Écrire un nombre dans une autre base ne change pas sa valeur : cela change la façon dont les chiffres le représentent. Le laboratoire interactif sur les systèmes de numération permet de suivre chaque conversion et de jouer avec les puissances de 2.
Que signifie « base » ?
Dans le système décimal, nous utilisons dix chiffres, de 0 à 9. Chaque position vaut dix fois celle qui se trouve à sa droite : 34710 = 3×10² + 4×10¹ + 7×10⁰. En base b, les positions valent plutôt 1, b, b², b³, etc. Chaque chiffre doit être inférieur à b. Des bases 11 à 16, nous utilisons A, B, C, D, E, F pour les valeurs de 10 à 15.
De la base x à la base 10 : additionner les valeurs de position
Lisez les chiffres de droite à gauche et multipliez-les par les puissances successives de la base. Par exemple, 2A16 = 2×16¹ + 10×16⁰ = 32 + 10 = 4210. La lettre A vaut 10 ; ce n’est pas une variable.
Formule générale : (dn…d1d0)x = dnxn + … + d1x + d0. Le calcul reste valable si certains chiffres sont nuls.
De la base 10 à la base y : divisions successives
Divisez le nombre plusieurs fois par y. Notez chaque reste, puis lisez-les du dernier au premier. Convertissons 4510 en base 2 :
- 45 ÷ 2 = 22, reste 1.
- 22 ÷ 2 = 11, reste 0.
- 11 ÷ 2 = 5, reste 1.
- 5 ÷ 2 = 2, reste 1.
- 2 ÷ 2 = 1, reste 0.
- 1 ÷ 2 = 0, reste 1.
En lisant de bas en haut, nous obtenons 1011012. Vérification : 32 + 8 + 4 + 1 = 45.
De la base x à la base y : passer par la base 10
Combinez les deux méthodes précédentes. Par exemple, 2314 = 2×4² + 3×4¹ + 1 = 32 + 12 + 1 = 4510. En convertissant 45 en base 2 par divisions successives, nous obtenons 1011012. Ainsi, 2314 = 4510 = 1011012.
Le jeu des six cartes
Pensez à un entier de 1 à 63. Nous vous montrons six cartes, une à la fois. Pour chacune, répondez seulement oui ou non : votre nombre y figure-t-il ? Écartez les cartes auxquelles vous avez répondu non. Les premiers nombres des autres cartes sont 1, 2, 4, 8, 16 et 32 ; leur somme redonne votre nombre.
Pourquoi ? Ce sont les six puissances de 2, c’est-à-dire les six positions d’un nombre binaire. Chaque nombre de 1 à 63 possède une combinaison unique de ces puissances. Par exemple, 37 = 32 + 4 + 1 : il figure exactement sur les cartes qui commencent par 32, 4 et 1. Chaque carte contient 32 nombres, ceux dont la position binaire correspondante vaut 1. Si vous répondez toujours non, la somme est 0, hors de l’intervalle choisi.
Essayez les six cartes interactives : vous pouvez revenir à la carte précédente ou recommencer avec un autre nombre.
Deux autres jeux dans le laboratoire
Lampes binaires : allumez ou éteignez huit puissances de 2 pour former une cible de 1 à 255. Défi des bases : résolvez dix conversions entre les bases 2 et 16 en alternant les trois méthodes expliquées ci-dessus. Après chaque réponse, la valeur correcte s’affiche immédiatement.
Un jeu déjà présent : la bouteille empoisonnée
Les réponses oui/non peuvent aussi se lire comme des chiffres binaires dans un autre problème : chaque bouteille reçoit un code distinct, et le résultat des détecteurs l’identifie. Pour découvrir cette application, essayez La bouteille empoisonnée, un jeu en ligne déjà présent sur le site. Six réponses binaires distinguent 2⁶ = 64 possibilités ; douze en distinguent 2¹² = 4 096.
À vous de jouer
- Convertissez 101102 en base 10.
- Convertissez 5810 en base 2.
- Convertissez 1325 en base 16 en passant par la base 10.
Solutions détaillées
1) 101102 = 16 + 4 + 2 = 2210. 2) Les divisions par 2 donnent des restes qui, lus à l’envers, forment 111010 ; donc 5810 = 1110102. 3) 1325 = 25 + 15 + 2 = 4210 ; 42 ÷ 16 = 2 avec un reste de 10, soit A. Ainsi, 1325 = 2A16.
Le laboratoire traite les entiers positifs ou nuls ; les fractions et les nombres négatifs exigent d’autres conventions. Une autre base change l’écriture, pas le nombre.