1. Le regole e la domanda giusta
Con un mazzo di 40 carte napoletane scopri una carta alla volta, dicendo 1, 2, …, 10 e ricominciando da 1: quattro giri in totale. Asso vale 1, fante 8, cavallo 9 e re 10. Perdi appena il valore della carta coincide con il numero pronunciato; vinci se arrivi alla quarantesima carta senza coincidenze.
Supponiamo che tutti gli ordini delle 40 carte siano equiprobabili. Il risultato è sorprendente: si vince con probabilità circa 1,56216% e si perde con probabilità circa 98,43784%. Dunque non si perde sempre: si perde quasi sempre. Vediamo come si arriva a questi numeri.
2. Una disposizione vincente esiste
Un controesempio basta a escludere che perdere sia inevitabile:
Dici: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Esce: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1Ripeti il secondo ordine quattro volte, una per ciascun seme. Hai usato tutte le carte senza nessuna coincidenza. Non è impossibile: è raro che una mescolata casuale dia una disposizione favorevole.
3. La prima stima: utile, ma non esatta
Prima di vedere il mazzo, ogni posizione ha quattro carte pericolose su quaranta. Perciò la probabilità di coincidenza in una posizione fissata è 4/40 = 1/10, e quella di evitarla è 9/10.
Se le quaranta prove fossero indipendenti, avremmo:
P(vittoria) = (9/10)⁴⁰ ≈ 0,01478088 = 1,47809%Questa è soltanto una stima: le carte non vengono rimesse nel mazzo. Se la prima è un 2, quando dici 2 rimangono tre 2 su 39 carte; se la prima è un 7, ne rimangono quattro su 39. In entrambi i casi hai superato la prima carta, ma il rischio successivo è diverso. Il prodotto corretto usa probabilità condizionate, non quaranta fattori tutti uguali a 9/10.
4. Perché è così difficile: quattro coincidenze in media
Immaginiamo di scoprire tutte le carte anche dopo la prima coincidenza. Chiamiamo X il numero totale di coincidenze. La sua media è:
E(X) = 40 · (1/10) = 4La somma delle medie vale anche senza indipendenza. Ma media 4 non significa quattro coincidenze in ogni partita: alcune ne hanno zero, altre molte. Per vincere serve proprio X = 0. La media spiega intuitivamente la difficoltà, ma da sola non calcola P(X = 0).
5. Contare senza contare due volte
Per il risultato esatto usiamo l’inclusione-esclusione: dal totale togliamo gli ordini con coincidenze specificate, poi correggiamo le sovrapposizioni.
Un esempio piccolo chiarisce i segni. Con sole tre carte distinte 1, 2, 3, pronunciamo 1, 2, 3. Gli ordini sono 3! = 6. Per ciascuna posizione ci sono 2 ordini con quella coincidenza: sottraiamo 3 · 2 = 6. Ogni coppia di coincidenze è stata sottratta due volte: aggiungiamo 3. Infine togliamo l’ordine con tutte e tre le coincidenze:
Ordini senza coincidenze = 6 − 6 + 3 − 1 = 2Sono 231 e 312. Con 40 carte il principio è identico, ma dobbiamo gestire quattro carte per valore. Il simbolo n! significa n · (n−1) · … · 1; per convenzione 0! = 1.
6. Un solo valore: da dove vengono 1, 16, 72, 96, 24
Consideriamo il 7. Ci sono quattro sette distinti e quattro posizioni nelle quali dici 7: 7, 17, 27, 37. Quanti modi abbiamo di specificare j coincidenze di questo valore?
Scegliamo j carte fra quattro, j posizioni fra quattro e abbiniamo le carte alle posizioni in j! modi. Il numero è C(4,j)² · j!, dove C(4,j) conta le scelte di j oggetti fra quattro.
| Coincidenze j | Scelte di carte | Scelte di posizioni | Abbinamenti j! | Totale |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 4 | 4 | 1 | 16 |
| 2 | 6 | 6 | 2 | 72 |
| 3 | 4 | 4 | 6 | 96 |
| 4 | 1 | 1 | 24 | 24 |
Per j = 2: sei coppie di carte, sei coppie di posizioni e due abbinamenti danno 6 · 6 · 2 = 72. Stiamo imponendo alcune coincidenze; non stiamo dicendo che siano le uniche presenti.
7. Mettere insieme i dieci valori
Usiamo x come semplice etichetta per contare quante coincidenze specifichiamo:
Q(x) = 1 + 16x + 72x² + 96x³ + 24x⁴
Q(x)¹⁰ = r₀ + r₁x + r₂x² + … + r₄₀x⁴⁰Il coefficiente di x² è 72 perché ci sono 72 modi di specificarne due per un valore. Ogni valore ha lo stesso conteggio e coinvolge carte e posizioni diverse: per combinarne dieci moltiplichiamo dieci copie di Q.
Chiamiamo rk il coefficiente di xk in Q(x)10. Conta tutti i modi compatibili di specificare k coincidenze. Per esempio:
r₀ = 1
r₁ = 10 · 16 = 160
r₂ = 10 · 72 + C(10,2) · 16²
= 720 + 11520 = 12240Due coincidenze possono appartenere allo stesso valore oppure a due valori diversi: ecco i due addendi. Per ottenere tutti i coefficienti basta moltiplicare successivamente per Q dieci volte; la tabella finale contiene r₀, …, r₄₀.
8. La formula esatta, letta pezzo per pezzo
Le 40 carte fisiche sono distinte anche se alcuni valori si ripetono: ci sono 40! ordini equiprobabili. Fissate k coincidenze compatibili, restano 40 − k carte libere, disponibili in (40 − k)! modi. Le altre carte possono produrre ulteriori coincidenze: le corregge l’alternanza dei segni.
W = Σ(k=0,…,40) (−1)ᵏ rₖ (40−k)!
p = W / 40!La somma ha 41 termini: k va da 0 a 40. Il segno è positivo per k pari e negativo per k dispari. Prima si calcola il numero intero W di ordini vincenti, poi si divide per 40!. Questo evita di sottrarre numeri decimali quasi uguali e perdere precisione.
p = 0,0156215686393598…Probabilità di vittoria: 1,5621568639…%.
Probabilità di sconfitta: 98,4378431361…%.
Questo valore è il risultato del calcolo combinatorio per 40 carte, non una simulazione e non il risultato del mazzo da 52 carte.
9. Una vittoria ogni 64 partite non è una scadenza
Con mescolate indipendenti la probabilità di vittoria resta p a ogni nuova partita. Il numero medio di partite fino alla prima vittoria, contando anche quella vincente, è 1/p ≈ 64,014.
La probabilità di perdere n partite consecutive è (1 − p)ⁿ. Per 50 partite è circa 45,51%; per 100 è ancora circa 20,71%. Ecco perché si può ricordare di non aver mai vinto.
Dopo molte sconfitte la vittoria non diventa “dovuta”. Una nuova mescolata uniforme riparte dalle stesse probabilità. Il ragionamento dipende dalle regole e dalla mescolata: non vale automaticamente se si cambia la sequenza pronunciata in base alle carte viste.
Riferimento matematico: Doyle, Grinstead, Snell, Frustration solitaire. Calcolo qui adattato a dieci valori e quattro semi.