Le solitaire des 40 cartes : pourquoi on perd presque toujours

1. Les règles et la bonne question

Avec un jeu de 40 cartes napolitaines, retournez les cartes une à une en annonçant 1, 2, …, 10, puis recommencez à 1 : quatre cycles complets. L’as vaut 1, le valet 8, le cavalier 9 et le roi 10. Vous perdez à la première coïncidence entre la valeur retournée et le nombre annoncé ; vous gagnez seulement en terminant les quarante cartes sans coïncidence.

Supposons tous les ordres des 40 cartes équiprobables. Le résultat est étonnant : environ 1,56216 % de chances de gagner et 98,43784 % de perdre. On ne perd donc pas toujours, mais presque toujours. Voici le calcul.

2. Un ordre gagnant existe

Un contre-exemple suffit pour montrer que perdre n’est pas inévitable :

Annonce : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Carte :   2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

Répétez la deuxième ligne quatre fois, une par enseigne. Toutes les cartes sont utilisées sans aucune coïncidence. Gagner est possible ; un mélange aléatoire donne rarement un ordre favorable.

3. Une première estimation, mais pas le résultat exact

Avant d’observer le jeu, chaque position fixée a quatre cartes dangereuses sur quarante. Sa probabilité de coïncidence est 4/40 = 1/10, et celle de l’éviter est 9/10.

Si les quarante essais étaient indépendants, on aurait :

P(gagner) = (9/10)⁴⁰ ≈ 0,01478088 = 1,47809%

Ce n’est qu’une estimation : on ne remet pas les cartes dans le jeu. Si la première est un 2, il reste trois 2 parmi 39 cartes quand on annonce 2 ; si c’est un 7, il en reste quatre. Dans les deux cas, on a passé la première carte, mais le risque suivant diffère. Le produit exact utilise des probabilités conditionnelles, pas quarante facteurs identiques à 9/10.

4. Pourquoi c’est difficile : quatre coïncidences en moyenne

Imaginons retourner toutes les cartes même après la première coïncidence. Notons X le nombre total de coïncidences. Sa moyenne vaut :

E(X) = 40 · (1/10) = 4

Les espérances s’additionnent même sans indépendance. Une moyenne de quatre ne signifie pas quatre coïncidences à chaque partie : certaines n’en ont aucune, d’autres beaucoup. Gagner exige précisément X = 0. La moyenne éclaire la difficulté, mais ne détermine pas à elle seule P(X = 0).

5. Compter sans compter deux fois

Le calcul exact utilise l’inclusion-exclusion : retirer les ordres avec des coïncidences spécifiées, puis corriger les recoupements.

Un petit exemple explique les signes. Avec trois cartes distinctes 1, 2, 3 et les annonces 1, 2, 3, il existe 3! = 6 ordres. Chaque position coïncide dans deux ordres : on retire 3 · 2 = 6. Chaque paire de coïncidences a été retirée deux fois : on ajoute 3. Enfin, on retire l’ordre avec les trois coïncidences :

Ordres sans coïncidence = 6 − 6 + 3 − 1 = 2

Ce sont 231 et 312. Le principe reste identique avec quarante cartes, mais il faut gérer quatre cartes de chaque valeur. Le symbole n! signifie n · (n−1) · … · 1 ; par convention 0! = 1.

6. Une valeur : d’où viennent 1, 16, 72, 96, 24

Prenons le 7. Quatre cartes distinctes de valeur 7 correspondent à quatre positions où l’on annonce 7 : 7, 17, 27, 37. De combien de façons peut-on spécifier j coïncidences pour cette valeur ?

On choisit j cartes parmi quatre, j positions parmi quatre, puis on les associe de j! façons. Cela donne C(4,j)² · j!, où C(4,j) compte les choix de j objets parmi quatre.

Pour j = 2, six paires de cartes, six paires de positions et deux associations donnent 6 · 6 · 2 = 72. On impose certaines coïncidences sans exiger qu’elles soient les seules.

7. Combiner les dix valeurs

Utilisons x comme étiquette pour compter les coïncidences spécifiées :

Q(x) = 1 + 16x + 72x² + 96x³ + 24x⁴
Q(x)¹⁰ = r₀ + r₁x + r₂x² + … + r₄₀x⁴⁰

Le coefficient de x² est 72, car une valeur permet 72 façons d’en spécifier deux. Chaque valeur a les mêmes comptes et utilise des cartes et positions différentes : on combine les dix valeurs en multipliant dix exemplaires de Q.

Notons r_k le coefficient de x^k dans Q(x)¹⁰. Il compte les façons compatibles de spécifier k coïncidences au total. Par exemple :

r₀ = 1
r₁ = 10 · 16 = 160
r₂ = 10 · 72 + C(10,2) · 16²
   = 720 + 11520 = 12240

Deux coïncidences peuvent concerner la même valeur ou deux valeurs différentes, d’où les deux termes. On obtient tous les coefficients en multipliant successivement par Q dix fois ; la liste finale contient r₀, …, r₄₀.

8. Lire la formule exacte pas à pas

Les quarante cartes physiques sont distinctes malgré les valeurs répétées : il y a 40! ordres équiprobables. Après avoir fixé k coïncidences compatibles, les 40 − k cartes restantes se placent de (40 − k)! façons. Elles peuvent produire d’autres coïncidences : l’alternance des signes les corrige.

W = Σ(k=0,…,40) (−1)ᵏ rₖ (40−k)!
p = W / 40!

La somme comporte 41 termes, de k = 0 à k = 40. Le signe est positif pour k pair et négatif pour k impair. On calcule d’abord le nombre entier W d’ordres gagnants, puis on divise par 40!. Cela évite les pertes de précision dues à la soustraction de nombres décimaux presque égaux.

p = 0,0156215686393598…

Probabilité de gagner: 1,5621568639…%.
Probabilité de perdre: 98,4378431361…%.

C’est un calcul combinatoire pour quarante cartes, pas une simulation ni le résultat pour un jeu de 52 cartes.

9. Une victoire en 64 parties n’est pas une échéance

Avec des mélanges indépendants, chaque nouvelle partie a la même probabilité p de victoire. Le nombre moyen de parties jusqu’à la première victoire, partie gagnante comprise, est 1/p ≈ 64,014.

La probabilité de perdre n parties consécutives est (1 − p)ⁿ. Pour 50 parties, elle vaut environ 45,51 % ; pour 100, encore 20,71 %. On comprend qu’un joueur se souvienne de n’avoir jamais gagné.

Une victoire ne devient pas “due” après de nombreuses défaites. Un nouveau mélange uniforme repart des mêmes probabilités. Le calcul dépend des règles et du mélange : il ne s’applique pas automatiquement si les annonces changent selon les cartes déjà vues.

Référence mathématique: Doyle, Grinstead, Snell, Frustration solitaire. Calcul adapté ici à dix valeurs et quatre enseignes.