Al ver 1, 2, 3, 5, respondemos espontáneamente 8. Es razonable, pero no se deduce inevitablemente de esos cuatro números. No buscamos una trampa, sino distinguir los datos de la regla elegida. A partir del documento proporcionado sobre 4, 7, 11, 15, 3, desarrollaremos una demostración y dos ejemplos con cuatro números.
- Los valores observados todavía no son una regla
- Lagrange: construir una fórmula que pase por los datos
- El ejemplo del documento: 4, 7, 11, 15, 3
- Elegir libremente el sexto término
- Cuatro números cualesquiera: a, b, c, d
- Corregir el quinto término
- Primer ejemplo: 2, 4, 6, 8 también puede continuar con 42
- Segundo ejemplo: 1, 2, 3, 5 según Fibonacci
- Los mismos datos con un polinomio: el quinto es 9
- La misma construcción con diferencias sucesivas
- Después de 1, 2, 3, 5 podemos poner N
- ¿Y si todos los términos deben ser enteros?
- La demostración general y el significado de unicidad
- Cómo leer un acertijo de sucesiones
1. Los valores observados todavía no son una regla
Una sucesión asigna un valor uₙ a cada posición n. Cuatro términos conocidos solo fijan cuatro asignaciones. En las fórmulas x indica la posición, no el valor escrito: para 1, 2, 3, 5 exigimos p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3 y p(4)=5.
Sin restricciones adicionales, cualquier número real puede ser el quinto. Exigir términos enteros limita la elección a enteros, pero no la hace única. Construiremos una fórmula capaz de producir el número elegido, en vez de enumerar excepciones.
2. Lagrange: construir una fórmula que pase por los datos
Dados m valores y₁, …, yₘ en las posiciones distintas 1, …, m, existe un único polinomio interpolador de grado como máximo m−1. Lagrange utiliza polinomios selectores:
p(x) = Σᵢ yᵢ Lᵢ(x) Lᵢ(x) = ∏ⱼ≠ᵢ (x − j)/(i − j)
Σ indica una suma y ∏ un producto. En Lᵢ, j recorre los índices de 1 a m salvo i. Si x=i, cada cociente vale 1; en otra posición conocida, algún factor del numerador vale cero. Por tanto, Lᵢ(i)=1 y Lᵢ(j)=0 para j≠i. Multiplicar por yᵢ y sumar reproduce los datos. La fórmula aparece en NIST DLMF, §3.3.
3. El ejemplo del documento: 4, 7, 11, 15, 3
Queremos p(1)=4, p(2)=7, p(3)=11, p(4)=15 y p(5)=3. Los denominadores son 24, −6, 4, −6, 24. Por ejemplo, el segundo es (2−1)(2−3)(2−4)(2−5)=−6:
A(x) = 4(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)/24 B(x) = −7(x−1)(x−3)(x−4)(x−5)/6 C(x) = 11(x−1)(x−2)(x−4)(x−5)/4 D(x) = −15(x−1)(x−2)(x−3)(x−5)/6 E(x) = 3(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)/24 p(x) = A(x) + B(x) + C(x) + D(x) + E(x)
En la primera posición A(1)=4; los demás términos contienen (x−1) y se anulan. El mismo razonamiento comprueba cada una de las otras posiciones.
Desarrollar los productos y reunir los coeficientes
P₁ = (x−2)(x−3)(x−4)(x−5) = x⁴−14x³+71x²−154x+120 P₂ = (x−1)(x−3)(x−4)(x−5) = x⁴−13x³+59x²−107x+60 P₃ = (x−1)(x−2)(x−4)(x−5) = x⁴−12x³+49x²−78x+40 P₄ = (x−1)(x−2)(x−3)(x−5) = x⁴−11x³+41x²−61x+30 P₅ = (x−1)(x−2)(x−3)(x−4) = x⁴−10x³+35x²−50x+24 24p(x) = 4P₁ − 28P₂ + 66P₃ − 60P₄ + 3P₅ x⁴: 4−28+66−60+3 = −15 x³: −56+364−792+660−30 = 146 x²: 284−1652+3234−2460+105 = −489 x: −616+2996−5148+3660−150 = 742 1: 480−1680+2640−1800+72 = −288
Con denominador común 24:
p(x) = (−15x⁴+146x³−489x²+742x−288)/24 p(6) = 4 − 35 + 110 − 150 + 15 = −56
−56 es el sexto término del polinomio de grado como máximo cuatro, no el sexto obligatorio de cualquier sucesión posible.
4. Elegir libremente el sexto término
Necesitamos una corrección que preserve los cinco valores. Q₅ se anula en las posiciones conocidas y vale 120 en la sexta. Llamemos N al sexto valor deseado:
Q₅(x) = (x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5) Q₅(1) = … = Q₅(5) = 0 Q₅(6) = 5·4·3·2·1 = 120 f_N(x) = p(x) + k Q₅(x) −56 + 120k = N k = (N+56)/120 f_N(x) = p(x) + (N+56)Q₅(x)/120
En las posiciones 1 a 5 la corrección es cero. En la sexta añade N+56 a −56 y produce N. Para obtener 100, tomamos k=156/120=13/10: f₁₀₀(6)=−56+156=100. Ahora el grado puede llegar a cinco: hemos ampliado la clase de reglas permitidas.
5. Cuatro números cualesquiera: a, b, c, d
Situamos los valores en las posiciones 1, 2, 3, 4. Los denominadores de Lagrange son −6, 2, −2, 6. El polinomio de grado como máximo tres es:
p₃(x) = −a(x−2)(x−3)(x−4)/6
+b(x−1)(x−3)(x−4)/2
−c(x−1)(x−2)(x−4)/2
+d(x−1)(x−2)(x−3)/6
p₃(5) = −a + 4b − 6c + 4dLos coeficientes −1, 4, −6, 4 se obtienen al evaluar los selectores en x=5: −(3·2·1)/6=−1; (4·2·1)/2=4; −(4·3·1)/2=−6; (4·3·2)/6=4. Esta fórmula da el quinto término bajo la hipótesis de un modelo polinómico cúbico.
6. Corregir el quinto término
Ahora hay cuatro posiciones que conservar, no cinco. Usamos cuatro factores y dividimos entre 24, no entre 120:
Q₄(x) = (x−1)(x−2)(x−3)(x−4) Q₄(1) = … = Q₄(4) = 0 Q₄(5) = 4·3·2·1 = 24 g_N(x) = p₃(x) + [N−p₃(5)]Q₄(x)/24 g_N(1)=a, g_N(2)=b, g_N(3)=c, g_N(4)=d g_N(5)=N
El polinomio inicial propone p₃(5). Añadimos exactamente la diferencia N−p₃(5), sin cambiar los primeros cuatro valores. Aquí N es el quinto término; en el documento era el sexto.
7. Primer ejemplo: 2, 4, 6, 8 también puede continuar con 42
La regla natural «sumar 2» conduce a 10. Sin embargo, la fórmula conserva los cuatro datos y permite obtener 42:
2, 4, 6, 8, ? p₃(x) = 2x p₃(5) = −2+4·4−6·6+4·8 = 10 g_N(x) = 2x + (N−10)Q₄(x)/24 N = 42 → g₄₂(x) = 2x + (4/3)Q₄(x) g₄₂(5) = 10 + (4/3)·24 = 42
En las posiciones 1 a 4, Q₄ vale cero: siguen apareciendo 2, 4, 6, 8. Esto no hace que 42 sea más razonable que 10; demuestra que los datos solos no obligan a elegir 10. Si el enunciado especifica una progresión aritmética, entonces sí es obligatorio.
8. Segundo ejemplo: 1, 2, 3, 5 según Fibonacci
Elegimos la regla «desde el tercer término, sumar los dos anteriores»:
u₁=1, u₂=2 uₙ = uₙ₋₁ + uₙ₋₂ (n ≥ 3) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Comprobamos 1+2=3 y 2+3=5. La misma regla exige 3+5=8 y después 5+8=13. Es la sucesión de Fibonacci que comienza con 1 y 2. 8 es correcto bajo esa regla, pero cuatro valores no la identifican de manera exclusiva.
9. Los mismos datos con un polinomio: el quinto es 9
Partimos de la función x, que ya devuelve 1, 2, 3 en las tres primeras posiciones. En la cuarta devuelve 4 en vez de 5: falta sumar 1. El producto (x−1)(x−2)(x−3) se anula en las tres primeras y vale 6 en la cuarta. Lo dividimos entre 6:
p₃(x) = x + (x−1)(x−2)(x−3)/6
= (x³−6x²+17x−6)/6
p₃(1)=1, p₃(2)=2, p₃(3)=3
p₃(4)=4+(3·2·1)/6=5
p₃(5)=5+(4·3·2)/6=9
p₃(6)=6+(5·4·3)/6=16Así construimos el polinomio cúbico sin desarrollar todos los términos de Lagrange. La fórmula general lo confirma: −1+4·2−6·3+4·5=9. No es un error en Fibonacci, sino una regla distinta, que continúa con 9 y 16 en lugar de 8 y 13.
10. La misma construcción con diferencias sucesivas
Restamos cada término del siguiente. Las primeras diferencias son 1, 1, 2; las segundas, 0, 1; la única tercera diferencia conocida es 1. Si suponemos terceras diferencias constantes, la siguiente segunda diferencia es 2, la primera es 4 y el quinto término es 5+4=9:
u: 1 2 3 5 9 16 Δu: 1 1 2 4 7 Δ²u: 0 1 2 3 Δ³u: 1 1 1
En el paso posterior, la segunda diferencia es 3, la primera 7 y el término 16. La constancia de las terceras diferencias corresponde al modelo cúbico; observar una sola tercera diferencia no demuestra que vayan a permanecer constantes.
11. Después de 1, 2, 3, 5 podemos poner N
El polinomio cúbico propone 9. Para sustituirlo por N sin modificar los anteriores:
g_N(x) = x + (x−1)(x−2)(x−3)/6
+(N−9)(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)/24
g_N(5) = 9+(N−9)·24/24 = N
g_N(6) = 16+(N−9)·120/24 = 5N−29| Quinto término N | Coeficiente (N−9)/24 | Sexto término de g_N |
|---|---|---|
| 8 | −1/24 | 11 |
| 9 | 0 | 16 |
| 100 | 91/24 | 471 |
Atención a la primera fila: N=8 produce 1, 2, 3, 5, 8, 11, no 13. Coincidir con Fibonacci en el quinto término no implica seguir su regla. La tabla corresponde a esta familia de polinomios, no a todas las sucesiones.
12. ¿Y si todos los términos deben ser enteros?
Los coeficientes fraccionarios no implican necesariamente valores fraccionarios en posiciones enteras. En nuestro ejemplo:
g_N(n) = n + C(n−1,3) + (N−9)C(n−1,4) C(r,k) = r!/[k!(r−k)!] (r ≥ k) C(r,k) = 0 (0 ≤ rC(r,k) es el coeficiente binomial: cuenta las formas de elegir k objetos entre r. Para n entero positivo, los dos coeficientes binomiales son enteros. Por eso, si N es entero, la fórmula genera enteros en todas las posiciones positivas. No garantiza que sean todos positivos, crecientes o acotados: esas son condiciones adicionales.
13. La demostración general y el significado de unicidad
Con m datos tomamos el polinomio p de grado como máximo m−1. El producto de los m factores se anula en las posiciones conocidas y vale m! en la siguiente; m!=1·2·…·m:
Qₘ(x) = ∏ⱼ₌₁ᵐ (x−j) Qₘ(m+1) = m! F_N(x) = p(x) + [N−p(m+1)]Qₘ(x)/m! H(x) = F_N(x) + λ∏ⱼ₌₁ᵐ⁺¹ (x−j)La primera fórmula impone cualquier N en la posición m+1. La segunda, para cualquier real λ, conserva también ese valor y cambia los posteriores: siguen existiendo infinitas reglas después de elegir N.
No contradice la unicidad de Lagrange. Si dos polinomios de grado como máximo m−1 coincidieran en m puntos, su diferencia tendría m raíces con grado como máximo m−1: debe ser nula. La unicidad vale dentro del límite de grado indicado. Las correcciones utilizan grados mayores. Exigir regularidad tampoco basta: todos estos polinomios son continuos y derivables.
14. Cómo leer un acertijo de sucesiones
Un juego suele pedir la regla sencilla imaginada por su autor. Es una actividad útil, pero «sencilla» depende del lenguaje y de las reglas consideradas. Para garantizar una respuesta matemática única, hay que precisar una recurrencia, una progresión o un límite de grado suficiente.
Comprueba: ¿1, 2, 3, 5, 8 obliga a seguir con 13?
No. Fibonacci exige 13, pero el polinomio g₈ da 11. Ambos reproducen los primeros cinco términos.
Comprueba: ¿qué sigue a a, b, c, d si el grado es como máximo tres?
−a+4b−6c+4d. Sin esa restricción, podemos elegir N y utilizar la corrección Q₄.
Conclusión: encontrar una regla compatible no demuestra que sea la única. Los datos dicen lo conocido; la regla añadida decide cómo continuar. Hacer explícita esa elección es parte del valor educativo de las sucesiones.