Sistemi di numerazione: conversioni e giochi

Scrivere un numero in un’altra base non ne cambia il valore: cambia il modo in cui le cifre lo rappresentano. Il laboratorio interattivo sui sistemi di numerazione ti permette di seguire ogni conversione e di giocare con le potenze di 2.

Che cosa significa «base»?

Nel sistema decimale usiamo dieci cifre, da 0 a 9. Ogni posizione vale dieci volte quella alla sua destra: 347₁₀ = 3×10² + 4×10¹ + 7×10⁰. In base b, invece, le posizioni valgono 1, b, b², b³ e così via. Ogni cifra deve essere minore di b. Dalla base 11 alla 16 usiamo A, B, C, D, E, F per i valori da 10 a 15.

Da base x a base 10: somma dei valori posizionali

Leggi le cifre da destra verso sinistra e moltiplicale per le potenze successive della base. Per esempio, 2A₁₆ = 2×16¹ + 10×16⁰ = 32 + 10 = 42₁₀. La lettera A vale 10, non è una variabile.

Formula generale: (d_n…d₁d₀)_x = d_nxⁿ + … + d₁x + d₀. Il calcolo vale anche quando alcune cifre sono zero.

Da base 10 a base y: divisioni successive

Dividi ripetutamente il numero per y. Annota ogni resto; poi leggili dall’ultimo al primo. Convertiamo 45₁₀ in base 2:

1. 45 ÷ 2 = 22, resto 1.
2. 22 ÷ 2 = 11, resto 0.
3. 11 ÷ 2 = 5, resto 1.
4. 5 ÷ 2 = 2, resto 1.
5. 2 ÷ 2 = 1, resto 0.
6. 1 ÷ 2 = 0, resto 1.

Dal basso verso l’alto leggiamo 101101₂. Controllo: 32 + 8 + 4 + 1 = 45.

Da base x a base y: il ponte della base 10

Combina i due procedimenti precedenti. Per esempio, 231₄ = 2×4² + 3×4¹ + 1 = 32 + 12 + 1 = 45₁₀. Convertendo 45 in base 2 con le divisioni successive otteniamo 101101₂. Dunque 231₄ = 45₁₀ = 101101₂.

Il gioco dei sei cartoncini

Pensa a un numero intero da 1 a 63. Ti mostriamo sei cartoncini, uno alla volta. Per ciascuno rispondi solo «sì» o «no»: il tuo numero compare? Metti da parte i cartoncini con risposta «no». I primi numeri degli altri cartoncini sono 1, 2, 4, 8, 16 e 32; sommandoli ritrovi il numero pensato.

Perché funziona? Sono le sei potenze di 2, cioè le sei posizioni di un numero binario. Ogni numero da 1 a 63 ha una combinazione unica di queste potenze. Per esempio, 37 = 32 + 4 + 1: apparirà esattamente sui cartoncini che iniziano con 32, 4 e 1. Ogni cartoncino contiene 32 numeri, precisamente quelli per cui la sua posizione binaria vale 1. Se rispondi sempre «no», la somma è 0, fuori dall’intervallo scelto.

Prova i sei cartoncini interattivi: potrai tornare al cartoncino precedente o ricominciare con un altro numero.

Altri due giochi nel laboratorio

Luci binarie: accendi o spegni otto potenze di 2 per comporre un bersaglio da 1 a 255. Sfida delle basi: risolvi dieci conversioni fra le basi da 2 a 16, alternando i tre procedimenti spiegati sopra. Dopo ogni risposta scopri subito il valore corretto.

Un gioco già presente: la bottiglia avvelenata

Le risposte sì/no si possono leggere come cifre binarie anche in un problema diverso: ogni bottiglia riceve un codice distinto e il risultato dei rilevatori permette di identificarla. Se ti interessa questa applicazione, prova La bottiglia avvelenata, il gioco online già presente nel sito. Sei risposte binarie distinguono 2⁶ = 64 possibilità; con dodici si arriva a 2¹² = 4.096.

Prova da solo

1. Converti 10110₂ in base 10.
2. Converti 58₁₀ in base 2.
3. Converti 132₅ in base 16 passando per la base 10.

Il laboratorio tratta interi non negativi; le frazioni e i numeri negativi richiedono ulteriori convenzioni. Ricorda: una base diversa cambia la scrittura, non il numero.