Porcentajes: del significado al regreso al valor inicial

Los porcentajes se vuelven mucho más sencillos cuando el símbolo % se trata como una operación y no como una etiqueta que se añade al final. Partiremos de dos identidades, % = 1/100 y 100 % = 1, para reconstruir todas las fórmulas. Sin proporciones ni reglas mnemotécnicas: solo álgebra elemental.

1. Qué significa %

El símbolo de porcentaje significa literalmente una centésima. Aplicado a un número, lo divide entre 100:

% = 1 / 100
a % = a · 1 / 100 = a / 100
25 % = 25 / 100 = 0,25

Porcentajes, fracciones y números decimales no son objetos distintos: son representaciones diferentes del mismo número. Por ejemplo, 1/4 = 0,25 = 25 %.

2. Por qué 100 % = 1

100 % = 100 · 1 / 100 = 100 / 100 = 1

El cien por cien de una cantidad es la cantidad completa. Multiplicar por 100 % no cambia el valor, pues equivale a multiplicar por 1. Los porcentajes superiores a 100 también son válidos: 150 % = 1,5.

Error frecuente. El número decimal que corresponde a 100 % no es 100, sino 1. El símbolo % ya contiene la división entre 100.

3. Convertir un número en porcentaje

Para cualquier número x, multiplicamos por la identidad 100 % = 1:

x = x · 1 = x · 100 % = (100x) %

Así, 0,37 = 37 %, 1,2 = 120 % y 3/5 = 0,6 = 60 %. El coeficiente delante de % no tiene que ser entero: 1/3 = 33,333… %.

Cuando preguntamos cuánto representa una parte respecto a un total, “respecto a” indica una división:

porcentaje = parte / total · 100 %

Si 18 de 24 elementos tienen una propiedad, entonces 18/24 · 100 % = 75 %. El total, es decir, la referencia, ocupa el denominador.

4. Dos aumentos o descuentos sucesivos

Un aumento del v % multiplica por 1 + v/100; un descuento del v % multiplica por 1 − v/100. Con cambios con signo v₁ y v₂, positivos para los aumentos y negativos para los descuentos:

F = I · (1 + v₁/100) · (1 + v₂/100)

• +20 %, después +10 %: 100 · 1,20 · 1,10 = 132, por lo que el aumento total es del 32 %.
• −20 %, después −10 %: 100 · 0,80 · 0,90 = 72, por lo que el descuento total es del 28 %.
• +20 %, después −10 %: 100 · 1,20 · 0,90 = 108, por lo que el cambio total es +8 %.

Los porcentajes sucesivos no se suman, porque el segundo cambio actúa sobre el valor ya modificado.

Para obtener la fórmula de un cambio del a % seguido de un cambio del b %, escribimos el total como 100 % y restamos el total inicial:

(100 % + a %) · (100 % + b %) − 100 %
= 100 % · 100 % + 100 % · b % + a % · 100 % + a % · b % − 100 %
= a % + b % + a % · b %
= (a + b + ab/100) %

En efecto, 100 % = 1, mientras que a % · b % = (ab/100) %. El término cruzado ab/100 explica por qué no basta con sumar.

5. Calcular la variación porcentual

Sean I el valor inicial y F el valor final, con I distinto de cero. Primero hallamos la diferencia F − I y después la comparamos con el valor inicial:

variación porcentual = (F − I) / I · 100 %

De 80 a 100, la variación es (100 − 80)/80 · 100 % = 25 %. De 100 a 80, es (80 − 100)/100 · 100 % = −20 %. La ida y la vuelta no tienen el mismo porcentaje porque cambia la referencia del denominador.

Si el valor inicial es cero, la variación porcentual habitual no está definida. Con un valor inicial negativo, el resultado también puede parecer poco intuitivo, de modo que hay que indicar la convención elegida. En los problemas escolares y económicos comunes suele suponerse un valor inicial positivo.

Por último, pasar del 20 % al 25 % significa aumentar 5 puntos porcentuales, pero respecto al 20 % el aumento relativo es (25 − 20)/20 · 100 % = 25 %.

5.1. Fórmulas inversas: hallar el valor nuevo o inicial

Hasta aquí conocíamos los valores inicial y final y buscábamos la variación porcentual. Pero, conociendo el porcentaje y uno de los dos valores, podemos hallar el otro. Utilicemos las letras del ejemplo: V es el valor antiguo o inicial, N es el valor nuevo o final y P es el número con signo que expresa el porcentaje. Por tanto, V corresponde a I y N corresponde a F en los apartados anteriores. Suponemos V positivo.

Para un aumento del 15 %, escribimos P = 15; para una disminución del 3,8 %, P = −3,8. Atención: P es el número −3,8, mientras que P% = −3,8/100 = −0,038.

¿De dónde salen las fórmulas inversas?

Partimos de la fórmula de la variación. La multiplicación por 100% muestra explícitamente la transformación del cociente en porcentaje:

Variación porcentual
P% = (N − V) / V × 100%

Como P% = P/100 y 100% = 1, la misma igualdad sin símbolos de porcentaje es:

P / 100 = (N − V) / V
P × V = 100 × (N − V)
P × V = 100 × N − 100 × V
100 × V + P × V = 100 × N
V × (100 + P) = 100 × N

En la segunda línea hemos multiplicado ambos miembros por 100 × V; después hemos pasado 100 × V a la izquierda y sacado V como factor común. Dividiendo entre 100 obtenemos el valor nuevo:

Valor nuevo
N = V × (100 + P) / 100 = V × (1 + P/100)

Dividiendo en cambio entre 100 + P obtenemos el valor inicial:

Valor inicial
V = 100 × N / (100 + P) = N / (1 + P/100)

Por ejemplo, con V = 200 y un aumento del 15 %: N = 200 × (100 + 15) / 100 = 230. A la inversa, sabiendo que el valor tras el aumento es 230: V = 100 × 230 / 115 = 200. El porcentaje sigue referido al valor inicial, aunque ese valor sea la incógnita.

Problema: recuperar los nacimientos del año anterior

Utilicemos como ejercicio los datos redondeados de la noticia propuesta: «En 2025 hubo 355 mil nacimientos, un 3,8 % menos que en 2024». ¿Qué número de nacimientos de 2024 se deduce de estos datos? Antes de abrir la solución, identifica qué año proporciona el valor de referencia.

V = 100 × N / (100 + P)
V = 100 × 355000 / (100 − 3,8)
V = 35500000 / 96,2
V = 355000 / 0,962
V = 369022,869… ≈ 369023

(N − V) / V = 0,962 − 1 = −0,038
P% = −0,038 × 100% = −3,8%

¿Cuándo podemos utilizar estas fórmulas?

• La fórmula de la variación exige V distinto de cero; aquí hemos supuesto V positivo.
• Para hallar V debe cumplirse 100 + P ≠ 0, es decir, P ≠ −100. Una disminución del 100 % lleva a N = 0 cualquiera que sea V: ese cero no permite recuperar el valor inicial.
• Para cantidades no negativas, como precios y recuentos, una disminución no supera el 100 %. Un valor nuevo positivo requiere P > −100.

Dos problemas distintos: aquí hallamos el valor inicial conociendo el final y el porcentaje original. En «Volver al valor inicial» buscaremos, en cambio, qué nuevo porcentaje anula una primera variación.

6. El caso +a % seguido de −a %

Un aumento y una disminución con el mismo coeficiente no se anulan. En la fórmula general ponemos b = −a:

(a + b + ab/100) %
= (a − a − a²/100) %
= (−a²/100) %

El mismo resultado se obtiene multiplicando los factores:

(1 + a/100)(1 − a/100)
= 1 − (a/100)²

Para todo a distinto de cero dentro del intervalo habitual de los descuentos, el resultado queda por debajo del valor inicial. La pérdida total expresada como porcentaje es (a²/100) %.

Para a = 20, empezando en 100 obtenemos 100 → 120 → 96: la pérdida es del 4 %, ya que 20²/100 = 4. Un aumento del 50 % seguido de una disminución del 50 % produce una pérdida del 25 %.

7. Volver al valor inicial

Retomamos un razonamiento elaborado en 2014 y comprobado con Excel: primero hallamos el factor inverso y después distinguimos el porcentaje del valor que se debe alcanzar de la variación necesaria.

Una acción pierde el 10 %. ¿Qué variación necesita para recuperar su precio inicial? En general, dada una variación a%, positiva, negativa o nula, ¿qué variación r% devuelve al inicio? Aquí a es el número con signo: −10 significa una caída del 10 % y +5 una subida del 5 %.

7.1. Si pierde el 10 %, queda el 90 %

Tras una pérdida del 10 %, queda el 90 % del valor inicial, es decir, 90/100. Para deshacer esta multiplicación, tomamos su inverso: multiplicamos por 100/90.

(100 − 10)% = 90% = 90/100
(90/100) × (100/90) = 1 = 100%

Convertimos el inverso en porcentaje multiplicándolo explícitamente por 100%. Aproximadamente 111,11 % indica el valor que se debe alcanzar respecto al actual: todavía no es la variación.

100/90 × 100% ≈ 111,11%

Para medir cuánto debe aumentar el valor actual, restamos su totalidad, el 100%. Se necesita aproximadamente +11,11 %, no +10 %. Para comprobarlo conservamos la razón exacta, sin redondearla antes.

100/90 × 100% − 100%
= (100/90 − 1) × 100% ≈ +11,11%
100 → 90 → 90 × (100/90) = 100

7.2. Si sube el 5 %, llega al 105 %

Después de una subida del 5 %, tenemos el 105 % del valor inicial, es decir, 105/100. El factor de retorno es su inverso, 100/105. Para obtener la variación, convertimos esta razón en porcentaje y restamos 100%.

(100 + 5)% = 105% = 105/100
(105/100) × (100/105) = 1 = 100%
100/105 × 100% ≈ 95,24%
100/105 × 100% − 100%
= (100/105 − 1) × 100% ≈ −4,76%
100 → 105 → 105 × (100/105) = 100

7.3. Fórmula general: inverso, porcentaje, diferencia

Tras una primera variación a%, el factor inicial es (100+a)/100; el de retorno es 100/(100+a). Al convertirlo en porcentaje y restar la totalidad, obtenemos:

r% = (100/(100 + a) − 1) × 100%

100/(100 + a) × 100% − 100%
= (100/(100 + a) − 1) × 100%

r es el número delante de %. La siguiente forma es equivalente, pero su explicación sigue siendo el razonamiento del inverso:

r = 100 × (100/(100 + a) − 1)
  = −100a/(100 + a)

El denominador exige a ≠ −100. Con valor inicial positivo y cantidades no negativas, un retorno finito requiere a > −100: a puede ser negativo, positivo o cero. Si a = 0, r también es 0. Tras una caída del 100 % queda cero y ningún aumento porcentual finito permite recuperar el valor inicial.

7.4. Comprobación con Excel

Escribe el número −10 en A2, sin %, y el número 5 en A3. En B2 introduce =100/(100+A2)-1 y copia la fórmula en B3. Aplica a las celdas B el formato Porcentaje, por ejemplo con dos decimales.

La fórmula devuelve decimales, aproximadamente 0,111111 y −0,047619. El formato Porcentaje los muestra como 11,11 % y −4,76 %: cambia la representación, no el valor almacenado. No multipliques otra vez por 100 en la fórmula, pues con este formato verías aproximadamente 1111,11 % y −476,19 %.

Cuidado con la convención de entrada: si A2 ya contiene −10% (valor numérico −0,10), utiliza =1/(1+A2)-1, también con el resultado en formato Porcentaje. No mezcles las dos convenciones.

Prueba el método del inverso en el laboratorio: −10%, +5% y tus propios valores

Fórmulas esenciales

El hilo común es siempre el mismo: identificar el valor de referencia y trabajar con factores multiplicativos. Estas fórmulas no son reglas aisladas; todas se deducen del significado de %.

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