Les nombres premiers sont les briques de la multiplication : tout entier supérieur à 1 possède une décomposition en facteurs premiers unique, à l’ordre près. Par exemple, 360 = 2³ · 3² · 5. Comment les reconnaître et quelles régularités peut-on vraiment démontrer ?
1. Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
Un entier supérieur à 1 est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. S’il en possède d’autres, il est composé. Le nombre 1 n’est ni premier ni composé. Le nombre 2 est le seul premier pair : tout autre entier pair supérieur à 2 est divisible par 2.
Les nombres premiers jusqu’à 50 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
2. Pourquoi s’arrêter à la racine carrée ?
Si n = a · b est composé, l’un au moins des facteurs est inférieur ou égal à √n : si les deux étaient plus grands, leur produit dépasserait n. Il suffit donc de chercher un diviseur premier inférieur ou égal à √n.
Pour 97, puisque 9 < √97 < 10, nous testons seulement 2, 3, 5 et 7. Aucun ne divise 97 : il est premier. L’égalité compte : pour 49, il faut aussi tester 7.
3. Le crible d’Ératosthène
Pour trouver tous les premiers jusqu’à une limite N, on peut traiter les nombres ensemble plutôt que les vérifier séparément.
- Écrire les entiers de 2 à N, initialement tous non marqués.
- Prendre le plus petit nombre non marqué p : il est premier.
- Marquer ses multiples à partir de p². Les multiples plus petits ont déjà été éliminés par les premiers précédents.
- Passer au prochain nombre non marqué et continuer tant que p² ≤ N.
- Les nombres restés non marqués sont exactement les premiers.
Jusqu’à 50, il suffit d’éliminer les multiples de 2, 3, 5 et 7, en commençant respectivement par 4, 9, 25 et 49.
4. La régularité 6k − 1 et 6k + 1
Tout entier a pour reste 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 dans la division par 6. Les restes 0, 2 et 4 donnent des nombres pairs ; le reste 3 donne des multiples de 3. Pour un premier supérieur à 3, il ne reste que 1 et 5.
p > 3 premier ⇒ p = 6k − 1 ou p = 6k + 1C’est une condition nécessaire, mais non suffisante. Le nombre 25 vaut 6 · 4 + 1, mais il est composé ; 35 vaut 6 · 6 − 1 et il est aussi composé. Cette régularité filtre les candidats, sans prouver leur primalité.
5. Les écarts entre nombres premiers
Les écarts entre premiers consécutifs varient : de 2 à 3, l’écart est 1 ; de 3 à 5, il est 2 ; de 7 à 11, il est 4 ; de 23 à 29, il est 6. Après 2, tous ces écarts sont pairs, car on soustrait deux nombres impairs.
Il existe des suites de nombres composés consécutifs aussi longues que l’on veut. Pour tout entier m ≥ 2, considérons :
(m + 1)! + 2, (m + 1)! + 3, …, (m + 1)! + (m + 1)Ce sont m nombres composés consécutifs : le terme se terminant par +j est divisible par j, puisque la factorielle l’est aussi. Ici, q! = 1 · 2 · … · q. Pour m = 3, on obtient 26, 27 et 28.
6. Pourquoi les nombres premiers ne s’épuisent jamais
Supposons avoir énuméré tous les premiers, de p₁ à pₖ, et construisons M = p₁ · p₂ · … · pₖ + 1. La division de M par chaque premier de la liste laisse un reste de 1. Pourtant, M étant supérieur à 1, il possède un diviseur premier, nécessairement absent de la liste. Contradiction !
M n’est pas forcément premier. Par exemple, 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30031 = 59 · 509. La démonstration garantit un nouveau diviseur premier, pas la primalité de chaque produit augmenté de un.
Mettez les régularités à l’épreuve
Le nombre 221 est-il premier ?
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Non :
221 = 13 · 17. Puisque √221 est entre 14 et 15, tester les premiers jusqu’à 13 suffit pour trouver un diviseur.Les nombres p, p + 2 et p + 4 peuvent-ils être tous premiers ?
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Oui : 3, 5, 7. C’est le seul triplet : l’un des trois nombres est divisible par 3, donc il doit être égal à 3 pour être premier. Placer 3 en deuxième ou troisième position ne donne pas trois premiers.
Pour quels premiers p le nombre p² + 2 est-il aussi premier ?
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Uniquement p = 3, qui donne 11. Tout premier différent de 3 a pour reste 1 ou 2 modulo 3 ; son carré a donc pour reste 1. Ainsi p² + 2 est un multiple de 3 supérieur à 3, donc composé.
La formule n² + n + 41 donne-t-elle toujours des premiers pour n entier positif ou nul ?
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Non. Même si les premiers résultats sont prometteurs, pour n = 40 on obtient
1600 + 40 + 41 = 1681 = 41². De nombreux exemples favorables ne remplacent pas une démonstration.
Explorer une régularité, c’est formuler une conjecture, chercher des contre-exemples et reconnaître une démonstration. Une régularité utile n’est pas toujours une règle sans exception.