Percentuali: dal significato al ritorno al valore iniziale

Le percentuali diventano molto più semplici quando il simbolo % viene trattato come un’operazione e non come un’etichetta da aggiungere alla fine. Partiremo da due sole identità, % = 1/100 e 100% = 1, per ricostruire tutte le formule. Nessuna proporzione e nessuna regola mnemonica: solo algebra elementare.

1. Che cosa significa %

Il simbolo percentuale significa letteralmente un centesimo. Applicato a un numero, lo divide per 100:

% = 1 / 100
a% = a · 1 / 100 = a / 100
25% = 25 / 100 = 0,25

Perciò percentuali, frazioni e numeri decimali non sono oggetti diversi: sono rappresentazioni diverse dello stesso numero. Ad esempio, 1/4 = 0,25 = 25%.

2. Perché 100% = 1

100% = 100 · 1 / 100 = 100 / 100 = 1

Il 100% di una quantità è quindi la quantità intera. Moltiplicare per 100% non cambia il valore, perché equivale a moltiplicare per 1. Anche valori superiori al 100% sono perfettamente validi: 150% = 1,5.

Errore comune. Il numero decimale corrispondente a 100% non è 100, ma 1. Il simbolo % contiene già la divisione per 100.

3. Trasformare un numero in percentuale

Dato un numero x, possiamo moltiplicarlo per l’identità 100% = 1:

x = x · 1 = x · 100% = (100x)%

Quindi 0,37 = 37%, 1,2 = 120% e 3/5 = 0,6 = 60%. Il coefficiente davanti a % non è necessariamente intero: 1/3 = 33,333…%.

Quando chiediamo quanto una parte rappresenti rispetto a un totale, “rispetto a” indica una divisione:

percentuale = parte / totale · 100%

Se 18 elementi su 24 hanno una proprietà, allora 18/24 · 100% = 75%. Il totale, cioè il riferimento, va al denominatore.

4. Due aumenti o sconti consecutivi

Un aumento del v% moltiplica per 1 + v/100; uno sconto del v% moltiplica per 1 − v/100. Con variazioni firmate v₁ e v₂, positive per gli aumenti e negative per gli sconti:

F = I · (1 + v₁/100) · (1 + v₂/100)

• +20%, poi +10%: 100 · 1,20 · 1,10 = 132, quindi l’aumento totale è 32%.
• −20%, poi −10%: 100 · 0,80 · 0,90 = 72, quindi lo sconto totale è 28%.
• +20%, poi −10%: 100 · 1,20 · 0,90 = 108, quindi la variazione totale è +8%.

Le percentuali successive non si sommano, perché la seconda variazione agisce sul valore già modificato.

Per ricavare la formula di una variazione a% seguita da una variazione b%, scriviamo l’intero come 100% e sottraiamo l’intero iniziale:

(100% + a%) · (100% + b%) − 100%
= 100% · 100% + 100% · b% + a% · 100% + a% · b% − 100%
= a% + b% + a% · b%
= (a + b + ab/100)%

Infatti 100% = 1, mentre a% · b% = (ab/100)%. Il termine incrociato ab/100 spiega perché la semplice somma non basta.

5. Calcolare la variazione percentuale

Siano I il valore iniziale e F il valore finale, con I diverso da zero. Prima calcoliamo la differenza F − I, poi la confrontiamo con il valore iniziale:

variazione percentuale = (F − I) / I · 100%

Da 80 a 100 la variazione è (100 − 80)/80 · 100% = 25%. Da 100 a 80 è invece (80 − 100)/100 · 100% = −20%. Andata e ritorno non hanno la stessa percentuale perché cambia il riferimento al denominatore.

Se il valore iniziale è zero, la variazione percentuale usuale non è definita. Con valori iniziali negativi la formula può inoltre risultare poco intuitiva: occorre dichiarare la convenzione adottata. Nei normali problemi scolastici ed economici si assume di solito I positivo.

Infine, passare dal 20% al 25% significa aumentare di 5 punti percentuali, ma rispetto al 20% l’aumento relativo è (25 − 20)/20 · 100% = 25%.

6. Il caso +a% seguito da −a%

Un aumento e una diminuzione con lo stesso coefficiente non si annullano. Nella formula generale poniamo b = −a:

(a + b + ab/100)%
= (a − a − a²/100)%
= (−a²/100)%

Lo stesso risultato si ottiene moltiplicando i fattori:

(1 + a/100)(1 − a/100)
= 1 − (a/100)²

Il risultato è inferiore al valore iniziale per ogni a diverso da zero nel normale intervallo degli sconti. La perdita complessiva, espressa in percentuale, è (a²/100)%.

Con a = 20, partendo da 100 otteniamo 100 → 120 → 96: la perdita è 4%, proprio perché 20²/100 = 4. Con +50% e poi −50% si perde il 25%.

7. Tornare al valore iniziale

Per trovare la variazione che annulla davvero una prima variazione firmata v%, imponiamo che il prodotto dei due fattori sia 1:

(1 + v/100)(1 + r/100) = 1
r = −100v / (100 + v)

Dopo un aumento del 25% serve una diminuzione del 20%: 1,25 · 0,80 = 1. Dopo una diminuzione del 20% serve invece un aumento del 25%: 0,80 · 1,25 = 1.

In particolare, dopo un aumento di a% la riduzione necessaria è 100a/(100+a)%. Dopo una riduzione di a%, con a minore di 100, l’aumento necessario è 100a/(100−a)%. La formula non vale per una variazione del −100%, cioè v = −100: una quantità arrivata a zero non può tornare al valore iniziale attraverso un aumento percentuale finito.

Formule in breve

Il filo comune è sempre lo stesso: individuare il valore di riferimento e lavorare con i fattori moltiplicativi. Le formule non sono regole isolate; discendono tutte dal significato di %.