Pourcentages : du sens au retour à la valeur initiale

Les pourcentages deviennent beaucoup plus simples lorsque le symbole % est traité comme une opération et non comme une étiquette ajoutée à la fin. Nous partirons de deux identités, % = 1/100 et 100 % = 1, pour reconstruire toutes les formules. Aucune règle de trois et aucune astuce à mémoriser : seulement de l’algèbre élémentaire.

1. Ce que signifie %

Le symbole pourcentage signifie littéralement un centième. Appliqué à un nombre, il le divise par 100 :

% = 1 / 100
a % = a · 1 / 100 = a / 100
25 % = 25 / 100 = 0,25

Pourcentages, fractions et nombres décimaux ne sont donc pas des objets différents : ce sont des écritures différentes du même nombre. Par exemple, 1/4 = 0,25 = 25 %.

2. Pourquoi 100 % = 1

100 % = 100 · 1 / 100 = 100 / 100 = 1

Cent pour cent d’une quantité représente donc la quantité entière. Multiplier par 100 % ne change pas la valeur, car cela revient à multiplier par 1. Les pourcentages supérieurs à 100 sont eux aussi valables : 150 % = 1,5.

Erreur fréquente. Le nombre décimal correspondant à 100 % n’est pas 100, mais 1. Le symbole % contient déjà la division par 100.

3. Transformer un nombre en pourcentage

Pour tout nombre x, multiplions par l’identité 100 % = 1 :

x = x · 1 = x · 100 % = (100x) %

Ainsi, 0,37 = 37 %, 1,2 = 120 % et 3/5 = 0,6 = 60 %. Le coefficient placé devant % n’est pas nécessairement entier : 1/3 = 33,333… %.

Lorsque l’on demande ce qu’une partie représente par rapport à un total, « par rapport à » indique une division :

pourcentage = partie / total · 100 %

Si 18 éléments sur 24 possèdent une propriété, alors 18/24 · 100 % = 75 %. Le total, c’est-à-dire la référence, se place au dénominateur.

4. Deux augmentations ou réductions successives

Une augmentation de v % multiplie par 1 + v/100 ; une réduction de v % multiplie par 1 − v/100. Avec des variations signées v₁ et v₂, positives pour les hausses et négatives pour les réductions :

F = I · (1 + v₁/100) · (1 + v₂/100)

• +20 %, puis +10 % : 100 · 1,20 · 1,10 = 132, soit une hausse totale de 32 %.
• −20 %, puis −10 % : 100 · 0,80 · 0,90 = 72, soit une réduction totale de 28 %.
• +20 %, puis −10 % : 100 · 1,20 · 0,90 = 108, soit une variation totale de +8 %.

Les pourcentages successifs ne s’additionnent pas, car la seconde variation agit sur la valeur déjà modifiée.

Pour établir la formule d’une variation de a % suivie d’une variation de b %, écrivons le tout sous la forme 100 % puis retranchons le tout initial :

(100 % + a %) · (100 % + b %) − 100 %
= 100 % · 100 % + 100 % · b % + a % · 100 % + a % · b % − 100 %
= a % + b % + a % · b %
= (a + b + ab/100) %

En effet, 100 % = 1, tandis que a % · b % = (ab/100) %. Le terme croisé ab/100 explique pourquoi la simple somme ne suffit pas.

5. Calculer la variation en pourcentage

Soient I la valeur initiale et F la valeur finale, avec I différent de zéro. Calculons d’abord la différence F − I, puis comparons-la à la valeur initiale :

variation en pourcentage = (F − I) / I · 100 %

De 80 à 100, la variation est (100 − 80)/80 · 100 % = 25 %. De 100 à 80, elle vaut (80 − 100)/100 · 100 % = −20 %. L’aller et le retour ne donnent pas le même pourcentage, car la référence au dénominateur change.

Si la valeur initiale est nulle, la variation en pourcentage habituelle n’est pas définie. Avec une valeur initiale négative, le résultat peut aussi sembler contre-intuitif : il faut préciser la convention retenue. Les exercices scolaires et économiques courants supposent généralement une valeur initiale positive.

Enfin, passer de 20 % à 25 % représente une hausse de 5 points de pourcentage, mais, relativement à 20 %, la hausse vaut (25 − 20)/20 · 100 % = 25 %.

5.1. Formules inverses : trouver la valeur nouvelle ou initiale

Jusqu’ici, nous connaissions les valeurs initiale et finale et cherchions la variation en pourcentage. Mais en connaissant le pourcentage et l’une des deux valeurs, nous pouvons retrouver l’autre. Utilisons les lettres de l’exemple : V est la valeur ancienne ou initiale, N est la valeur nouvelle ou finale et P est le nombre signé qui exprime le pourcentage. Ainsi, V correspond à I et N correspond à F dans les paragraphes précédents. Nous supposons V positif.

Pour une hausse de 15 %, on écrit P = 15 ; pour une baisse de 3,8 %, P = −3,8. Attention : P est le nombre −3,8, tandis que P% = −3,8/100 = −0,038.

D’où viennent les formules inverses ?

Partons de la formule de variation. La multiplication par 100% montre explicitement la conversion du rapport en pourcentage :

Variation en pourcentage
P% = (N − V) / V × 100%

Puisque P% = P/100 et 100% = 1, la même égalité sans symboles de pourcentage s’écrit :

P / 100 = (N − V) / V
P × V = 100 × (N − V)
P × V = 100 × N − 100 × V
100 × V + P × V = 100 × N
V × (100 + P) = 100 × N

À la deuxième ligne, nous avons multiplié les deux membres par 100 × V ; puis nous avons déplacé 100 × V à gauche et factorisé par V. En divisant par 100, nous trouvons la nouvelle valeur :

Nouvelle valeur
N = V × (100 + P) / 100 = V × (1 + P/100)

En divisant plutôt par 100 + P, nous obtenons la valeur initiale :

Valeur initiale
V = 100 × N / (100 + P) = N / (1 + P/100)

Par exemple, avec V = 200 et une hausse de 15 % : N = 200 × (100 + 15) / 100 = 230. Réciproquement, si la valeur après la hausse est 230 : V = 100 × 230 / 115 = 200. Le pourcentage reste calculé par rapport à la valeur initiale, même lorsque celle-ci est inconnue.

Problème : retrouver les naissances de l’année précédente

Prenons comme exercice les chiffres arrondis de l’information proposée : « En 2025, les naissances sont au nombre de 355 mille, soit 3,8 % de moins qu’en 2024. » Quel nombre de naissances en 2024 peut-on en déduire ? Avant d’ouvrir la solution, identifiez l’année servant de référence.

V = 100 × N / (100 + P)
V = 100 × 355000 / (100 − 3,8)
V = 35500000 / 96,2
V = 355000 / 0,962
V = 369022,869… ≈ 369023

(N − V) / V = 0,962 − 1 = −0,038
P% = −0,038 × 100% = −3,8%

Quand peut-on utiliser ces formules ?

• La formule de variation exige V différent de zéro ; ici, nous avons supposé V positif.
• Pour retrouver V, il faut 100 + P ≠ 0, soit P ≠ −100. Une baisse de 100 % donne N = 0 quelle que soit V : ce seul zéro ne permet pas de retrouver la valeur initiale.
• Pour les quantités non négatives, comme les prix et les décomptes, une baisse ne dépasse pas 100 %. Une nouvelle valeur positive exige P > −100.

Deux problèmes distincts : ici, nous cherchons la valeur initiale connaissant la valeur finale et le pourcentage d’origine. Dans « Revenir à la valeur initiale », nous chercherons plutôt quel nouveau pourcentage annule une première variation.

6. Le cas +a % suivi de −a %

Une hausse et une baisse de même coefficient ne s’annulent pas. Dans la formule générale, posons b = −a :

(a + b + ab/100) %
= (a − a − a²/100) %
= (−a²/100) %

On obtient le même résultat en multipliant les facteurs :

(1 + a/100)(1 − a/100)
= 1 − (a/100)²

Pour tout a non nul dans l’intervalle habituel des réductions, le résultat est inférieur à la valeur initiale. La perte globale en pourcentage est (a²/100) %.

Pour a = 20, en partant de 100, on obtient 100 → 120 → 96 : la perte est de 4 %, car 20²/100 = 4. Une hausse de 50 % suivie d’une baisse de 50 % produit une perte de 25 %.

7. Revenir à la valeur initiale

Reprenons un raisonnement élaboré en 2014 et vérifié avec Excel : trouver d’abord le facteur inverse, puis distinguer le pourcentage de la valeur à atteindre de la variation nécessaire.

Une action perd 10 %. Quelle variation lui permet de retrouver son prix initial ? Plus généralement, après une variation a%, positive, négative ou nulle, quelle variation r% ramène au départ ? Ici, a est le nombre signé : −10 signifie une baisse de 10 %, +5 une hausse de 5 %.

7.1. Une baisse de 10 % laisse 90 %

Après une baisse de 10 %, il reste 90 % de la valeur initiale, soit 90/100. Pour annuler cette multiplication, prenons l’inverse : multiplions par 100/90.

(100 − 10)% = 90% = 90/100
(90/100) × (100/90) = 1 = 100%

Transformons l’inverse en pourcentage en le multipliant explicitement par 100%. Environ 111,11 % représente la valeur à atteindre par rapport à la valeur actuelle : ce n’est pas encore la variation.

100/90 × 100% ≈ 111,11%

Pour mesurer la hausse nécessaire, retranchons le tout actuel, soit 100%. Il faut donc environ +11,11 %, et non +10 %. Pour vérifier, conservons le rapport exact sans l’arrondir auparavant.

100/90 × 100% − 100%
= (100/90 − 1) × 100% ≈ +11,11%
100 → 90 → 90 × (100/90) = 100

7.2. Une hausse de 5 % atteint 105 %

Après une hausse de 5 %, nous avons 105 % de la valeur initiale, soit 105/100. Le facteur de retour est son inverse, 100/105. Pour obtenir la variation, transformons ce rapport en pourcentage puis retranchons 100%.

(100 + 5)% = 105% = 105/100
(105/100) × (100/105) = 1 = 100%
100/105 × 100% ≈ 95,24%
100/105 × 100% − 100%
= (100/105 − 1) × 100% ≈ −4,76%
100 → 105 → 105 × (100/105) = 100

7.3. Formule générale : inverse, pourcentage, différence

Après une première variation a%, le facteur initial est (100+a)/100 ; le facteur de retour vaut 100/(100+a). En le convertissant en pourcentage puis en retranchant le tout, on obtient :

r% = (100/(100 + a) − 1) × 100%

100/(100 + a) × 100% − 100%
= (100/(100 + a) − 1) × 100%

r est le nombre devant %. L’expression suivante est équivalente, mais son explication reste le raisonnement par l’inverse :

r = 100 × (100/(100 + a) − 1)
  = −100a/(100 + a)

Le dénominateur impose a ≠ −100. Avec une valeur initiale positive et des quantités non négatives, un retour fini exige a > −100 : a peut être négatif, positif ou nul. Si a = 0, r = 0 aussi. Après une baisse de 100 %, il reste zéro et aucune hausse en pourcentage finie ne peut rétablir la valeur initiale.

7.4. Vérification avec Excel

Saisissez le nombre −10 en A2, sans %, et le nombre 5 en A3. En B2, saisissez =100/(100+A2)-1 puis recopiez la formule en B3. Appliquez aux cellules B le format Pourcentage, par exemple avec deux décimales.

La formule renvoie des nombres décimaux, environ 0,111111 et −0,047619. Le format Pourcentage les affiche comme 11,11 % et −4,76 % : il change la représentation, pas la valeur mémorisée. Ne multipliez pas encore par 100 dans la formule, sinon ce format afficherait environ 1111,11 % et −476,19 %.

Attention à la convention de saisie : si A2 contient déjà −10% (valeur numérique −0,10), utilisez plutôt =1/(1+A2)-1, toujours avec le résultat au format Pourcentage. Ne mélangez pas les deux conventions.

Essayez la méthode de l’inverse au laboratoire : −10%, +5% et vos propres valeurs

Formules essentielles

Le fil conducteur reste toujours le même : identifier la valeur de référence et travailler avec les facteurs multiplicatifs. Ces formules ne sont pas des règles isolées ; elles découlent toutes du sens de %.

Ouvrir le laboratoire des pourcentages : exemples, graphiques et étapes

Pourcentages de quoi ? Groupes, bases différentes et rapport des taux