Unos amigos están en un bar. Uno de ellos cuenta una curiosa coincidencia entre su edad y las edades de sus hermanos. Gianni afirma que le ocurrió cuando tenía 30 años; Fabrizio, cuando tenía 42. A Aldo nunca le ha ocurrido. ¿Cuáles son las diferencias de edad y qué explica esta diferencia?
El relato y las preguntas
La diferencia de edad entre mi hermana menor y yo y la diferencia entre mi hermano mayor y yo hicieron que, una vez, cuando mi edad era el producto de esas diferencias, sus edades fueran respectivamente los cuadrados de las diferencias de edad que tenían conmigo.
Aldo dice: «Tengo un hermano menor y uno mayor, pero a mí nunca me ha ocurrido».
Gianni dice: «A mí me ocurrió cuando tenía 30 años».
Fabrizio dice: «A mí me ocurrió cuando tenía 42 años».
- ¿Cuáles son las diferencias de edad entre Gianni y sus hermanos?
- ¿Cuáles son las diferencias de edad entre Fabrizio y sus hermanos?
- ¿Por qué nunca le ha ocurrido a Aldo?
Traducción algebraica de la situación
Sea p la diferencia de edad con el familiar menor y sea g la diferencia con el familiar mayor. Ambas diferencias son positivas. En el instante descrito, la edad del protagonista es el producto p · g, mientras que las edades de los otros dos son los cuadrados de sus respectivas diferencias:
| Familiar menor | Protagonista | Familiar mayor |
|---|---|---|
p² | p · g | g² |
Como p es la diferencia entre el protagonista y el familiar menor, la edad del protagonista también es p² + p. Como g es la diferencia entre el familiar mayor y el protagonista, la edad del protagonista también es g² - g. Las dos expresiones deben ser iguales:
p² + p = g² - g
p + g = g² - p²
p + g = (g - p)(g + p)Dado que p + g > 0, podemos dividir ambos miembros entre p + g:
1 = g - p
g = p + 1La situación solo puede darse cuando las dos diferencias de edad son números consecutivos.
Sustituyendo g = p + 1, la tabla de edades queda así:
| Familiar menor | Protagonista | Familiar mayor |
|---|---|---|
p² | p(p + 1) | (p + 1)² |
El caso de Gianni: 30 años
Para Gianni imponemos que la edad del protagonista sea 30:
p(p + 1) = 30
p² + p - 30 = 0
p = (-1 ± √(1 + 120)) / 2
= (-1 ± 11) / 2Tomamos la solución positiva: p = 5. Por tanto, g = p + 1 = 6.
| Familiar menor de Gianni | Gianni | Familiar mayor de Gianni |
|---|---|---|
5² = 25 | 5 · 6 = 30 | 6² = 36 |
Las diferencias de edad son, por tanto, 5 años con el familiar menor y 6 años con el familiar mayor.
El caso de Fabrizio: 42 años
Para Fabrizio:
p(p + 1) = 42
p² + p - 42 = 0
p = (-1 ± √(1 + 168)) / 2
= (-1 ± 13) / 2La solución positiva es p = 6; por tanto, g = 7.
| Familiar menor de Fabrizio | Fabrizio | Familiar mayor de Fabrizio |
|---|---|---|
6² = 36 | 6 · 7 = 42 | 7² = 49 |
Las diferencias de edad son, por tanto, 6 años con el familiar menor y 7 años con el familiar mayor.
¿Por qué nunca le ha ocurrido a Aldo?
El relato no proporciona ni las diferencias de edad de Aldo ni su edad actual, por lo que la información disponible no permite saber por qué afirma que nunca le ha ocurrido. Si g - p ≠ 1, las diferencias no son consecutivas y el suceso es imposible. Si, en cambio, g = p + 1, el suceso ocurre cuando Aldo alcanza la edad p(p + 1), de modo que todavía podría estar en su futuro. En este último caso, «nunca me ha ocurrido» significa únicamente «todavía no me ha ocurrido».
Preparado por Salvatore Mosaico.