Porcentajes: del significado al regreso al valor inicial

Los porcentajes se vuelven mucho más sencillos cuando el símbolo % se trata como una operación y no como una etiqueta que se añade al final. Partiremos de dos identidades, % = 1/100 y 100 % = 1, para reconstruir todas las fórmulas. Sin proporciones ni reglas mnemotécnicas: solo álgebra elemental.

1. Qué significa %

El símbolo de porcentaje significa literalmente una centésima. Aplicado a un número, lo divide entre 100:

% = 1 / 100
a % = a · 1 / 100 = a / 100
25 % = 25 / 100 = 0,25

Porcentajes, fracciones y números decimales no son objetos distintos: son representaciones diferentes del mismo número. Por ejemplo, 1/4 = 0,25 = 25 %.

2. Por qué 100 % = 1

100 % = 100 · 1 / 100 = 100 / 100 = 1

El cien por cien de una cantidad es la cantidad completa. Multiplicar por 100 % no cambia el valor, pues equivale a multiplicar por 1. Los porcentajes superiores a 100 también son válidos: 150 % = 1,5.

Error frecuente. El número decimal que corresponde a 100 % no es 100, sino 1. El símbolo % ya contiene la división entre 100.

3. Convertir un número en porcentaje

Para cualquier número x, multiplicamos por la identidad 100 % = 1:

x = x · 1 = x · 100 % = (100x) %

Así, 0,37 = 37 %, 1,2 = 120 % y 3/5 = 0,6 = 60 %. El coeficiente delante de % no tiene que ser entero: 1/3 = 33,333… %.

Cuando preguntamos cuánto representa una parte respecto a un total, “respecto a” indica una división:

porcentaje = parte / total · 100 %

Si 18 de 24 elementos tienen una propiedad, entonces 18/24 · 100 % = 75 %. El total, es decir, la referencia, ocupa el denominador.

4. Dos aumentos o descuentos sucesivos

Un aumento del v % multiplica por 1 + v/100; un descuento del v % multiplica por 1 − v/100. Con cambios con signo v₁ y v₂, positivos para los aumentos y negativos para los descuentos:

F = I · (1 + v₁/100) · (1 + v₂/100)

• +20 %, después +10 %: 100 · 1,20 · 1,10 = 132, por lo que el aumento total es del 32 %.
• −20 %, después −10 %: 100 · 0,80 · 0,90 = 72, por lo que el descuento total es del 28 %.
• +20 %, después −10 %: 100 · 1,20 · 0,90 = 108, por lo que el cambio total es +8 %.

Los porcentajes sucesivos no se suman, porque el segundo cambio actúa sobre el valor ya modificado.

Para obtener la fórmula de un cambio del a % seguido de un cambio del b %, escribimos el total como 100 % y restamos el total inicial:

(100 % + a %) · (100 % + b %) − 100 %
= 100 % · 100 % + 100 % · b % + a % · 100 % + a % · b % − 100 %
= a % + b % + a % · b %
= (a + b + ab/100) %

En efecto, 100 % = 1, mientras que a % · b % = (ab/100) %. El término cruzado ab/100 explica por qué no basta con sumar.

5. Calcular la variación porcentual

Sean I el valor inicial y F el valor final, con I distinto de cero. Primero hallamos la diferencia F − I y después la comparamos con el valor inicial:

variación porcentual = (F − I) / I · 100 %

De 80 a 100, la variación es (100 − 80)/80 · 100 % = 25 %. De 100 a 80, es (80 − 100)/100 · 100 % = −20 %. La ida y la vuelta no tienen el mismo porcentaje porque cambia la referencia del denominador.

Si el valor inicial es cero, la variación porcentual habitual no está definida. Con un valor inicial negativo, el resultado también puede parecer poco intuitivo, de modo que hay que indicar la convención elegida. En los problemas escolares y económicos comunes suele suponerse un valor inicial positivo.

Por último, pasar del 20 % al 25 % significa aumentar 5 puntos porcentuales, pero respecto al 20 % el aumento relativo es (25 − 20)/20 · 100 % = 25 %.

6. El caso +a % seguido de −a %

Un aumento y una disminución con el mismo coeficiente no se anulan. En la fórmula general ponemos b = −a:

(a + b + ab/100) %
= (a − a − a²/100) %
= (−a²/100) %

El mismo resultado se obtiene multiplicando los factores:

(1 + a/100)(1 − a/100)
= 1 − (a/100)²

Para todo a distinto de cero dentro del intervalo habitual de los descuentos, el resultado queda por debajo del valor inicial. La pérdida total expresada como porcentaje es (a²/100) %.

Para a = 20, empezando en 100 obtenemos 100 → 120 → 96: la pérdida es del 4 %, ya que 20²/100 = 4. Un aumento del 50 % seguido de una disminución del 50 % produce una pérdida del 25 %.

7. Volver al valor inicial

Para hallar el cambio que realmente anula un primer cambio con signo v %, imponemos que el producto de los dos factores sea 1:

(1 + v/100)(1 + r/100) = 1
r = −100v / (100 + v)

Después de un aumento del 25 % se necesita una disminución del 20 %: 1,25 · 0,80 = 1. Después de una disminución del 20 % se necesita, en cambio, un aumento del 25 %: 0,80 · 1,25 = 1.

En particular, después de un aumento de a %, la reducción necesaria es 100a/(100+a) %. Después de una reducción de a %, con a menor que 100, el aumento necesario es 100a/(100−a) %. La fórmula no se aplica a un cambio del −100 %, es decir, v = −100: una cantidad que ha llegado a cero no puede recuperar su valor inicial mediante un aumento porcentual finito.

Fórmulas esenciales

El hilo común es siempre el mismo: identificar el valor de referencia y trabajar con factores multiplicativos. Estas fórmulas no son reglas aisladas; todas se deducen del significado de %.