Alcuni amici sono al bar. Uno di loro racconta una curiosa coincidenza fra la propria età e quelle dei fratelli. Gianni afferma che gli è accaduta quando aveva 30 anni; Fabrizio quando ne aveva 42. Ad Aldo, invece, non è mai accaduta. Quali sono le distanze d’età e perché compare questa differenza?
Il racconto e le domande
La distanza d’età fra me e mia sorella minore e la distanza fra me e mio fratello maggiore hanno fatto sì che, una volta, quando la mia età era il prodotto di queste distanze, le loro età fossero rispettivamente i quadrati delle distanze d’età che avevano con me.
Aldo dice: «Ho un fratello minore e uno maggiore, ma a me non è mai successo».
Gianni dice: «A me è successo quando avevo 30 anni».
Fabrizio dice: «A me è successo quando avevo 42 anni».
- Quali sono le distanze d’età tra Gianni e i suoi fratelli?
- Quali sono le distanze d’età tra Fabrizio e i suoi fratelli?
- Perché ad Aldo non è mai successo?
Traduzione algebrica della situazione
Sia p la distanza d’età dal familiare minore e sia g la distanza d’età dal fratello maggiore. Le distanze sono numeri positivi. Nell’istante descritto, l’età del protagonista è il prodotto p · g, mentre le età degli altri due sono i quadrati delle rispettive distanze:
| Familiare minore | Protagonista | Fratello maggiore |
|---|---|---|
p² | p · g | g² |
Poiché p è la distanza tra il protagonista e il familiare minore, l’età del protagonista è anche p² + p. Poiché g è la distanza tra il fratello maggiore e il protagonista, l’età del protagonista è anche g² - g. Le due espressioni devono essere uguali:
p² + p = g² - g
p + g = g² - p²
p + g = (g - p)(g + p)Dato che p + g > 0, possiamo dividere entrambi i membri per p + g:
1 = g - p
g = p + 1La situazione si verifica soltanto quando le due distanze d’età sono numeri consecutivi.
Sostituendo g = p + 1, la tabella delle età assume questa forma:
| Familiare minore | Protagonista | Fratello maggiore |
|---|---|---|
p² | p(p + 1) | (p + 1)² |
Il caso di Gianni: 30 anni
Per Gianni imponiamo che l’età del protagonista sia 30:
p(p + 1) = 30
p² + p - 30 = 0
p = (-1 ± √(1 + 120)) / 2
= (-1 ± 11) / 2Prendiamo la soluzione positiva: p = 5. Di conseguenza g = p + 1 = 6.
| Familiare minore di Gianni | Gianni | Fratello maggiore di Gianni |
|---|---|---|
5² = 25 | 5 · 6 = 30 | 6² = 36 |
Le distanze d’età sono dunque 5 anni dal minore e 6 anni dal maggiore.
Il caso di Fabrizio: 42 anni
Per Fabrizio:
p(p + 1) = 42
p² + p - 42 = 0
p = (-1 ± √(1 + 168)) / 2
= (-1 ± 13) / 2La soluzione positiva è p = 6; quindi g = 7.
| Familiare minore di Fabrizio | Fabrizio | Fratello maggiore di Fabrizio |
|---|---|---|
6² = 36 | 6 · 7 = 42 | 7² = 49 |
Le distanze d’età sono dunque 6 anni dal minore e 7 anni dal maggiore.
Perché ad Aldo non è mai successo?
Il racconto non fornisce né le distanze d’età di Aldo né la sua età attuale, quindi dai dati disponibili non possiamo stabilire perché egli dica che non gli è mai successo. Se g - p ≠ 1, le distanze non sono consecutive e l’evento è impossibile. Se invece g = p + 1, l’evento si verifica quando Aldo raggiunge l’età p(p + 1): potrebbe quindi essere ancora nel suo futuro. In quest’ultimo caso, «non è mai successo» significa soltanto «non è successo finora».
A cura di Salvatore Mosaico.