1. Las reglas y la pregunta correcta
Con una baraja napolitana de 40 cartas, descubre una carta cada vez mientras dices 1, 2, …, 10 y vuelves a empezar en 1: cuatro ciclos completos. El as vale 1, la sota 8, el caballo 9 y el rey 10. Pierdes en la primera coincidencia entre el valor de la carta y el número pronunciado; ganas si completas las cuarenta cartas sin coincidencias.
Suponemos que todos los órdenes de las 40 cartas son equiprobables. El resultado sorprende: la probabilidad de ganar es aproximadamente 1,56216% y la de perder 98,43784%. No se pierde siempre, sino casi siempre. Veamos cómo calcularlo.
2. Existe un orden ganador
Un contraejemplo basta para mostrar que perder no es inevitable:
Dices: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sale: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1Repite la segunda fila cuatro veces, una por cada palo. Has usado todas las cartas sin ninguna coincidencia. Ganar es posible; un barajado aleatorio produce pocas veces un orden favorable.
3. La primera estimación: útil, pero no exacta
Antes de observar la baraja, cada posición fijada tiene cuatro cartas peligrosas entre cuarenta. Su probabilidad de coincidencia es 4/40 = 1/10, y la de evitarla es 9/10.
Si las cuarenta pruebas fueran independientes, tendríamos:
P(ganar) = (9/10)⁴⁰ ≈ 0,01478088 = 1,47809%Esto es solo una estimación: las cartas no se devuelven a la baraja. Si la primera es un 2, cuando dices 2 quedan tres doses entre 39 cartas; si la primera es un 7, quedan cuatro. Has superado la primera carta en ambos casos, pero el riesgo siguiente cambia. El producto exacto usa probabilidades condicionadas, no cuarenta factores idénticos a 9/10.
4. Por qué cuesta tanto: cuatro coincidencias de media
Imaginemos descubrir todas las cartas incluso después de la primera coincidencia. Sea X el número total de coincidencias. Su media es:
E(X) = 40 · (1/10) = 4Los valores esperados se suman incluso sin independencia. Una media de cuatro no significa cuatro coincidencias en cada partida: algunas no tienen ninguna, otras muchas. Ganar exige precisamente X = 0. La media explica intuitivamente la dificultad, pero no determina por sí sola P(X = 0).
5. Contar sin contar dos veces
El cálculo exacto utiliza la inclusión-exclusión: restar los órdenes con coincidencias especificadas y corregir después los solapamientos.
Un ejemplo pequeño explica los signos. Con tres cartas distintas 1, 2, 3 y llamadas 1, 2, 3 hay 3! = 6 órdenes. Cada posición coincide en dos órdenes: restamos 3 · 2 = 6. Cada pareja de coincidencias se restó dos veces: sumamos 3. Finalmente restamos el orden con las tres coincidencias:
Órdenes sin coincidencias = 6 − 6 + 3 − 1 = 2Son 231 y 312. El principio es idéntico con cuarenta cartas, pero debemos gestionar cuatro cartas de cada valor. El símbolo n! significa n · (n−1) · … · 1; por convenio 0! = 1.
6. Un valor: de dónde salen 1, 16, 72, 96, 24
Consideremos el 7. Hay cuatro sietes distintos y cuatro posiciones donde dices 7: 7, 17, 27, 37. ¿De cuántas formas podemos especificar j coincidencias de este valor?
Elegimos j cartas entre cuatro, j posiciones entre cuatro y las emparejamos de j! maneras. Obtenemos C(4,j)² · j!, donde C(4,j) cuenta las elecciones de j objetos entre cuatro.
| Coincidencias j | Elecciones de cartas | Elecciones de posiciones | Emparejamientos j! | Total |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 4 | 4 | 1 | 16 |
| 2 | 6 | 6 | 2 | 72 |
| 3 | 4 | 4 | 6 | 96 |
| 4 | 1 | 1 | 24 | 24 |
Para j = 2, seis parejas de cartas, seis parejas de posiciones y dos emparejamientos dan 6 · 6 · 2 = 72. Imponemos algunas coincidencias, sin exigir que sean las únicas.
7. Combinar los diez valores
Usamos x como una etiqueta para contar las coincidencias especificadas:
Q(x) = 1 + 16x + 72x² + 96x³ + 24x⁴
Q(x)¹⁰ = r₀ + r₁x + r₂x² + … + r₄₀x⁴⁰El coeficiente de x² es 72 porque un valor permite 72 formas de especificar dos coincidencias. Cada valor tiene los mismos recuentos y utiliza cartas y posiciones diferentes: combinamos los diez valores multiplicando diez copias de Q.
Sea rk el coeficiente de xk en Q(x)10. Cuenta las formas compatibles de especificar k coincidencias en total. Por ejemplo:
r₀ = 1
r₁ = 10 · 16 = 160
r₂ = 10 · 72 + C(10,2) · 16²
= 720 + 11520 = 12240Dos coincidencias pueden pertenecer al mismo valor o a dos valores diferentes: de ahí los dos sumandos. Todos los coeficientes se obtienen multiplicando sucesivamente por Q diez veces; la lista final contiene r₀, …, r₄₀.
8. Leer la fórmula exacta paso a paso
Las cuarenta cartas físicas son distintas aunque repitan valores: existen 40! órdenes equiprobables. Tras fijar k coincidencias compatibles, las 40 − k cartas restantes se pueden ordenar de (40 − k)! maneras. Pueden producir coincidencias adicionales: la alternancia de signos las corrige.
W = Σ(k=0,…,40) (−1)ᵏ rₖ (40−k)!
p = W / 40!La suma tiene 41 términos, desde k = 0 hasta k = 40. El signo es positivo para k par y negativo para k impar. Primero calculamos el número entero W de órdenes ganadores y después dividimos entre 40!. Así evitamos perder precisión al restar cantidades decimales casi iguales.
p = 0,0156215686393598…Probabilidad de ganar: 1,5621568639…%.
Probabilidad de perder: 98,4378431361…%.
Es un cálculo combinatorio para cuarenta cartas, no una simulación ni el resultado de una baraja de 52 cartas.
9. Una victoria cada 64 partidas no es una fecha límite
Con barajados independientes, cada nueva partida conserva la probabilidad p de victoria. El número medio de partidas hasta la primera victoria, incluida la ganadora, es 1/p ≈ 64,014.
La probabilidad de perder n partidas consecutivas es (1 − p)ⁿ. Para 50 partidas es aproximadamente 45,51%; para 100 sigue siendo 20,71%. Así se entiende el recuerdo de no haber ganado nunca.
Tras muchas derrotas no “toca” necesariamente ganar. Un nuevo barajado uniforme parte de las mismas probabilidades. El cálculo depende de las reglas y del barajado: no se aplica automáticamente si cambias los números pronunciados según las cartas ya vistas.
Referencia matemática: Doyle, Grinstead, Snell, Frustration solitaire. Cálculo adaptado aquí a diez valores y cuatro palos.