Des amis sont dans un café. L’un d’eux raconte une curieuse coïncidence entre son âge et ceux de son frère et de sa sœur. Gianni affirme que cela lui est arrivé à 30 ans ; Fabrizio, à 42 ans. Cela n’est jamais arrivé à Aldo. Quels sont les écarts d’âge et pourquoi cette différence ?
Le récit et les questions
L’écart d’âge entre ma sœur cadette et moi et l’écart entre mon frère aîné et moi ont fait qu’un jour mon âge était le produit de ces écarts, tandis que leurs âges étaient respectivement les carrés des écarts d’âge qui les séparaient de moi.
Aldo dit : « J’ai un frère cadet et un frère aîné, mais cela ne m’est jamais arrivé. »
Gianni dit : « Cela m’est arrivé lorsque j’avais 30 ans. »
Fabrizio dit : « Cela m’est arrivé lorsque j’avais 42 ans. »
- Quels sont les écarts d’âge entre Gianni et les autres membres de sa fratrie ?
- Quels sont les écarts d’âge entre Fabrizio et les autres membres de sa fratrie ?
- Pourquoi cela n’est-il jamais arrivé à Aldo ?
Traduction algébrique de la situation
Notons p l’écart d’âge avec le membre plus jeune de la fratrie et g l’écart avec le frère aîné. Ces écarts sont positifs. À l’instant décrit, l’âge du protagoniste est le produit p · g, tandis que les deux autres âges sont les carrés de leurs écarts respectifs :
| Membre plus jeune | Protagoniste | Frère aîné |
|---|---|---|
p² | p · g | g² |
Puisque p est l’écart entre le protagoniste et le membre plus jeune, le protagoniste a aussi p² + p ans. Puisque g est l’écart entre le frère aîné et le protagoniste, le protagoniste a également g² - g ans. Ces expressions sont égales :
p² + p = g² - g
p + g = g² - p²
p + g = (g - p)(g + p)Comme p + g > 0, divisons les deux membres par p + g :
1 = g - p
g = p + 1La situation ne peut se produire que lorsque les deux écarts d’âge sont des nombres consécutifs.
En remplaçant g par p + 1, le tableau des âges devient :
| Membre plus jeune | Protagoniste | Frère aîné |
|---|---|---|
p² | p(p + 1) | (p + 1)² |
Le cas de Gianni : 30 ans
Pour Gianni, imposons que l’âge du protagoniste soit 30 :
p(p + 1) = 30
p² + p - 30 = 0
p = (-1 ± √(1 + 120)) / 2
= (-1 ± 11) / 2La solution positive est p = 5. Par conséquent, g = p + 1 = 6.
| Membre plus jeune | Gianni | Frère aîné |
|---|---|---|
5² = 25 | 5 · 6 = 30 | 6² = 36 |
Les écarts d’âge sont donc de 5 ans avec le membre plus jeune et de 6 ans avec le membre plus âgé.
Le cas de Fabrizio : 42 ans
Pour Fabrizio :
p(p + 1) = 42
p² + p - 42 = 0
p = (-1 ± √(1 + 168)) / 2
= (-1 ± 13) / 2La solution positive est p = 6, donc g = 7.
| Membre plus jeune | Fabrizio | Frère aîné |
|---|---|---|
6² = 36 | 6 · 7 = 42 | 7² = 49 |
Les écarts d’âge sont donc de 6 ans avec le membre plus jeune et de 7 ans avec le membre plus âgé.
Pourquoi cela n’est-il jamais arrivé à Aldo ?
Le récit ne donne ni les écarts d’âge d’Aldo ni son âge actuel ; les informations disponibles ne permettent donc pas de savoir pourquoi il affirme que cela ne lui est jamais arrivé. Si g - p ≠ 1, les écarts ne sont pas consécutifs et l’événement est impossible. Si, au contraire, g = p + 1, l’événement se produit lorsqu’Aldo atteint l’âge p(p + 1) et peut donc encore appartenir à son avenir. Dans ce dernier cas, « cela ne m’est jamais arrivé » signifie seulement « cela ne m’est pas encore arrivé ».
Préparé par Salvatore Mosaico.