Percentuali: dal significato al ritorno al valore iniziale

Le percentuali diventano molto più semplici quando il simbolo % viene trattato come un’operazione e non come un’etichetta da aggiungere alla fine. Partiremo da due sole identità, % = 1/100 e 100% = 1, per ricostruire tutte le formule. Nessuna proporzione e nessuna regola mnemonica: solo algebra elementare.

1. Che cosa significa %

Il simbolo percentuale significa letteralmente un centesimo. Applicato a un numero, lo divide per 100:

% = 1 / 100
a% = a · 1 / 100 = a / 100
25% = 25 / 100 = 0,25

Perciò percentuali, frazioni e numeri decimali non sono oggetti diversi: sono rappresentazioni diverse dello stesso numero. Ad esempio, 1/4 = 0,25 = 25%.

2. Perché 100% = 1

100% = 100 · 1 / 100 = 100 / 100 = 1

Il 100% di una quantità è quindi la quantità intera. Moltiplicare per 100% non cambia il valore, perché equivale a moltiplicare per 1. Anche valori superiori al 100% sono perfettamente validi: 150% = 1,5.

Errore comune. Il numero decimale corrispondente a 100% non è 100, ma 1. Il simbolo % contiene già la divisione per 100.

3. Trasformare un numero in percentuale

Dato un numero x, possiamo moltiplicarlo per l’identità 100% = 1:

x = x · 1 = x · 100% = (100x)%

Quindi 0,37 = 37%, 1,2 = 120% e 3/5 = 0,6 = 60%. Il coefficiente davanti a % non è necessariamente intero: 1/3 = 33,333…%.

Quando chiediamo quanto una parte rappresenti rispetto a un totale, “rispetto a” indica una divisione:

percentuale = parte / totale · 100%

Se 18 elementi su 24 hanno una proprietà, allora 18/24 · 100% = 75%. Il totale, cioè il riferimento, va al denominatore.

4. Due aumenti o sconti consecutivi

Un aumento del v% moltiplica per 1 + v/100; uno sconto del v% moltiplica per 1 − v/100. Con variazioni firmate v₁ e v₂, positive per gli aumenti e negative per gli sconti:

F = I · (1 + v₁/100) · (1 + v₂/100)

• +20%, poi +10%: 100 · 1,20 · 1,10 = 132, quindi l’aumento totale è 32%.
• −20%, poi −10%: 100 · 0,80 · 0,90 = 72, quindi lo sconto totale è 28%.
• +20%, poi −10%: 100 · 1,20 · 0,90 = 108, quindi la variazione totale è +8%.

Le percentuali successive non si sommano, perché la seconda variazione agisce sul valore già modificato.

Per ricavare la formula di una variazione a% seguita da una variazione b%, scriviamo l’intero come 100% e sottraiamo l’intero iniziale:

(100% + a%) · (100% + b%) − 100%
= 100% · 100% + 100% · b% + a% · 100% + a% · b% − 100%
= a% + b% + a% · b%
= (a + b + ab/100)%

Infatti 100% = 1, mentre a% · b% = (ab/100)%. Il termine incrociato ab/100 spiega perché la semplice somma non basta.

5. Calcolare la variazione percentuale

Siano I il valore iniziale e F il valore finale, con I diverso da zero. Prima calcoliamo la differenza F − I, poi la confrontiamo con il valore iniziale:

variazione percentuale = (F − I) / I · 100%

Da 80 a 100 la variazione è (100 − 80)/80 · 100% = 25%. Da 100 a 80 è invece (80 − 100)/100 · 100% = −20%. Andata e ritorno non hanno la stessa percentuale perché cambia il riferimento al denominatore.

Se il valore iniziale è zero, la variazione percentuale usuale non è definita. Con valori iniziali negativi la formula può inoltre risultare poco intuitiva: occorre dichiarare la convenzione adottata. Nei normali problemi scolastici ed economici si assume di solito I positivo.

Infine, passare dal 20% al 25% significa aumentare di 5 punti percentuali, ma rispetto al 20% l’aumento relativo è (25 − 20)/20 · 100% = 25%.

5.1. Formule inverse: trovare il valore nuovo o quello iniziale

Finora conoscevamo il valore iniziale e quello finale e cercavamo la variazione percentuale. Ma, conoscendo la percentuale e uno dei due valori, possiamo trovare l’altro. Usiamo le lettere dell’esempio: V è il valore vecchio o iniziale, N è il valore nuovo o finale e P è il numero con segno che esprime la percentuale. Quindi V corrisponde a I e N corrisponde a F nei paragrafi precedenti. Consideriamo V positivo.

Per un aumento del 15% scriviamo P = 15; per una diminuzione del 3,8% scriviamo P = −3,8. Attenzione: P è il numero −3,8, mentre P% = −3,8/100 = −0,038.

Da dove vengono le formule inverse?

Partiamo dalla formula della variazione. La moltiplicazione per 100% mostra esplicitamente la trasformazione del rapporto in percentuale:

Variazione percentuale
P% = (N − V) / V × 100%

Poiché P% = P/100 e 100% = 1, la stessa uguaglianza, scritta senza simboli percentuali, è:

P / 100 = (N − V) / V
P × V = 100 × (N − V)
P × V = 100 × N − 100 × V
100 × V + P × V = 100 × N
V × (100 + P) = 100 × N

Nella seconda riga abbiamo moltiplicato entrambi i membri per 100 × V; poi abbiamo portato 100 × V a sinistra e raccolto V. Dividendo per 100 troviamo il valore nuovo:

Valore nuovo
N = V × (100 + P) / 100 = V × (1 + P/100)

Dividendo invece per 100 + P troviamo il valore iniziale:

Valore iniziale
V = 100 × N / (100 + P) = N / (1 + P/100)

Ad esempio, con V = 200 e un aumento del 15%: N = 200 × (100 + 15) / 100 = 230. Viceversa, sapendo che dopo l’aumento il valore è 230: V = 100 × 230 / 115 = 200. La percentuale resta riferita al valore iniziale, anche quando quel valore è l’incognita.

Problema: risalire alle nascite dell’anno precedente

Usiamo come esercizio i dati arrotondati della notizia proposta: «Nel 2025 le nascite sono 355 mila, il 3,8% in meno rispetto al 2024». Quale numero di nascite del 2024 si ricava da questi dati? Prima di aprire la soluzione, individua quale anno rappresenta il valore di riferimento.

V = 100 × N / (100 + P)
V = 100 × 355000 / (100 − 3,8)
V = 35500000 / 96,2
V = 355000 / 0,962
V = 369022,869… ≈ 369023

(N − V) / V = 0,962 − 1 = −0,038
P% = −0,038 × 100% = −3,8%

Quando possiamo usare queste formule?

• La formula della variazione richiede V diverso da zero; qui abbiamo assunto V positivo.
• Per ricavare V deve essere 100 + P ≠ 0, cioè P ≠ −100. Con un calo del 100% si arriva a N = 0 qualunque sia V: non possiamo recuperare il valore iniziale dal solo zero.
• Per quantità non negative, come prezzi e conteggi, una diminuzione non supera il 100%. Per un valore nuovo positivo serve P > −100.

Due problemi diversi: qui troviamo il valore iniziale conoscendo il valore finale e la percentuale originaria. Nel paragrafo «Tornare al valore iniziale» cercheremo invece quale nuova percentuale annulla una prima variazione.

6. Il caso +a% seguito da −a%

Un aumento e una diminuzione con lo stesso coefficiente non si annullano. Nella formula generale poniamo b = −a:

(a + b + ab/100)%
= (a − a − a²/100)%
= (−a²/100)%

Lo stesso risultato si ottiene moltiplicando i fattori:

(1 + a/100)(1 − a/100)
= 1 − (a/100)²

Il risultato è inferiore al valore iniziale per ogni a diverso da zero nel normale intervallo degli sconti. La perdita complessiva, espressa in percentuale, è (a²/100)%.

Con a = 20, partendo da 100 otteniamo 100 → 120 → 96: la perdita è 4%, proprio perché 20²/100 = 4. Con +50% e poi −50% si perde il 25%.

7. Tornare al valore iniziale

Riprendiamo un ragionamento elaborato nel 2014 e verificato con Excel: prima troviamo il fattore inverso, poi distinguiamo la percentuale del valore raggiunto dalla variazione necessaria.

Un’azione perde il 10%. Quale variazione deve fare per ritornare al prezzo iniziale? Più in generale: data una variazione a%, positiva, negativa o nulla, quale variazione r% riporta all’inizio? Qui a è il numero con segno: −10 significa una perdita del 10%, +5 un aumento del 5%.

7.1. Se perde il 10%, resta il 90%

Dopo una perdita del 10% rimane il 90% del valore iniziale, cioè 90/100. Per annullare questa moltiplicazione dobbiamo fare l’inverso: moltiplicare per 100/90.

(100 − 10)% = 90% = 90/100
(90/100) × (100/90) = 1 = 100%

Trasformiamo il reciproco in percentuale moltiplicandolo esplicitamente per 100%. Il risultato, circa 111,11%, indica il valore da raggiungere rispetto a quello attuale: non è ancora la variazione.

100/90 × 100% ≈ 111,11%

Per misurare di quanto deve aumentare il valore attuale togliamo il suo intero, cioè 100%. Serve quindi circa +11,11%, non +10%. Nei calcoli di verifica conserviamo il rapporto esatto, senza arrotondarlo prima.

100/90 × 100% − 100%
= (100/90 − 1) × 100% ≈ +11,11%
100 → 90 → 90 × (100/90) = 100

7.2. Se sale del 5%, arriva al 105%

Dopo un aumento del 5% abbiamo il 105% del valore iniziale, cioè 105/100. Il fattore che riporta all’inizio è il suo reciproco 100/105. Per ottenere la variazione, trasformiamo anche questo rapporto in percentuale e togliamo 100%.

(100 + 5)% = 105% = 105/100
(105/100) × (100/105) = 1 = 100%
100/105 × 100% ≈ 95,24%
100/105 × 100% − 100%
= (100/105 − 1) × 100% ≈ −4,76%
100 → 105 → 105 × (100/105) = 100

7.3. La formula generale: reciproco, percentuale, differenza

Con una prima variazione a%, il fattore iniziale è (100+a)/100; il fattore di ritorno è 100/(100+a). Convertendo in percentuale e sottraendo l’intero otteniamo:

r% = (100/(100 + a) − 1) × 100%

100/(100 + a) × 100% − 100%
= (100/(100 + a) − 1) × 100%

r è il numero davanti al simbolo %. La forma seguente è equivalente, ma il ragionamento che la spiega resta quello del reciproco:

r = 100 × (100/(100 + a) − 1)
  = −100a/(100 + a)

Il denominatore impone a ≠ −100. Nei problemi con valore iniziale positivo e quantità non negative, per un ritorno finito si usa a > −100: a può essere negativo, positivo oppure zero. Se a = 0, anche r = 0. Dopo un calo del 100% resta zero e nessun aumento percentuale finito può ricostruire il valore iniziale.

7.4. La verifica con Excel

Scrivi in A2 il numero −10, senza il simbolo %, e in A3 il numero 5. In B2 inserisci =100/(100+A2)-1 e copia la formula in B3. Applica alle celle B il formato Percentuale, per esempio con due decimali.

La formula restituisce numeri decimali: circa 0,111111 e −0,047619. Il formato Percentuale li visualizza come 11,11% e −4,76%: cambia la rappresentazione, non il valore memorizzato. Non aggiungere un’altra moltiplicazione per 100 nella formula, altrimenti con questo formato vedresti circa 1111,11% e −476,19%.

Attenzione al dato inserito: se A2 contiene già −10% (valore numerico −0,10), la formula adatta è =1/(1+A2)-1, sempre con risultato in formato Percentuale. Le due convenzioni non vanno mescolate.

Prova il metodo del reciproco nel laboratorio: −10%, +5% e valori a tua scelta

Formule in breve

Il filo comune è sempre lo stesso: individuare il valore di riferimento e lavorare con i fattori moltiplicativi. Le formule non sono regole isolate; discendono tutte dal significato di %.

Apri il laboratorio delle percentuali: esempi, grafici e passaggi

Percentuali di che cosa? Gruppi, basi diverse e rapporto tra i tassi