Salvatore Mosaico · 2026
Guardare ciò che non accade
Davanti a una domanda come «Qual è la probabilità che accada almeno una volta?», la tentazione è elencare tutti i modi in cui l’evento può verificarsi. Talvolta la strada migliore è un’altra: descrivere con precisione il caso in cui non si verifica mai.
Docente: In quattro lanci di un dado vogliamo almeno un 6. Quali casi dovremmo sommare?
Studente: Un solo 6, due 6, tre 6 e quattro 6.
Docente: E che cosa succede quando la nostra richiesta non è soddisfatta?
Studente: Non esce nessun 6. È una sola condizione da descrivere!
Questo dialogo è una simulazione didattica. L’idea non è indovinare una scorciatoia, ma scegliere la descrizione più semplice dello stesso esperimento.
Una formula semplice, una scelta importante
Indichiamo con Ω l’insieme di tutti gli esiti e con A l’evento richiesto. Il complementare Aᶜ contiene esattamente gli esiti di Ω che non appartengono ad A. I due eventi sono disgiunti e, insieme, esauriscono tutte le possibilità.
P(A) + P(Aᶜ) = 1
P(A) = 1 − P(Aᶜ)
Questa identità vale sempre, anche senza indipendenza e senza esiti equiprobabili. L’indipendenza serve eventualmente nel calcolo di P(Aᶜ), quando vogliamo moltiplicare probabilità di prove distinte. Confondere questi due livelli è uno degli errori più frequenti.
Prima delle formule: negare bene la domanda
| Evento richiesto | Complementare |
|---|---|
| Almeno un successo | Zero successi |
| Almeno due successi | Zero oppure un solo successo |
| Tutti i colori compaiono | Manca almeno un colore |
| Almeno due valori uguali | Tutti i valori sono diversi |
«Nessuno», «non tutti» e «al massimo uno» non significano la stessa cosa. Scrivi sempre il complementare con una frase prima di iniziare i calcoli.
Gli strumenti che useremo
Nelle estrazioni senza reinserimento useremo C(N,n), il numero di gruppi di n oggetti scelti fra N senza tener conto dell’ordine. Il simbolo n! indica il prodotto degli interi da 1 a n, con 0! = 1. Se n > N, poniamo C(N,n) = 0.
C(N,n) = N! / [n! (N − n)!], 0 ≤ n ≤ N
Il rapporto «casi favorevoli / casi possibili» è valido quando gli esiti contati sono equiprobabili. Un prodotto, invece, può derivare da indipendenza oppure da una catena di probabilità condizionate: vedremo entrambe le situazioni.
Venticinque problemi, una difficoltà crescente per idee
La raccolta riprende tutti i 25 problemi della conversazione di partenza. Non sono tutti avanzati: alcuni fissano il meccanismo di base; altri introducono campionamento senza reinserimento, collisioni, probabilità condizionate e inclusione-esclusione. Il problema 21 richiede un’attenzione particolare alle sovrapposizioni.
Prova prima da solo. Per ogni problema puoi aprire un suggerimento sul complementare e, separatamente, la soluzione completa. Le percentuali sono arrotondate a due decimali; le espressioni precedenti sono esatte nel modello indicato.
Indice dei problemi
- Almeno un 6 con quattro dadi
- Almeno una testa in dieci lanci
- Almeno un asso in cinque carte
- Almeno un doppio 6
- Compleanni coincidenti in una classe
- Almeno una pallina rossa
- Almeno un numero pari
- Almeno una carta di cuori
- Una somma almeno uguale a 3
- Un successo raro in venti prove
- Almeno una donna nel gruppo
- Almeno un 1 oppure un 2
- Almeno una figura
- Almeno una vittoria
- Almeno un pezzo difettoso
- Almeno un valore maggiore di 4
- Cinque calzini, quattro colori
- Una cifra ripetuta in un codice
- Almeno un asso oppure un re
- Due codici coincidono
- Compaiono tutti e tre i colori
- Lo stesso mese di nascita
- Almeno un multiplo di 5
- Una collisione nelle scatole
- Una ripetizione con sei dadi
1. Almeno un 6 con quattro dadi
Si lanciano quattro dadi equilibrati e indipendenti. Qual è la probabilità di ottenere almeno un 6?
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Evento complementare: Nessuno dei quattro dadi mostra 6.
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Evento complementare: Nessuno dei quattro dadi mostra 6.
Per ogni dado ci sono cinque risultati diversi da 6 su sei. L’indipendenza permette di moltiplicare quattro volte 5/6. Sottraiamo da 1: evitiamo di separare i casi con uno, due, tre o quattro 6, che richiederebbero più conti.
P(A) = 1 − (5/6)⁴ = 671/1296
Risultato: ≈ 51,77%
2. Almeno una testa in dieci lanci
Una moneta equilibrata viene lanciata dieci volte in modo indipendente. Qual è la probabilità di almeno una testa?
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Evento complementare: Escono dieci croci.
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Evento complementare: Escono dieci croci.
Per ogni lancio la probabilità di croce è 1/2. Una sola sequenza, quella di tutte croci, non contiene teste; le sequenze equiprobabili sono 2¹⁰. Il complemento ha dunque probabilità 1/1024, da sottrarre a 1. Una probabilità molto alta non è però una certezza.
P(A) = 1 − (1/2)¹⁰ = 1023/1024
Risultato: ≈ 99,90%
3. Almeno un asso in cinque carte
Da un mazzo standard di 52 carte senza jolly, ben mescolato, si estraggono cinque carte senza reinserimento. Qual è la probabilità di almeno un asso?
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Evento complementare: Le cinque carte sono tutte non assi.
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Evento complementare: Le cinque carte sono tutte non assi.
Ci sono 48 carte non assi. Le mani di cinque carte sono tutte equiprobabili: C(52,5) in totale, C(48,5) senza assi. Il loro rapporto dà la probabilità del complemento. Non usiamo (48/52)⁵: senza reinserimento la composizione del mazzo cambia dopo ogni estrazione.
P(A) = 1 − C(48,5) / C(52,5)
Risultato: ≈ 34,12%
4. Almeno un doppio 6
Si lanciano due dadi equilibrati e indipendenti per dieci turni indipendenti. Qual è la probabilità di ottenere almeno una volta la coppia (6,6)?
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Evento complementare: In nessun turno esce (6,6).
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Evento complementare: In nessun turno esce (6,6).
Le coppie ordinate di un turno sono 36 ed equiprobabili; solo una è (6,6). Il mancato doppio 6 ha probabilità 35/36. Ripetiamo questa condizione in tutti i dieci turni e sottraiamo da 1. Non stiamo chiedendo semplicemente che compaia un 6 su uno dei due dadi.
P(A) = 1 − (35/36)¹⁰
Risultato: ≈ 24,55%
5. Compleanni coincidenti in una classe
In una classe di 25 studenti, modelliamo i compleanni come indipendenti e uniformi su 365 giorni, ignorando il 29 febbraio. Qual è la probabilità che almeno due coincidano?
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Evento complementare: I 25 compleanni sono tutti diversi.
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Evento complementare: I 25 compleanni sono tutti diversi.
Il primo compleanno non impone vincoli. Il secondo deve evitare un giorno, il terzo due, fino al venticinquesimo che ne deve evitare 24. Moltiplichiamo i fattori condizionati 365/365, 364/365, …, 341/365. Le condizioni «diverso dai precedenti» non sono eventi indipendenti: il prodotto usa le probabilità condizionate corrette. Il risultato riguarda una coincidenza fra qualunque coppia, non con un giorno prestabilito; il modello semplifica i compleanni reali.
P(A) = 1 − (365 × 364 × ⋯ × 341) / 365²⁵
Risultato: ≈ 56,87%
6. Almeno una pallina rossa
Un’urna contiene 7 palline rosse e 13 blu, tutte ugualmente estraibili. Ne scegliamo cinque senza reinserimento. Qual è la probabilità di almeno una rossa?
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Evento complementare: Tutte e cinque le palline sono blu.
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Evento complementare: Tutte e cinque le palline sono blu.
Tra le C(20,5) selezioni possibili, quelle tutte blu sono C(13,5). Sottraiamo a 1 il loro rapporto. Se preferiamo seguire le estrazioni, lo stesso complemento vale (13/20) × (12/19) × (11/18) × (10/17) × (9/16): i numeratori e i denominatori diminuiscono.
P(A) = 1 − C(13,5) / C(20,5)
Risultato: ≈ 91,70%
7. Almeno un numero pari
Scegliamo sei volte un intero da 1 a 10, uniformemente, con reinserimento e scelte indipendenti. Qual è la probabilità di almeno un pari?
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Evento complementare: Tutti e sei i numeri sono dispari.
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Evento complementare: Tutti e sei i numeri sono dispari.
I dispari sono cinque su dieci, quindi ogni scelta ha probabilità 1/2 di essere dispari. Il reinserimento mantiene invariata questa probabilità; l’indipendenza consente la potenza. Sottraiamo la probabilità di sei dispari da 1.
P(A) = 1 − (1/2)⁶ = 63/64
Risultato: ≈ 98,44%
8. Almeno una carta di cuori
Si estraggono quattro carte senza reinserimento da un mazzo standard ben mescolato di 52 carte senza jolly. Qual è la probabilità di almeno un cuore?
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Evento complementare: Non esce nessuna carta di cuori.
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Evento complementare: Non esce nessuna carta di cuori.
Ci sono 13 cuori e 39 carte di altri semi. Le mani senza cuori sono C(39,4), mentre tutte le mani sono C(52,4). Il rapporto conta il complemento: non occorre distinguere fra uno, due, tre e quattro cuori.
P(A) = 1 − C(39,4) / C(52,4)
Risultato: ≈ 69,62%
9. Una somma almeno uguale a 3
Si lanciano due dadi equilibrati e indipendenti. Qual è la probabilità che la somma sia almeno 3?
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Evento complementare: La somma è minore di 3.
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Evento complementare: La somma è minore di 3.
La somma minima è 2. L’unico risultato escluso è quindi (1,1), uno dei 36 esiti ordinati equiprobabili. Le somme da 2 a 12 non sono equiprobabili: contiamo le coppie, non i possibili valori della somma.
P(A) = 1 − 1/36 = 35/36
Risultato: ≈ 97,22%
10. Un successo raro in venti prove
Un esperimento ha probabilità di successo 0,08 in ogni prova. Si eseguono venti prove indipendenti. Qual è la probabilità di almeno un successo?
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Evento complementare: Tutte le venti prove falliscono.
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Evento complementare: Tutte le venti prove falliscono.
Il fallimento ha probabilità 0,92 a ogni prova. L’assenza di successi ha probabilità 0,92²⁰. La scorciatoia 20 × 0,08 non è una probabilità di almeno un successo: è il numero medio di successi e qui supera persino 1.
P(A) = 1 − (92/100)²⁰
Risultato: ≈ 81,13%
11. Almeno una donna nel gruppo
Un insieme di 30 persone comprende 12 donne e 18 uomini. Si sceglie uniformemente un gruppo di cinque persone distinte. Qual è la probabilità che comprenda almeno una donna?
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Evento complementare: Le cinque persone scelte sono tutte uomini.
Mostra la soluzione
Evento complementare: Le cinque persone scelte sono tutte uomini.
I gruppi possibili sono C(30,5). Quelli senza donne si scelgono interamente fra i 18 uomini e sono C(18,5). Il modello riguarda la selezione casuale di gruppi, non cinque estrazioni indipendenti con reinserimento.
P(A) = 1 − C(18,5) / C(30,5)
Risultato: ≈ 93,99%
12. Almeno un 1 oppure un 2
Si lancia un dado equilibrato otto volte in modo indipendente. Qual è la probabilità che in almeno un lancio compaia 1 oppure 2?
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Evento complementare: In tutti i lanci compaiono soltanto 3, 4, 5 o 6.
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Evento complementare: In tutti i lanci compaiono soltanto 3, 4, 5 o 6.
In un lancio i risultati ammessi dal complemento sono quattro su sei, cioè 2/3. Per otto lanci la probabilità è (2/3)⁸. La richiesta è «almeno uno dei due valori», non «entrambi i valori almeno una volta»: sono eventi diversi.
P(A) = 1 − (2/3)⁸
Risultato: ≈ 96,10%
13. Almeno una figura
Da un mazzo standard ben mescolato di 52 carte senza jolly si estraggono sei carte senza reinserimento. Qual è la probabilità di almeno una figura, intendendo fante, donna o re?
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Evento complementare: Tutte e sei le carte sono non figure.
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Evento complementare: Tutte e sei le carte sono non figure.
Le figure sono 3 per seme, quindi 12. Gli assi non sono figure in questa definizione. Restano 40 non figure: contiamo C(40,6) mani senza figure su C(52,6) mani totali, poi sottraiamo da 1.
P(A) = 1 − C(40,6) / C(52,6)
Risultato: ≈ 81,15%
14. Almeno una vittoria
Nel modello del problema, una squadra vince ogni partita con probabilità 0,4 e gli esiti di cinque partite sono indipendenti. Qual è la probabilità di almeno una vittoria?
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Evento complementare: La squadra non vince nessuna delle cinque partite.
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Evento complementare: La squadra non vince nessuna delle cinque partite.
Non vincere ha probabilità 0,6. Se lo sport ammette pareggi, «non vincere» comprende sia pareggiare sia perdere: non è corretto chiamare il complemento «perdere tutte». L’indipendenza e la probabilità costante sono ipotesi del modello, non proprietà automatiche dello sport reale.
P(A) = 1 − (6/10)⁵ = 2882/3125
Risultato: ≈ 92,22%
15. Almeno un pezzo difettoso
Cinquanta pezzi hanno ciascuno probabilità 0,02 di essere difettosi, indipendentemente dagli altri. Qual è la probabilità di trovare almeno un difettoso?
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Evento complementare: Tutti i cinquanta pezzi sono buoni.
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Evento complementare: Tutti i cinquanta pezzi sono buoni.
Un pezzo è buono con probabilità 0,98. Tutti buoni ha probabilità 0,98⁵⁰. Il risultato supera il 60% anche se il difetto individuale è raro. Se i difetti fossero correlati, per esempio per un guasto comune alla produzione, questa potenza non sarebbe giustificata.
P(A) = 1 − (98/100)⁵⁰
Risultato: ≈ 63,58%
16. Almeno un valore maggiore di 4
Si lancia un dado equilibrato dodici volte, indipendentemente. Qual è la probabilità di ottenere almeno una volta un numero maggiore di 4?
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Evento complementare: Tutti i valori ottenuti sono al massimo 4.
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Evento complementare: Tutti i valori ottenuti sono al massimo 4.
Per evitare sia 5 sia 6 restano quattro facce su sei, cioè probabilità 2/3 per lancio. Richiedere dodici volte questa condizione dà (2/3)¹². Il complemento di «maggiore di 4» è «minore o uguale a 4»: il valore di confine va incluso.
P(A) = 1 − (2/3)¹²
Risultato: ≈ 99,23%
17. Cinque calzini, quattro colori
Un cassetto contiene almeno cinque calzini, ciascuno di uno fra quattro colori. Estraiamo cinque calzini senza reinserimento. Qual è la probabilità che almeno due abbiano lo stesso colore?
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Evento complementare: I cinque calzini hanno tutti colori diversi.
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Evento complementare: I cinque calzini hanno tutti colori diversi.
Cinque colori diversi non possono comparire se ne esistono soltanto quattro. Il complemento è impossibile, quindi ha probabilità zero. Il risultato è certo qualunque sia il numero di calzini di ciascun colore e qualunque sia il modo di scegliere i cinque. È il principio dei cassetti: qui il complemento conduce a una dimostrazione, non a una potenza.
P(A) = 1 − 0 = 1
Risultato: = 100,00%
18. Una cifra ripetuta in un codice
Un codice ha sei cifre, ciascuna scelta uniformemente e indipendentemente fra 0 e 9. Anche la prima può essere 0. Qual è la probabilità di almeno una ripetizione?
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Evento complementare: Le sei cifre sono tutte diverse.
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Evento complementare: Le sei cifre sono tutte diverse.
I codici possibili sono 10⁶. Per costruire un codice senza ripetizioni abbiamo 10 scelte per la prima cifra, poi 9, 8, 7, 6 e 5. Dividiamo il prodotto per 10⁶ e sottraiamo da 1. È un codice di sei cifre, non un numero intero obbligatoriamente di sei cifre: per questo lo zero iniziale è ammesso.
P(A) = 1 − (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5) / 10⁶ = 1061/1250
Risultato: ≈ 84,88%
19. Almeno un asso oppure un re
Si estraggono cinque carte senza reinserimento da un mazzo standard ben mescolato di 52 carte senza jolly. Qual è la probabilità di trovare almeno una carta che sia asso oppure re?
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Evento complementare: Non compare né un asso né un re.
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Evento complementare: Non compare né un asso né un re.
Assi e re sono categorie disgiunte: 4 + 4 = 8 carte. Restano 44 carte ammesse dal complemento. Le mani senza nessuna delle otto carte sono C(44,5). L’evento richiesto non impone che compaiano sia un asso sia un re: basta una carta di una delle due categorie.
P(A) = 1 − C(44,5) / C(52,5)
Risultato: ≈ 58,21%
20. Due codici coincidono
Generiamo quattro codici di tre cifre, uniformemente e indipendentemente da 000 a 999. Qual è la probabilità che almeno due siano uguali?
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Evento complementare: I quattro codici sono tutti diversi.
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Evento complementare: I quattro codici sono tutti diversi.
Il primo codice è libero. Per evitare coincidenze, il secondo ha 999 valori disponibili, il terzo 998 e il quarto 997, sempre su 1000 possibili a ogni generazione. Moltiplichiamo questi fattori condizionati e sottraiamo da 1. Questo è un modello di collisione fra codici casuali, non una misura di sicurezza di password reali.
P(A) = 1 − (999 × 998 × 997) / 1000³
Risultato: ≈ 0,60%
21. Compaiono tutti e tre i colori
Un dado equilibrato ha due facce rosse, due verdi e due blu. Lo lanciamo dieci volte indipendentemente. Qual è la probabilità che ciascuno dei tre colori compaia almeno una volta?
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Evento complementare: Manca almeno uno dei tre colori.
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Evento complementare: Manca almeno uno dei tre colori.
Chiamiamo R, V e B gli eventi «manca rosso», «manca verde», «manca blu». Ognuno ha probabilità (2/3)¹⁰. Sommare le tre probabilità conta due volte le sequenze monocromatiche: per esempio, dieci blu appartiene sia a R sia a V. Ogni intersezione di due assenze ha probabilità (1/3)¹⁰ e ci sono tre coppie. L’assenza di tutti e tre i colori è impossibile. Per inclusione-esclusione, il complemento vale 3(2/3)¹⁰ − 3(1/3)¹⁰. Sottrarre da 1 cambia entrambi i segni: questo è il passaggio davvero avanzato della raccolta.
P(A) = 1 − 3(2/3)¹⁰ + 3(1/3)¹⁰
Risultato: ≈ 94,80%
22. Lo stesso mese di nascita
Per otto persone, modelliamo i mesi di nascita come indipendenti e uniformi fra i dodici mesi. Qual è la probabilità che almeno due condividano il mese?
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Evento complementare: Gli otto mesi sono tutti differenti.
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Evento complementare: Gli otto mesi sono tutti differenti.
Il primo mese è libero, poi restano 11, 10, 9, 8, 7, 6 e 5 mesi che evitano collisioni con i precedenti. Dividiamo il prodotto dei conteggi per 12⁸. L’equiprobabilità dei mesi è un’ipotesi esplicita del modello, non un fatto esatto sulle nascite reali o sulla durata dei mesi.
P(A) = 1 − (12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5) / 12⁸
Risultato: ≈ 95,36%
23. Almeno un multiplo di 5
Scegliamo sette interi fra 1 e 100, uniformemente e indipendentemente, con reinserimento. Qual è la probabilità che almeno uno sia divisibile per 5?
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Evento complementare: Nessuno dei sette numeri è divisibile per 5.
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Evento complementare: Nessuno dei sette numeri è divisibile per 5.
I multipli di 5 sono 20, quindi i non multipli sono 80 su 100. In ogni scelta il complemento locale ha probabilità 4/5; per tutte e sette le scelte vale (4/5)⁷. Il reinserimento distingue questo problema da un campionamento di sette numeri tutti distinti.
P(A) = 1 − (4/5)⁷
Risultato: ≈ 79,03%
24. Una collisione nelle scatole
Cinque palline distinguibili vengono assegnate a cinque scatole distinguibili. Ogni pallina sceglie una scatola uniformemente e indipendentemente dalle altre. Qual è la probabilità che una scatola contenga almeno due palline?
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Evento complementare: Nessuna scatola contiene più di una pallina.
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Evento complementare: Nessuna scatola contiene più di una pallina.
Con cinque palline e cinque scatole, l’assenza di collisioni implica esattamente una pallina in ogni scatola. Le assegnazioni totali sono 5⁵, perché ogni pallina ha cinque scelte. Quelle senza collisioni sono 5! = 120. Non consideriamo equiprobabili i semplici profili di occupazione: gli esiti equiprobabili sono le assegnazioni delle palline distinguibili.
P(A) = 1 − 5! / 5⁵ = 601/625
Risultato: ≈ 96,16%
25. Una ripetizione con sei dadi
Si lanciano sei dadi equilibrati e indipendenti, distinguibili per posizione o colore. Qual è la probabilità che almeno due mostrino lo stesso valore?
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Evento complementare: I sei risultati sono tutti diversi.
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Evento complementare: I sei risultati sono tutti diversi.
Con sei dadi e sei valori, essere tutti diversi significa ottenere esattamente 1, 2, 3, 4, 5 e 6, in qualche ordine. Gli ordini possibili sono 6! = 720, su 6⁶ esiti ordinati equiprobabili. Il complemento ci evita di classificare coppie, tris e tutte le altre configurazioni di ripetizione.
P(A) = 1 − 6! / 6⁶ = 319/324
Risultato: ≈ 98,46%
Tre strutture da riconoscere
Prove indipendenti: se ciascuna delle n prove ha probabilità di successo p, la probabilità di almeno un successo è:
P(A) = 1 − (1 − p)ⁿ
Senza reinserimento: fra N oggetti, K sono del tipo cercato; scegliamo uniformemente un gruppo di n oggetti, con 1 ≤ n ≤ N. La probabilità di almeno uno del tipo cercato è:
P(A) = 1 − C(N − K,n) / C(N,n)
Collisioni: scegliamo n volte, uniformemente e indipendentemente, fra m valori. Per 1 ≤ n ≤ m, la probabilità di almeno una ripetizione è:
P(A) = 1 − [m × (m − 1) × ⋯ × (m − n + 1)] / mⁿ
Se n > m, una ripetizione è certa per il principio dei cassetti. Nei tre colori del problema 21, invece, il complemento è un’unione di eventi che si sovrappongono: occorre anche inclusione-esclusione.
Una domanda migliore, prima del calcolo
Non bisogna trasformare il complemento in una formula da applicare alla cieca. Prima descrivi l’esperimento, poi scrivi l’evento e la sua negazione, controlla le ipotesi e soltanto dopo scegli il calcolo. La frase «almeno uno» è un indizio, non una prova di indipendenza.
La probabilità del complemento non richiede necessariamente un solo caso: richiede un insieme di casi più facile da descrivere o da contare. Se diventa più complicato dell’evento iniziale, non sei obbligato a usarlo.
La domanda decisiva è: «È più semplice descrivere ciò che voglio, oppure ciò che lo impedisce?» In questo cambio di prospettiva sta il vero valore del metodo.