Salvatore Mosaico · 2026
Regarder ce qui ne se produit pas
Devant une question comme « Quelle est la probabilité que cela arrive au moins une fois ? », on peut être tenté d’énumérer toutes les façons dont l’événement peut se produire. Parfois, la meilleure voie consiste plutôt à décrire précisément le cas où il ne se produit jamais.
Professeur : En quatre lancers de dé, nous voulons au moins un 6. Quels cas faudrait-il additionner ?
Élève : Exactement un 6, deux 6, trois 6 et quatre 6.
Professeur : Et que se passe-t-il lorsque notre condition n’est pas satisfaite ?
Élève : Aucun 6 n’apparaît. Il n’y a qu’une seule condition à décrire !
Ce dialogue est une simulation pédagogique. Il ne s’agit pas de deviner un raccourci, mais de choisir la description la plus simple de la même expérience.
Une formule simple, un choix important
Notons Ω l’ensemble des issues possibles et A l’événement demandé. Son complément Aᶜ contient exactement les issues de Ω qui n’appartiennent pas à A. Les deux événements sont disjoints et, ensemble, couvrent toutes les possibilités.
P(A) + P(Aᶜ) = 1
P(A) = 1 − P(Aᶜ)
Cette identité est toujours vraie, même sans indépendance et sans issues équiprobables. L’indépendance peut intervenir dans le calcul de P(Aᶜ), lorsqu’on souhaite multiplier les probabilités d’essais distincts. Confondre ces deux niveaux est une erreur fréquente.
Avant les formules : bien nier la question
| Événement demandé | Complément |
|---|---|
| Au moins un succès | Zéro succès |
| Au moins deux succès | Zéro ou exactement un succès |
| Toutes les couleurs apparaissent | Au moins une couleur manque |
| Au moins deux valeurs égales | Toutes les valeurs sont différentes |
« Aucun », « pas tous » et « au plus un » ne signifient pas la même chose. Écrivez toujours le complément sous forme de phrase avant de calculer.
Les outils que nous utiliserons
Pour les tirages sans remise, nous utiliserons C(N,n), le nombre de groupes de n objets choisis parmi N sans tenir compte de l’ordre. Le symbole n! désigne le produit des entiers de 1 à n, avec 0! = 1. Si n > N, on pose C(N,n) = 0.
C(N,n) = N! / [n! (N − n)!], 0 ≤ n ≤ N
Le rapport « cas favorables / cas possibles » est valable lorsque les issues comptées sont équiprobables. Un produit peut, quant à lui, venir de l’indépendance ou d’une chaîne de probabilités conditionnelles : nous rencontrerons les deux situations.
Vingt-cinq problèmes, des idées de plus en plus exigeantes
La collection reprend les 25 problèmes de la conversation initiale. Ils ne sont pas tous avancés : certains installent le mécanisme de base ; d’autres introduisent les tirages sans remise, les collisions, les probabilités conditionnelles et l’inclusion-exclusion. Le problème 21 demande une attention particulière aux chevauchements.
Essayez d’abord seul. Pour chaque problème, vous pouvez ouvrir un indice sur le complément et, séparément, la solution complète. Les pourcentages sont arrondis à deux décimales ; les expressions qui les précèdent sont exactes dans le modèle indiqué.
Index des problèmes
- Au moins un 6 avec quatre dés
- Au moins une face en dix lancers
- Au moins un as dans cinq cartes
- Au moins un double six
- Des anniversaires communs dans une classe
- Au moins une boule rouge
- Au moins un nombre pair
- Au moins une carte de cœur
- Une somme au moins égale à 3
- Un succès rare en vingt essais
- Au moins une femme dans le groupe
- Au moins un 1 ou un 2
- Au moins une figure
- Au moins une victoire
- Au moins une pièce défectueuse
- Au moins une valeur supérieure à 4
- Cinq chaussettes, quatre couleurs
- Un chiffre répété dans un code
- Au moins un as ou un roi
- Deux codes coïncident
- Les trois couleurs apparaissent
- Le même mois de naissance
- Au moins un multiple de 5
- Une collision dans les boîtes
- Une répétition avec six dés
1. Au moins un 6 avec quatre dés
On lance quatre dés équilibrés et indépendants. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un 6 ?
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Événement complémentaire: Aucun des quatre dés ne montre 6.
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Événement complémentaire: Aucun des quatre dés ne montre 6.
Chaque dé a cinq résultats autres que 6 sur six. L’indépendance permet de multiplier quatre fois 5/6. On soustrait ensuite à 1 : on évite de séparer les cas avec un, deux, trois ou quatre 6, qui demanderaient plus de calculs.
P(A) = 1 − (5/6)⁴ = 671/1296
Résultat: ≈ 51,77%
2. Au moins une face en dix lancers
On lance dix fois une pièce équilibrée, de manière indépendante. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une face ?
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Événement complémentaire: Les dix lancers donnent pile.
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Événement complémentaire: Les dix lancers donnent pile.
À chaque lancer, pile a une probabilité de 1/2. Une seule suite, entièrement composée de pile, ne contient aucune face ; il existe 2¹⁰ suites équiprobables. Le complément a donc une probabilité de 1/1024, à soustraire à 1. Une probabilité très élevée n’est pas une certitude.
P(A) = 1 − (1/2)¹⁰ = 1023/1024
Résultat: ≈ 99,90%
3. Au moins un as dans cinq cartes
On tire cinq cartes sans remise dans un jeu standard de 52 cartes sans jokers, bien mélangé. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un as ?
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Événement complémentaire: Les cinq cartes sont toutes autres que des as.
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Événement complémentaire: Les cinq cartes sont toutes autres que des as.
Il existe 48 cartes qui ne sont pas des as. Les mains de cinq cartes sont équiprobables : C(52,5) au total, C(48,5) sans as. Leur rapport donne la probabilité du complément. On n’utilise pas (48/52)⁵ : sans remise, la composition du jeu change après chaque tirage.
P(A) = 1 − C(48,5) / C(52,5)
Résultat: ≈ 34,12%
4. Au moins un double six
On lance deux dés équilibrés et indépendants pendant dix tours indépendants. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois (6,6) ?
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Événement complémentaire: Aucun tour ne donne (6,6).
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Événement complémentaire: Aucun tour ne donne (6,6).
Les couples ordonnés d’un tour sont au nombre de 36 et sont équiprobables ; un seul est (6,6). L’absence de double six a une probabilité de 35/36. On impose cette condition aux dix tours, puis on soustrait à 1. Il ne suffit pas qu’un seul des deux dés montre 6.
P(A) = 1 − (35/36)¹⁰
Résultat: ≈ 24,55%
5. Des anniversaires communs dans une classe
Dans une classe de 25 élèves, on modélise les anniversaires comme indépendants et uniformes sur 365 jours, sans le 29 février. Quelle est la probabilité qu’au moins deux coïncident ?
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Événement complémentaire: Les 25 anniversaires sont tous différents.
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Événement complémentaire: Les 25 anniversaires sont tous différents.
Le premier anniversaire est libre. Le deuxième doit éviter un jour, le troisième deux, jusqu’au vingt-cinquième qui doit en éviter 24. On multiplie les facteurs conditionnels 365/365, 364/365, …, 341/365. Les conditions « différent des précédents » ne sont pas des événements indépendants : le produit utilise les bonnes probabilités conditionnelles. Le résultat concerne une coïncidence entre n’importe quelle paire, pas avec une date fixée ; ce modèle simplifie les anniversaires réels.
P(A) = 1 − (365 × 364 × ⋯ × 341) / 365²⁵
Résultat: ≈ 56,87%
6. Au moins une boule rouge
Une urne contient 7 boules rouges et 13 bleues, toutes aussi susceptibles d’être tirées. On en choisit cinq sans remise. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une rouge ?
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Événement complémentaire: Les cinq boules sont bleues.
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Événement complémentaire: Les cinq boules sont bleues.
Parmi les C(20,5) sélections possibles, C(13,5) sont entièrement bleues. On soustrait leur rapport à 1. En suivant les tirages, le même complément vaut (13/20) × (12/19) × (11/18) × (10/17) × (9/16) : numérateurs et dénominateurs diminuent.
P(A) = 1 − C(13,5) / C(20,5)
Résultat: ≈ 91,70%
7. Au moins un nombre pair
On choisit six fois un entier de 1 à 10, uniformément, indépendamment et avec remise. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un nombre pair ?
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Événement complémentaire: Les six nombres sont impairs.
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Événement complémentaire: Les six nombres sont impairs.
Cinq nombres sur dix sont impairs : chaque choix a donc une probabilité de 1/2 d’être impair. La remise maintient cette probabilité ; l’indépendance autorise la puissance. On soustrait à 1 la probabilité de six nombres impairs.
P(A) = 1 − (1/2)⁶ = 63/64
Résultat: ≈ 98,44%
8. Au moins une carte de cœur
On tire quatre cartes sans remise dans un jeu standard bien mélangé de 52 cartes sans jokers. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un cœur ?
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Événement complémentaire: Aucune carte n’est un cœur.
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Événement complémentaire: Aucune carte n’est un cœur.
Il existe 13 cœurs et 39 cartes d’autres enseignes. Les mains sans cœur sont au nombre de C(39,4), contre C(52,4) mains au total. Leur rapport donne le complément : inutile de distinguer un, deux, trois ou quatre cœurs.
P(A) = 1 − C(39,4) / C(52,4)
Résultat: ≈ 69,62%
9. Une somme au moins égale à 3
On lance deux dés équilibrés et indépendants. Quelle est la probabilité que leur somme soit au moins 3 ?
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Événement complémentaire: La somme est inférieure à 3.
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Événement complémentaire: La somme est inférieure à 3.
La plus petite somme vaut 2. Le seul résultat exclu est donc (1,1), l’un des 36 couples ordonnés équiprobables. Les sommes de 2 à 12 ne sont pas équiprobables : on compte les couples, pas les valeurs possibles de la somme.
P(A) = 1 − 1/36 = 35/36
Résultat: ≈ 97,22%
10. Un succès rare en vingt essais
Une expérience réussit avec une probabilité de 0,08 à chaque essai. On effectue vingt essais indépendants. Quelle est la probabilité d’au moins un succès ?
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Événement complémentaire: Les vingt essais échouent.
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Événement complémentaire: Les vingt essais échouent.
L’échec a une probabilité de 0,92 à chaque essai. L’absence de succès a une probabilité de 0,92²⁰. Le raccourci 20 × 0,08 n’est pas la probabilité d’au moins un succès : c’est le nombre moyen de succès, qui dépasse même 1 ici.
P(A) = 1 − (92/100)²⁰
Résultat: ≈ 81,13%
11. Au moins une femme dans le groupe
Un ensemble de 30 personnes comprend 12 femmes et 18 hommes. On choisit uniformément un groupe de cinq personnes distinctes. Quelle est la probabilité qu’il comprenne au moins une femme ?
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Événement complémentaire: Les cinq personnes choisies sont des hommes.
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Événement complémentaire: Les cinq personnes choisies sont des hommes.
Il existe C(30,5) groupes possibles. Ceux sans femmes sont choisis entièrement parmi les 18 hommes, soit C(18,5). Le modèle porte sur des groupes tirés au hasard, et non sur cinq tirages indépendants avec remise.
P(A) = 1 − C(18,5) / C(30,5)
Résultat: ≈ 93,99%
12. Au moins un 1 ou un 2
On lance un dé équilibré huit fois, indépendamment. Quelle est la probabilité qu’au moins un lancer donne 1 ou 2 ?
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Événement complémentaire: Tous les lancers donnent seulement 3, 4, 5 ou 6.
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Événement complémentaire: Tous les lancers donnent seulement 3, 4, 5 ou 6.
À chaque lancer, quatre résultats sur six satisfont le complément, soit 2/3. Pour huit lancers, la probabilité est (2/3)⁸. On demande « au moins l’une des deux valeurs », et non « les deux valeurs au moins une fois » : ce sont des événements différents.
P(A) = 1 − (2/3)⁸
Résultat: ≈ 96,10%
13. Au moins une figure
On tire six cartes sans remise dans un jeu standard bien mélangé de 52 cartes sans jokers. Quelle est la probabilité d’au moins une figure, c’est-à-dire valet, dame ou roi ?
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Événement complémentaire: Les six cartes ne sont pas des figures.
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Événement complémentaire: Les six cartes ne sont pas des figures.
Il existe 3 figures par enseigne, soit 12 au total. Les as ne sont pas des figures selon cette définition. Il reste 40 autres cartes : on compte C(40,6) mains sans figure sur C(52,6) mains possibles, puis on soustrait à 1.
P(A) = 1 − C(40,6) / C(52,6)
Résultat: ≈ 81,15%
14. Au moins une victoire
Dans le modèle du problème, une équipe gagne chaque match avec une probabilité de 0,4 et les résultats de cinq matchs sont indépendants. Quelle est la probabilité d’au moins une victoire ?
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Événement complémentaire: L’équipe ne gagne aucun des cinq matchs.
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Événement complémentaire: L’équipe ne gagne aucun des cinq matchs.
Ne pas gagner a une probabilité de 0,6. Si les matchs nuls sont possibles, « ne pas gagner » comprend le nul et la défaite : on ne doit pas appeler le complément « perdre tous les matchs ». L’indépendance et la probabilité constante sont des hypothèses du modèle, pas des propriétés automatiques du sport réel.
P(A) = 1 − (6/10)⁵ = 2882/3125
Résultat: ≈ 92,22%
15. Au moins une pièce défectueuse
Cinquante pièces ont chacune une probabilité de 0,02 d’être défectueuses, indépendamment des autres. Quelle est la probabilité de trouver au moins une pièce défectueuse ?
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Événement complémentaire: Les cinquante pièces sont bonnes.
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Événement complémentaire: Les cinquante pièces sont bonnes.
Une pièce est bonne avec une probabilité de 0,98. Toutes bonnes a une probabilité de 0,98⁵⁰. Le résultat dépasse 60 %, même si le défaut individuel est rare. Si les défauts étaient corrélés, par exemple à cause d’une panne commune de production, cette puissance ne serait pas justifiée.
P(A) = 1 − (98/100)⁵⁰
Résultat: ≈ 63,58%
16. Au moins une valeur supérieure à 4
On lance un dé équilibré douze fois, indépendamment. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois un nombre supérieur à 4 ?
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Événement complémentaire: Toutes les valeurs obtenues sont au plus égales à 4.
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Événement complémentaire: Toutes les valeurs obtenues sont au plus égales à 4.
Éviter 5 et 6 laisse quatre faces sur six, soit une probabilité de 2/3 par lancer. Imposer douze fois cette condition donne (2/3)¹². Le complément de « supérieur à 4 » est « inférieur ou égal à 4 » : la valeur frontière doit être incluse.
P(A) = 1 − (2/3)¹²
Résultat: ≈ 99,23%
17. Cinq chaussettes, quatre couleurs
Un tiroir contient au moins cinq chaussettes, chacune d’une couleur parmi quatre. On en prend cinq sans remise. Quelle est la probabilité qu’au moins deux aient la même couleur ?
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Événement complémentaire: Les cinq chaussettes ont toutes des couleurs différentes.
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Événement complémentaire: Les cinq chaussettes ont toutes des couleurs différentes.
Cinq couleurs différentes ne peuvent apparaître si seules quatre existent. Le complément est impossible, donc de probabilité nulle. Le résultat est certain quel que soit le nombre de chaussettes de chaque couleur et la manière de choisir les cinq. C’est le principe des tiroirs : le complément mène ici à une preuve, pas à une puissance.
P(A) = 1 − 0 = 1
Résultat: = 100,00%
18. Un chiffre répété dans un code
Un code comporte six chiffres, chacun choisi uniformément et indépendamment de 0 à 9. Le premier peut aussi être 0. Quelle est la probabilité d’au moins une répétition ?
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Événement complémentaire: Les six chiffres sont tous différents.
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Événement complémentaire: Les six chiffres sont tous différents.
Il existe 10⁶ codes possibles. Pour construire un code sans répétition, on a 10 choix pour le premier chiffre, puis 9, 8, 7, 6 et 5. On divise ce produit par 10⁶ et on soustrait à 1. Il s’agit d’un code de six chiffres, pas forcément d’un entier à six chiffres : le zéro initial est donc autorisé.
P(A) = 1 − (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5) / 10⁶ = 1061/1250
Résultat: ≈ 84,88%
19. Au moins un as ou un roi
On tire cinq cartes sans remise dans un jeu standard bien mélangé de 52 cartes sans jokers. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une carte qui soit un as ou un roi ?
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Événement complémentaire: Il n’y a ni as ni roi.
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Événement complémentaire: Il n’y a ni as ni roi.
Les as et les rois sont des catégories disjointes : 4 + 4 = 8 cartes. Il reste 44 cartes autorisées par le complément. Les mains qui évitent ces huit cartes sont au nombre de C(44,5). L’événement demandé n’exige pas à la fois un as et un roi : une carte de l’une des catégories suffit.
P(A) = 1 − C(44,5) / C(52,5)
Résultat: ≈ 58,21%
20. Deux codes coïncident
On génère quatre codes de trois chiffres, uniformément et indépendamment de 000 à 999. Quelle est la probabilité qu’au moins deux soient identiques ?
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Événement complémentaire: Les quatre codes sont tous différents.
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Événement complémentaire: Les quatre codes sont tous différents.
Le premier code est libre. Pour éviter les coïncidences, le deuxième a 999 valeurs disponibles, le troisième 998 et le quatrième 997, toujours sur 1000 valeurs possibles à chaque génération. On multiplie ces facteurs conditionnels et on soustrait à 1. C’est un modèle de collisions entre codes aléatoires, pas une mesure de sécurité de vrais mots de passe.
P(A) = 1 − (999 × 998 × 997) / 1000³
Résultat: ≈ 0,60%
21. Les trois couleurs apparaissent
Un dé équilibré a deux faces rouges, deux vertes et deux bleues. On le lance dix fois indépendamment. Quelle est la probabilité que chacune des trois couleurs apparaisse au moins une fois ?
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Événement complémentaire: Au moins une des trois couleurs manque.
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Événement complémentaire: Au moins une des trois couleurs manque.
Notons R, V et B les événements « rouge absent », « vert absent », « bleu absent ». Chacun a une probabilité de (2/3)¹⁰. Additionner les trois probabilités compte deux fois les suites monochromes : dix bleus appartient par exemple à R et à V. Chaque intersection de deux absences a une probabilité de (1/3)¹⁰ ; il y a trois paires. L’absence des trois couleurs est impossible. Par inclusion-exclusion, le complément vaut 3(2/3)¹⁰ − 3(1/3)¹⁰. Soustraire à 1 inverse les deux signes : c’est le passage véritablement avancé de la collection.
P(A) = 1 − 3(2/3)¹⁰ + 3(1/3)¹⁰
Résultat: ≈ 94,80%
22. Le même mois de naissance
Pour huit personnes, on modélise les mois de naissance comme indépendants et uniformes parmi les douze mois. Quelle est la probabilité qu’au moins deux partagent le même mois ?
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Événement complémentaire: Les huit mois sont tous différents.
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Événement complémentaire: Les huit mois sont tous différents.
Le premier mois est libre, puis il reste 11, 10, 9, 8, 7, 6 et 5 mois évitant les coïncidences avec les précédents. On divise le produit de ces nombres par 12⁸. L’équiprobabilité des mois est une hypothèse explicite du modèle, pas un fait exact sur les naissances réelles ou la durée des mois.
P(A) = 1 − (12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5) / 12⁸
Résultat: ≈ 95,36%
23. Au moins un multiple de 5
On choisit sept entiers de 1 à 100, uniformément et indépendamment, avec remise. Quelle est la probabilité qu’au moins un soit divisible par 5 ?
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Événement complémentaire: Aucun des sept nombres n’est divisible par 5.
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Événement complémentaire: Aucun des sept nombres n’est divisible par 5.
Il existe 20 multiples de 5, donc 80 non-multiples sur 100. À chaque choix, le complément local a une probabilité de 4/5 ; pour les sept choix, elle vaut (4/5)⁷. La remise distingue ce problème d’un échantillon de sept nombres tous distincts.
P(A) = 1 − (4/5)⁷
Résultat: ≈ 79,03%
24. Une collision dans les boîtes
Cinq boules distinguables sont placées dans cinq boîtes distinguables. Chaque boule choisit une boîte uniformément et indépendamment. Quelle est la probabilité qu’une boîte contienne au moins deux boules ?
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Événement complémentaire: Aucune boîte ne contient plus d’une boule.
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Événement complémentaire: Aucune boîte ne contient plus d’une boule.
Avec cinq boules et cinq boîtes, l’absence de collision impose exactement une boule par boîte. Il existe 5⁵ affectations possibles, chaque boule ayant cinq choix. Les affectations sans collision sont au nombre de 5! = 120. Les simples profils d’occupation ne sont pas équiprobables : les issues équiprobables sont les affectations des boules distinguables.
P(A) = 1 − 5! / 5⁵ = 601/625
Résultat: ≈ 96,16%
25. Une répétition avec six dés
On lance six dés équilibrés et indépendants, distinguables par leur position ou leur couleur. Quelle est la probabilité qu’au moins deux montrent la même valeur ?
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Événement complémentaire: Les six résultats sont tous différents.
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Événement complémentaire: Les six résultats sont tous différents.
Avec six dés et six valeurs, tous différents signifie obtenir exactement 1, 2, 3, 4, 5 et 6 dans un certain ordre. Il existe 6! = 720 ordres, parmi 6⁶ issues ordonnées équiprobables. Le complément évite de classer les paires, les triples et toutes les autres configurations de répétition.
P(A) = 1 − 6! / 6⁶ = 319/324
Résultat: ≈ 98,46%
Trois structures à reconnaître
Essais indépendants : si chacun des n essais a une probabilité de succès p, la probabilité d’au moins un succès vaut :
P(A) = 1 − (1 − p)ⁿ
Sans remise : parmi N objets, K sont du type recherché ; on choisit uniformément un groupe de n objets, avec 1 ≤ n ≤ N. La probabilité d’au moins un objet recherché vaut :
P(A) = 1 − C(N − K,n) / C(N,n)
Collisions : on choisit n fois, uniformément et indépendamment, parmi m valeurs. Pour 1 ≤ n ≤ m, la probabilité d’au moins une répétition vaut :
P(A) = 1 − [m × (m − 1) × ⋯ × (m − n + 1)] / mⁿ
Si n > m, une répétition est certaine par le principe des tiroirs. Dans le problème 21 des trois couleurs, en revanche, le complément est une union d’événements qui se chevauchent : l’inclusion-exclusion est également nécessaire.
Une meilleure question avant de calculer
Ne transformez pas le complément en une formule appliquée aveuglément. Décrivez d’abord l’expérience, puis l’événement et sa négation, vérifiez les hypothèses et choisissez ensuite le calcul. « Au moins un » est un indice, pas une preuve d’indépendance.
Le complément n’exige pas forcément un seul cas : il doit former un ensemble de cas plus facile à décrire ou à compter. S’il devient plus compliqué que l’événement initial, rien ne vous oblige à l’utiliser.
La question décisive est : « Est-il plus simple de décrire ce que je veux, ou ce qui l’empêche ? » Ce changement de perspective fait toute la valeur de la méthode.