Pourcentages : du sens au retour à la valeur initiale

Les pourcentages deviennent beaucoup plus simples lorsque le symbole % est traité comme une opération et non comme une étiquette ajoutée à la fin. Nous partirons de deux identités, % = 1/100 et 100 % = 1, pour reconstruire toutes les formules. Aucune règle de trois et aucune astuce à mémoriser : seulement de l’algèbre élémentaire.

1. Ce que signifie %

Le symbole pourcentage signifie littéralement un centième. Appliqué à un nombre, il le divise par 100 :

% = 1 / 100
a % = a · 1 / 100 = a / 100
25 % = 25 / 100 = 0,25

Pourcentages, fractions et nombres décimaux ne sont donc pas des objets différents : ce sont des écritures différentes du même nombre. Par exemple, 1/4 = 0,25 = 25 %.

2. Pourquoi 100 % = 1

100 % = 100 · 1 / 100 = 100 / 100 = 1

Cent pour cent d’une quantité représente donc la quantité entière. Multiplier par 100 % ne change pas la valeur, car cela revient à multiplier par 1. Les pourcentages supérieurs à 100 sont eux aussi valables : 150 % = 1,5.

Erreur fréquente. Le nombre décimal correspondant à 100 % n’est pas 100, mais 1. Le symbole % contient déjà la division par 100.

3. Transformer un nombre en pourcentage

Pour tout nombre x, multiplions par l’identité 100 % = 1 :

x = x · 1 = x · 100 % = (100x) %

Ainsi, 0,37 = 37 %, 1,2 = 120 % et 3/5 = 0,6 = 60 %. Le coefficient placé devant % n’est pas nécessairement entier : 1/3 = 33,333… %.

Lorsque l’on demande ce qu’une partie représente par rapport à un total, « par rapport à » indique une division :

pourcentage = partie / total · 100 %

Si 18 éléments sur 24 possèdent une propriété, alors 18/24 · 100 % = 75 %. Le total, c’est-à-dire la référence, se place au dénominateur.

4. Deux augmentations ou réductions successives

Une augmentation de v % multiplie par 1 + v/100 ; une réduction de v % multiplie par 1 − v/100. Avec des variations signées v₁ et v₂, positives pour les hausses et négatives pour les réductions :

F = I · (1 + v₁/100) · (1 + v₂/100)

• +20 %, puis +10 % : 100 · 1,20 · 1,10 = 132, soit une hausse totale de 32 %.
• −20 %, puis −10 % : 100 · 0,80 · 0,90 = 72, soit une réduction totale de 28 %.
• +20 %, puis −10 % : 100 · 1,20 · 0,90 = 108, soit une variation totale de +8 %.

Les pourcentages successifs ne s’additionnent pas, car la seconde variation agit sur la valeur déjà modifiée.

Pour établir la formule d’une variation de a % suivie d’une variation de b %, écrivons le tout sous la forme 100 % puis retranchons le tout initial :

(100 % + a %) · (100 % + b %) − 100 %
= 100 % · 100 % + 100 % · b % + a % · 100 % + a % · b % − 100 %
= a % + b % + a % · b %
= (a + b + ab/100) %

En effet, 100 % = 1, tandis que a % · b % = (ab/100) %. Le terme croisé ab/100 explique pourquoi la simple somme ne suffit pas.

5. Calculer la variation en pourcentage

Soient I la valeur initiale et F la valeur finale, avec I différent de zéro. Calculons d’abord la différence F − I, puis comparons-la à la valeur initiale :

variation en pourcentage = (F − I) / I · 100 %

De 80 à 100, la variation est (100 − 80)/80 · 100 % = 25 %. De 100 à 80, elle vaut (80 − 100)/100 · 100 % = −20 %. L’aller et le retour ne donnent pas le même pourcentage, car la référence au dénominateur change.

Si la valeur initiale est nulle, la variation en pourcentage habituelle n’est pas définie. Avec une valeur initiale négative, le résultat peut aussi sembler contre-intuitif : il faut préciser la convention retenue. Les exercices scolaires et économiques courants supposent généralement une valeur initiale positive.

Enfin, passer de 20 % à 25 % représente une hausse de 5 points de pourcentage, mais, relativement à 20 %, la hausse vaut (25 − 20)/20 · 100 % = 25 %.

6. Le cas +a % suivi de −a %

Une hausse et une baisse de même coefficient ne s’annulent pas. Dans la formule générale, posons b = −a :

(a + b + ab/100) %
= (a − a − a²/100) %
= (−a²/100) %

On obtient le même résultat en multipliant les facteurs :

(1 + a/100)(1 − a/100)
= 1 − (a/100)²

Pour tout a non nul dans l’intervalle habituel des réductions, le résultat est inférieur à la valeur initiale. La perte globale en pourcentage est (a²/100) %.

Pour a = 20, en partant de 100, on obtient 100 → 120 → 96 : la perte est de 4 %, car 20²/100 = 4. Une hausse de 50 % suivie d’une baisse de 50 % produit une perte de 25 %.

7. Revenir à la valeur initiale

Pour trouver la variation qui annule réellement une première variation signée v %, imposons que le produit des deux facteurs soit égal à 1 :

(1 + v/100)(1 + r/100) = 1
r = −100v / (100 + v)

Après une hausse de 25 %, il faut une baisse de 20 % : 1,25 · 0,80 = 1. Après une baisse de 20 %, il faut au contraire une hausse de 25 % : 0,80 · 1,25 = 1.

Plus généralement, après une hausse de a %, la réduction nécessaire est 100a/(100+a) %. Après une réduction de a %, avec a inférieur à 100, la hausse nécessaire est 100a/(100−a) %. La formule ne s’applique pas à une variation de −100 %, c’est-à-dire v = −100 : une quantité arrivée à zéro ne peut pas retrouver sa valeur initiale grâce à une hausse en pourcentage finie.

Formules essentielles

Le fil conducteur reste toujours le même : identifier la valeur de référence et travailler avec les facteurs multiplicatifs. Ces formules ne sont pas des règles isolées ; elles découlent toutes du sens de %.