Salvatore Mosaico · 2026
Mirar lo que no sucede
Ante una pregunta como «¿Cuál es la probabilidad de que ocurra al menos una vez?», podemos sentir la tentación de enumerar todas las formas en que puede suceder. A veces el mejor camino es otro: describir con precisión el caso en el que nunca sucede.
Docente: En cuatro lanzamientos de un dado queremos al menos un 6. ¿Qué casos tendríamos que sumar?
Estudiante: Exactamente un 6, dos seises, tres seises y cuatro seises.
Docente: ¿Y qué sucede cuando no se cumple nuestra condición?
Estudiante: No sale ningún 6. ¡Solo hay una condición que describir!
Este diálogo es una simulación didáctica. La idea no es adivinar un atajo, sino elegir la descripción más sencilla del mismo experimento.
Una fórmula sencilla, una elección importante
Llamamos Ω al conjunto de todos los resultados posibles y A al suceso pedido. Su complemento Aᶜ contiene exactamente los resultados de Ω que no pertenecen a A. Los dos sucesos son disjuntos y juntos abarcan todas las posibilidades.
P(A) + P(Aᶜ) = 1
P(A) = 1 − P(Aᶜ)
Esta identidad siempre es válida, incluso sin independencia y sin resultados equiprobables. La independencia puede ser necesaria al calcular P(Aᶜ), cuando queremos multiplicar probabilidades de pruebas distintas. Confundir estos dos niveles es un error frecuente.
Antes de las fórmulas: negar bien la pregunta
| Suceso pedido | Complemento |
|---|---|
| Al menos un éxito | Cero éxitos |
| Al menos dos éxitos | Cero o exactamente un éxito |
| Aparecen todos los colores | Falta al menos un color |
| Al menos dos valores iguales | Todos los valores son distintos |
«Ninguno», «no todos» y «como máximo uno» no significan lo mismo. Escribe siempre el complemento con una frase antes de calcular.
Las herramientas que utilizaremos
En las extracciones sin reposición usaremos C(N,n), el número de grupos de n objetos elegidos entre N sin tener en cuenta el orden. El símbolo n! indica el producto de los enteros del 1 al n, con 0! = 1. Si n > N, definimos C(N,n) = 0.
C(N,n) = N! / [n! (N − n)!], 0 ≤ n ≤ N
El cociente «casos favorables / casos posibles» es válido cuando los resultados contados son equiprobables. Un producto puede proceder de la independencia o de una cadena de probabilidades condicionales: veremos ambas situaciones.
Veinticinco problemas, ideas cada vez más exigentes
La colección conserva los 25 problemas de la conversación original. No todos son avanzados: algunos establecen el mecanismo básico; otros introducen muestreo sin reposición, colisiones, probabilidades condicionales e inclusión-exclusión. El problema 21 exige especial atención a las superposiciones.
Inténtalo primero por tu cuenta. En cada problema puedes abrir una pista sobre el complemento y, por separado, la solución completa. Los porcentajes se redondean a dos decimales; las expresiones anteriores son exactas en el modelo indicado.
Índice de problemas
- Al menos un 6 con cuatro dados
- Al menos una cara en diez lanzamientos
- Al menos un as en cinco cartas
- Al menos un doble seis
- Cumpleaños coincidentes en una clase
- Al menos una bola roja
- Al menos un número par
- Al menos una carta de corazones
- Una suma de al menos 3
- Un éxito poco frecuente en veinte pruebas
- Al menos una mujer en el grupo
- Al menos un 1 o un 2
- Al menos una figura
- Al menos una victoria
- Al menos una pieza defectuosa
- Al menos un valor mayor que 4
- Cinco calcetines, cuatro colores
- Una cifra repetida en un código
- Al menos un as o un rey
- Dos códigos coinciden
- Aparecen los tres colores
- El mismo mes de nacimiento
- Al menos un múltiplo de 5
- Una colisión en las cajas
- Una repetición con seis dados
1. Al menos un 6 con cuatro dados
Se lanzan cuatro dados equilibrados e independientes. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un 6?
Mostrar la pista
Suceso complementario: Ninguno de los cuatro dados muestra un 6.
Mostrar la solución
Suceso complementario: Ninguno de los cuatro dados muestra un 6.
Cada dado tiene cinco resultados distintos de 6 entre seis posibles. La independencia permite multiplicar cuatro veces 5/6. Restamos de 1: así evitamos separar los casos con uno, dos, tres o cuatro seises, que exigirían más cálculos.
P(A) = 1 − (5/6)⁴ = 671/1296
Resultado: ≈ 51,77%
2. Al menos una cara en diez lanzamientos
Se lanza una moneda equilibrada diez veces de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara?
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Suceso complementario: Los diez resultados son cruz.
Mostrar la solución
Suceso complementario: Los diez resultados son cruz.
En cada lanzamiento, cruz tiene probabilidad 1/2. Solo una secuencia, la de todas cruces, no contiene caras; hay 2¹⁰ secuencias equiprobables. El complemento tiene probabilidad 1/1024, que restamos de 1. Una probabilidad muy alta no equivale a certeza.
P(A) = 1 − (1/2)¹⁰ = 1023/1024
Resultado: ≈ 99,90%
3. Al menos un as en cinco cartas
Se extraen cinco cartas sin reposición de una baraja estándar de 52 cartas sin comodines, bien mezclada. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un as?
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Suceso complementario: Las cinco cartas no son ases.
Mostrar la solución
Suceso complementario: Las cinco cartas no son ases.
Hay 48 cartas que no son ases. Todas las manos de cinco cartas son equiprobables: C(52,5) en total y C(48,5) sin ases. Su cociente da la probabilidad del complemento. No usamos (48/52)⁵: sin reposición, la composición de la baraja cambia tras cada extracción.
P(A) = 1 − C(48,5) / C(52,5)
Resultado: ≈ 34,12%
4. Al menos un doble seis
Se lanzan dos dados equilibrados e independientes durante diez rondas independientes. ¿Cuál es la probabilidad de obtener (6,6) al menos una vez?
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Suceso complementario: Ninguna ronda produce (6,6).
Mostrar la solución
Suceso complementario: Ninguna ronda produce (6,6).
En cada ronda hay 36 parejas ordenadas equiprobables y solo una es (6,6). No obtener doble seis tiene probabilidad 35/36. Exigimos esta condición en las diez rondas y restamos de 1. No se pregunta simplemente si aparece un 6 en cualquiera de los dos dados.
P(A) = 1 − (35/36)¹⁰
Resultado: ≈ 24,55%
5. Cumpleaños coincidentes en una clase
En una clase de 25 estudiantes, modelamos los cumpleaños como independientes y uniformes sobre 365 días, sin contar el 29 de febrero. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos coincidan?
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Suceso complementario: Los 25 cumpleaños son distintos.
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Suceso complementario: Los 25 cumpleaños son distintos.
El primer cumpleaños es libre. El segundo debe evitar un día, el tercero dos, hasta el vigesimoquinto, que debe evitar 24. Multiplicamos los factores condicionales 365/365, 364/365, …, 341/365. Las condiciones «distinto de los anteriores» no son sucesos independientes: el producto usa las probabilidades condicionales correctas. El resultado se refiere a una coincidencia entre cualquier pareja, no con una fecha fijada; el modelo simplifica los cumpleaños reales.
P(A) = 1 − (365 × 364 × ⋯ × 341) / 365²⁵
Resultado: ≈ 56,87%
6. Al menos una bola roja
Una urna contiene 7 bolas rojas y 13 azules, todas con la misma posibilidad de ser extraídas. Elegimos cinco sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una roja?
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Suceso complementario: Las cinco bolas son azules.
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Suceso complementario: Las cinco bolas son azules.
De las C(20,5) selecciones posibles, C(13,5) son totalmente azules. Restamos su cociente de 1. Siguiendo las extracciones se obtiene el mismo complemento: (13/20) × (12/19) × (11/18) × (10/17) × (9/16). Disminuyen tanto los numeradores como los denominadores.
P(A) = 1 − C(13,5) / C(20,5)
Resultado: ≈ 91,70%
7. Al menos un número par
Elegimos seis veces un entero del 1 al 10, de manera uniforme, independiente y con reposición. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un par?
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Suceso complementario: Los seis números son impares.
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Suceso complementario: Los seis números son impares.
Cinco de los diez números son impares, así que cada elección tiene probabilidad 1/2 de ser impar. La reposición mantiene esa probabilidad; la independencia permite usar la potencia. Restamos de 1 la probabilidad de seis impares.
P(A) = 1 − (1/2)⁶ = 63/64
Resultado: ≈ 98,44%
8. Al menos una carta de corazones
Se extraen cuatro cartas sin reposición de una baraja estándar bien mezclada de 52 cartas sin comodines. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un corazón?
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Suceso complementario: No sale ninguna carta de corazones.
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Suceso complementario: No sale ninguna carta de corazones.
Hay 13 corazones y 39 cartas de otros palos. Las manos sin corazones son C(39,4), y todas las manos son C(52,4). Su cociente da el complemento: no hace falta distinguir entre uno, dos, tres y cuatro corazones.
P(A) = 1 − C(39,4) / C(52,4)
Resultado: ≈ 69,62%
9. Una suma de al menos 3
Se lanzan dos dados equilibrados e independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea al menos 3?
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Suceso complementario: La suma es menor que 3.
Mostrar la solución
Suceso complementario: La suma es menor que 3.
La suma mínima es 2. El único resultado excluido es (1,1), uno de los 36 resultados ordenados equiprobables. Las sumas del 2 al 12 no son equiprobables: contamos parejas, no los posibles valores de la suma.
P(A) = 1 − 1/36 = 35/36
Resultado: ≈ 97,22%
10. Un éxito poco frecuente en veinte pruebas
Un experimento tiene probabilidad de éxito 0,08 en cada prueba. Se realizan veinte pruebas independientes. ¿Cuál es la probabilidad de al menos un éxito?
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Suceso complementario: Fallan las veinte pruebas.
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Suceso complementario: Fallan las veinte pruebas.
El fallo tiene probabilidad 0,92 en cada prueba. La ausencia de éxitos tiene probabilidad 0,92²⁰. El atajo 20 × 0,08 no es la probabilidad de al menos un éxito: es el número esperado de éxitos, y aquí incluso supera 1.
P(A) = 1 − (92/100)²⁰
Resultado: ≈ 81,13%
11. Al menos una mujer en el grupo
Un conjunto de 30 personas consta de 12 mujeres y 18 hombres. Se elige uniformemente un grupo de cinco personas distintas. ¿Cuál es la probabilidad de que incluya al menos una mujer?
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Suceso complementario: Las cinco personas elegidas son hombres.
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Suceso complementario: Las cinco personas elegidas son hombres.
Hay C(30,5) grupos posibles. Los grupos sin mujeres se eligen íntegramente entre los 18 hombres, por lo que son C(18,5). El modelo describe grupos elegidos al azar, no cinco extracciones independientes con reposición.
P(A) = 1 − C(18,5) / C(30,5)
Resultado: ≈ 93,99%
12. Al menos un 1 o un 2
Se lanza un dado equilibrado ocho veces de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un lanzamiento muestre 1 o 2?
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Suceso complementario: Todos los lanzamientos muestran solo 3, 4, 5 o 6.
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Suceso complementario: Todos los lanzamientos muestran solo 3, 4, 5 o 6.
En cada lanzamiento, cuatro de los seis resultados cumplen el complemento: 2/3. En ocho lanzamientos la probabilidad es (2/3)⁸. Se pide al menos uno de los dos valores, no que aparezcan ambos al menos una vez: son sucesos distintos.
P(A) = 1 − (2/3)⁸
Resultado: ≈ 96,10%
13. Al menos una figura
Se extraen seis cartas sin reposición de una baraja estándar bien mezclada de 52 cartas sin comodines. ¿Cuál es la probabilidad de al menos una figura, entendiendo jota, reina o rey?
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Suceso complementario: Las seis cartas no son figuras.
Mostrar la solución
Suceso complementario: Las seis cartas no son figuras.
Hay 3 figuras por palo, es decir, 12 en total. Los ases no son figuras con esta definición. Quedan 40 cartas que no son figuras: contamos C(40,6) manos sin figuras entre C(52,6) manos totales y restamos de 1.
P(A) = 1 − C(40,6) / C(52,6)
Resultado: ≈ 81,15%
14. Al menos una victoria
En el modelo del problema, un equipo gana cada partido con probabilidad 0,4 y los resultados de cinco partidos son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de al menos una victoria?
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Suceso complementario: El equipo no gana ninguno de los cinco partidos.
Mostrar la solución
Suceso complementario: El equipo no gana ninguno de los cinco partidos.
No ganar tiene probabilidad 0,6. Si se admiten empates, no ganar incluye tanto empatar como perder: no es correcto llamar al complemento «perder todos». La independencia y la probabilidad constante son hipótesis del modelo, no propiedades automáticas del deporte real.
P(A) = 1 − (6/10)⁵ = 2882/3125
Resultado: ≈ 92,22%
15. Al menos una pieza defectuosa
Cincuenta piezas tienen cada una probabilidad 0,02 de ser defectuosas, independientemente de las demás. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al menos una defectuosa?
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Suceso complementario: Las cincuenta piezas están bien.
Mostrar la solución
Suceso complementario: Las cincuenta piezas están bien.
Una pieza está bien con probabilidad 0,98. Todas bien tiene probabilidad 0,98⁵⁰. El resultado supera el 60%, aunque el defecto individual sea raro. Si los defectos estuvieran correlacionados, por ejemplo por un fallo común de producción, esta potencia no estaría justificada.
P(A) = 1 − (98/100)⁵⁰
Resultado: ≈ 63,58%
16. Al menos un valor mayor que 4
Se lanza un dado equilibrado doce veces de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una vez un número mayor que 4?
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Suceso complementario: Todos los valores obtenidos son como máximo 4.
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Suceso complementario: Todos los valores obtenidos son como máximo 4.
Evitar tanto 5 como 6 deja cuatro caras entre seis, con probabilidad 2/3 por lanzamiento. Exigir doce veces esa condición da (2/3)¹². El complemento de «mayor que 4» es «menor o igual que 4»: se incluye el valor límite.
P(A) = 1 − (2/3)¹²
Resultado: ≈ 99,23%
17. Cinco calcetines, cuatro colores
Un cajón contiene al menos cinco calcetines, cada uno de uno entre cuatro colores. Extraemos cinco sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos tengan el mismo color?
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Suceso complementario: Los cinco calcetines tienen colores distintos.
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Suceso complementario: Los cinco calcetines tienen colores distintos.
No pueden aparecer cinco colores distintos si solo existen cuatro. El complemento es imposible y tiene probabilidad cero. El resultado es seguro independientemente del número de calcetines de cada color y de cómo se elijan los cinco. Es el principio del palomar: aquí el complemento conduce a una demostración, no a una potencia.
P(A) = 1 − 0 = 1
Resultado: = 100,00%
18. Una cifra repetida en un código
Un código tiene seis cifras, elegidas uniforme e independientemente del 0 al 9. La primera también puede ser 0. ¿Cuál es la probabilidad de al menos una repetición?
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Suceso complementario: Las seis cifras son distintas.
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Suceso complementario: Las seis cifras son distintas.
Hay 10⁶ códigos posibles. Para construir uno sin repeticiones tenemos 10 opciones para la primera cifra, después 9, 8, 7, 6 y 5. Dividimos el producto entre 10⁶ y restamos de 1. Es un código de seis cifras, no necesariamente un entero de seis cifras: por eso se admite el cero inicial.
P(A) = 1 − (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5) / 10⁶ = 1061/1250
Resultado: ≈ 84,88%
19. Al menos un as o un rey
Se extraen cinco cartas sin reposición de una baraja estándar bien mezclada de 52 cartas sin comodines. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una carta que sea as o rey?
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Suceso complementario: No aparece ni un as ni un rey.
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Suceso complementario: No aparece ni un as ni un rey.
Ases y reyes son categorías disjuntas: 4 + 4 = 8 cartas. Quedan 44 cartas admitidas por el complemento. Las manos que evitan esas ocho cartas son C(44,5). El suceso no exige que aparezcan tanto un as como un rey: basta una carta de cualquiera de las dos categorías.
P(A) = 1 − C(44,5) / C(52,5)
Resultado: ≈ 58,21%
20. Dos códigos coinciden
Generamos cuatro códigos de tres cifras, uniforme e independientemente de 000 a 999. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos sean iguales?
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Suceso complementario: Los cuatro códigos son distintos.
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Suceso complementario: Los cuatro códigos son distintos.
El primer código es libre. Para evitar coincidencias, el segundo tiene 999 valores disponibles, el tercero 998 y el cuarto 997, de 1000 posibles en cada generación. Multiplicamos esos factores condicionales y restamos de 1. Es un modelo de colisiones entre códigos aleatorios, no una medida de seguridad de contraseñas reales.
P(A) = 1 − (999 × 998 × 997) / 1000³
Resultado: ≈ 0,60%
21. Aparecen los tres colores
Un dado equilibrado tiene dos caras rojas, dos verdes y dos azules. Lo lanzamos diez veces de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que cada color aparezca al menos una vez?
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Suceso complementario: Falta al menos uno de los tres colores.
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Suceso complementario: Falta al menos uno de los tres colores.
Llamamos R, V y B a los sucesos «falta rojo», «falta verde» y «falta azul». Cada uno tiene probabilidad (2/3)¹⁰. Sumar las tres probabilidades cuenta dos veces las secuencias monocromáticas: diez azules pertenece, por ejemplo, tanto a R como a V. Cada intersección de dos ausencias tiene probabilidad (1/3)¹⁰ y hay tres parejas. La ausencia de los tres colores es imposible. Por inclusión-exclusión, el complemento vale 3(2/3)¹⁰ − 3(1/3)¹⁰. Restar de 1 cambia ambos signos: este es el paso realmente avanzado de la colección.
P(A) = 1 − 3(2/3)¹⁰ + 3(1/3)¹⁰
Resultado: ≈ 94,80%
22. El mismo mes de nacimiento
Para ocho personas, modelamos los meses de nacimiento como independientes y uniformes entre los doce meses. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos compartan mes?
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Suceso complementario: Los ocho meses son distintos.
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Suceso complementario: Los ocho meses son distintos.
El primer mes es libre; después quedan 11, 10, 9, 8, 7, 6 y 5 meses que evitan coincidencias con los anteriores. Dividimos el producto de esos recuentos entre 12⁸. La equiprobabilidad de los meses es una hipótesis explícita del modelo, no un hecho exacto sobre nacimientos reales o duración de los meses.
P(A) = 1 − (12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5) / 12⁸
Resultado: ≈ 95,36%
23. Al menos un múltiplo de 5
Elegimos siete enteros del 1 al 100, uniforme e independientemente, con reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno sea divisible entre 5?
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Suceso complementario: Ninguno de los siete números es divisible entre 5.
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Suceso complementario: Ninguno de los siete números es divisible entre 5.
Hay 20 múltiplos de 5, así que 80 de los 100 números no son múltiplos. En cada elección el complemento local tiene probabilidad 4/5; para las siete elecciones es (4/5)⁷. La reposición distingue este problema de una muestra de siete números distintos.
P(A) = 1 − (4/5)⁷
Resultado: ≈ 79,03%
24. Una colisión en las cajas
Cinco bolas distinguibles se asignan a cinco cajas distinguibles. Cada bola elige una caja uniforme e independientemente. ¿Cuál es la probabilidad de que alguna caja contenga al menos dos bolas?
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Suceso complementario: Ninguna caja contiene más de una bola.
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Suceso complementario: Ninguna caja contiene más de una bola.
Con cinco bolas y cinco cajas, no tener colisiones implica exactamente una bola por caja. Hay 5⁵ asignaciones totales, pues cada bola tiene cinco opciones. Las asignaciones sin colisiones son 5! = 120. Los simples perfiles de ocupación no son equiprobables: los resultados equiprobables son las asignaciones de las bolas distinguibles.
P(A) = 1 − 5! / 5⁵ = 601/625
Resultado: ≈ 96,16%
25. Una repetición con seis dados
Se lanzan seis dados equilibrados e independientes, distinguibles por posición o color. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos muestren el mismo valor?
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Suceso complementario: Los seis resultados son distintos.
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Suceso complementario: Los seis resultados son distintos.
Con seis dados y seis valores, todos distintos significa obtener exactamente 1, 2, 3, 4, 5 y 6 en algún orden. Hay 6! = 720 órdenes entre 6⁶ resultados ordenados equiprobables. El complemento evita clasificar parejas, tríos y todas las demás configuraciones de repetición.
P(A) = 1 − 6! / 6⁶ = 319/324
Resultado: ≈ 98,46%
Tres estructuras que reconocer
Pruebas independientes: si cada una de las n pruebas tiene probabilidad de éxito p, la probabilidad de al menos un éxito es:
P(A) = 1 − (1 − p)ⁿ
Sin reposición: entre N objetos, K son del tipo buscado; elegimos uniformemente un grupo de n objetos, con 1 ≤ n ≤ N. La probabilidad de al menos uno del tipo buscado es:
P(A) = 1 − C(N − K,n) / C(N,n)
Colisiones: elegimos n veces, uniforme e independientemente, entre m valores. Para 1 ≤ n ≤ m, la probabilidad de al menos una repetición es:
P(A) = 1 − [m × (m − 1) × ⋯ × (m − n + 1)] / mⁿ
Si n > m, una repetición es segura por el principio del palomar. En el problema 21 de los tres colores, en cambio, el complemento es una unión de sucesos que se superponen: también se necesita inclusión-exclusión.
Una pregunta mejor antes de calcular
No conviertas el complemento en una fórmula aplicada a ciegas. Primero describe el experimento, después el suceso y su negación, comprueba las hipótesis y solo entonces elige el cálculo. «Al menos uno» es una pista, no una prueba de independencia.
El complemento no tiene por qué consistir en un único caso: debe ser un conjunto de casos más fácil de describir o contar. Si resulta más complicado que el suceso original, no estás obligado a utilizarlo.
La pregunta decisiva es: «¿Es más sencillo describir lo que quiero o lo que lo impide?». En ese cambio de perspectiva reside el verdadero valor del método.