Escribir un número en otra base no cambia su valor: cambia la forma en que lo representan las cifras. El laboratorio interactivo de sistemas de numeración permite seguir cada conversión y jugar con las potencias de 2.
¿Qué significa «base»?
En el sistema decimal utilizamos diez cifras, del 0 al 9. Cada posición vale diez veces la situada a su derecha: 34710 = 3×10² + 4×10¹ + 7×10⁰. En base b, las posiciones valen 1, b, b², b³, etcétera. Cada cifra debe ser menor que b. De la base 11 a la 16 utilizamos A, B, C, D, E, F para los valores del 10 al 15.
De base x a base 10: sumar los valores posicionales
Lee las cifras de derecha a izquierda y multiplícalas por las potencias sucesivas de la base. Por ejemplo, 2A16 = 2×16¹ + 10×16⁰ = 32 + 10 = 4210. La letra A vale 10; no es una variable.
Fórmula general: (dn…d1d0)x = dnxn + … + d1x + d0. El cálculo también funciona cuando algunas cifras son cero.
De base 10 a base y: divisiones sucesivas
Divide repetidamente el número entre y. Anota cada resto y después léelos del último al primero. Convirtamos 4510 a base 2:
- 45 ÷ 2 = 22, resto 1.
- 22 ÷ 2 = 11, resto 0.
- 11 ÷ 2 = 5, resto 1.
- 5 ÷ 2 = 2, resto 1.
- 2 ÷ 2 = 1, resto 0.
- 1 ÷ 2 = 0, resto 1.
De abajo arriba leemos 1011012. Comprobación: 32 + 8 + 4 + 1 = 45.
De base x a base y: pasar por base 10
Combina los dos métodos anteriores. Por ejemplo, 2314 = 2×4² + 3×4¹ + 1 = 32 + 12 + 1 = 4510. Al convertir 45 a base 2 mediante divisiones sucesivas obtenemos 1011012. Por tanto, 2314 = 4510 = 1011012.
El juego de las seis tarjetas
Piensa en un entero del 1 al 63. Te mostramos seis tarjetas, una por una. En cada una responde solo sí o no: ¿aparece tu número? Aparta las tarjetas a las que respondiste no. Los primeros números de las restantes son 1, 2, 4, 8, 16 y 32; al sumarlos recuperas el número pensado.
¿Por qué funciona? Son las seis potencias de 2, es decir, las seis posiciones de un número binario. Cada número del 1 al 63 tiene una combinación única de estas potencias. Por ejemplo, 37 = 32 + 4 + 1: aparece exactamente en las tarjetas que empiezan por 32, 4 y 1. Cada tarjeta contiene 32 números, aquellos cuya posición binaria correspondiente vale 1. Si siempre respondes no, la suma es 0, fuera del intervalo elegido.
Prueba las seis tarjetas interactivas: podrás volver a la tarjeta anterior o empezar con otro número.
Otros dos juegos del laboratorio
Luces binarias: enciende o apaga ocho potencias de 2 para formar un objetivo del 1 al 255. Reto de las bases: resuelve diez conversiones entre las bases 2 y 16, alternando los tres métodos explicados arriba. Después de cada respuesta verás enseguida el valor correcto.
Un juego ya existente: la botella envenenada
Las respuestas sí/no también pueden leerse como cifras binarias en otro problema: cada botella recibe un código distinto y el patrón de los detectores permite identificarla. Para explorar esta aplicación, prueba La botella envenenada, un juego en línea que ya está en el sitio. Seis respuestas binarias distinguen 2⁶ = 64 posibilidades; doce distinguen 2¹² = 4096.
Pruébalo tú mismo
- Convierte 101102 a base 10.
- Convierte 5810 a base 2.
- Convierte 1325 a base 16 pasando por base 10.
Soluciones razonadas
1) 101102 = 16 + 4 + 2 = 2210. 2) Las divisiones entre 2 dan restos que, leídos al revés, forman 111010; así, 5810 = 1110102. 3) 1325 = 25 + 15 + 2 = 4210; 42 ÷ 16 = 2 con resto 10, es decir, A. Por tanto, 1325 = 2A16.
El laboratorio trabaja con enteros no negativos; las fracciones y los números negativos requieren otras convenciones. Recuerda: otra base cambia la escritura, no el número.