore di 1 si può scomporre in un prodotto di primi, in modo unico a meno dell’ordine. Per esempio 360 = 2³ · 3² · 5. Ma come riconoscerli? E quali regolarità possiamo davvero dimostrare?
1. Che cos’è un numero primo?
Un intero maggiore di 1 è primo se ha esattamente due divisori positivi: 1 e sé stesso. Se ha altri divisori è composto. Il numero 1 non è né primo né composto. Il 2 è l’unico primo pari: ogni altro numero pari maggiore di 2 è divisibile per 2.
I primi fino a 50 sono 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
2. Perché basta arrivare alla radice quadrata?
Se n = a · b è composto, almeno uno dei due fattori è minore o uguale a √n: se fossero entrambi maggiori, il prodotto supererebbe n. Basta quindi cercare un divisore primo non superiore a √n.
Per 97, poiché 9 < √97 < 10, proviamo soltanto 2, 3, 5 e 7. Nessuno divide 97: è primo. Non dimentichiamo l’uguaglianza: per 49 bisogna provare anche 7.
3. Il crivello di Eratostene
Per trovare tutti i primi fino a un limite N conviene lavorare insieme sui numeri, anziché verificarli uno per uno.
- Scrivi gli interi da 2 a N e inizialmente non segnare nessuno.
- Prendi il più piccolo numero non segnato p: è primo.
- Segna i suoi multipli a partire da p². Quelli più piccoli sono già stati eliminati da primi precedenti.
- Passa al successivo numero non segnato e continua finché p² ≤ N.
- I numeri rimasti non segnati sono esattamente i primi.
Fino a 50 basta eliminare i multipli di 2, 3, 5 e 7, partendo rispettivamente da 4, 9, 25 e 49.
4. Il pattern 6k − 1 e 6k + 1
Ogni intero ha uno dei sei resti 0, 1, 2, 3, 4, 5 nella divisione per 6. I resti 0, 2 e 4 danno numeri pari; il resto 3 dà multipli di 3. Per un primo maggiore di 3 restano soltanto 1 e 5.
p > 3 primo ⇒ p = 6k − 1 oppure p = 6k + 1È una condizione necessaria, non sufficiente. Il 25 è 6 · 4 + 1, ma è composto; anche 35 è 6 · 6 − 1 ed è composto. Il pattern elimina candidati, non certifica la primalità.
5. Distanze tra primi
Le distanze tra primi consecutivi non sono costanti: da 2 a 3 è 1, da 3 a 5 è 2, da 7 a 11 è 4, da 23 a 29 è 6. Dopo il 2 tutte queste distanze sono pari, perché sottraiamo due numeri dispari.
Esistono sequenze di numeri composti consecutive lunghe quanto vogliamo. Per qualsiasi intero m ≥ 2, considera:
(m + 1)! + 2, (m + 1)! + 3, …, (m + 1)! + (m + 1)Sono m numeri consecutivi composti: ciascun termine con +j è divisibile per j, perché anche il fattoriale è divisibile per j. Qui q! = 1 · 2 · … · q. Per m = 3 otteniamo 26, 27 e 28.
6. Perché i primi non finiscono
Supponiamo di aver elencato tutti i primi, da p₁ a pₖ, e costruiamo M = p₁ · p₂ · … · pₖ + 1. Dividendo M per ciascun primo dell’elenco rimane 1. Ma M, essendo maggiore di 1, ha almeno un divisore primo: deve essere fuori dall’elenco. Contraddizione!
Attenzione: M non è necessariamente primo. Per esempio 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30031 = 59 · 509. La dimostrazione garantisce un nuovo divisore primo, non che ogni prodotto più uno sia primo.
Metti alla prova i pattern
Il numero 221 è primo?
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No:
221 = 13 · 17. Poiché √221 è tra 14 e 15, controllare i primi fino a 13 basta a trovare un divisore.Tre numeri p, p + 2, p + 4 possono essere tutti primi?
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Sì: 3, 5, 7. È l’unica terna: uno dei tre numeri è divisibile per 3, quindi deve essere proprio 3 per essere primo. I casi in cui 3 è il secondo o il terzo termine non danno tre primi.
Quali primi p rendono primo anche p² + 2?
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Solo p = 3, che dà 11. Per ogni primo diverso da 3, il resto modulo 3 è 1 oppure 2, dunque p² ha resto 1. Allora p² + 2 è multiplo di 3 e maggiore di 3, quindi composto.
La formula n² + n + 41 produce sempre numeri primi per n intero non negativo?
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No. Anche se i primi valori sembrano promettenti, per n = 40 otteniamo
1600 + 40 + 41 = 1681 = 41². Molti esempi favorevoli non sostituiscono una dimostrazione.
Esplorare un pattern significa formulare un’ipotesi, cercare controesempi e capire quali passaggi costituiscono una dimostrazione. Una regolarità utile non è sempre una regola senza eccezioni.