Quando leggiamo 1, 2, 3, 5, la risposta più spontanea è 8. È una risposta sensata, ma non è una conseguenza inevitabile dei quattro numeri. Il punto non è trovare un trucco per contraddire chi risponde: è distinguere i dati dalla regola scelta per interpretarli. Partendo dal documento «Il polinomio della successione 4 7 11 15 3», costruiamo una dimostrazione e poi sviluppiamo due esempi con quattro numeri.
- I numeri osservati non sono ancora una regola
- Lagrange: costruire una formula che attraversi i dati
- Il caso del documento: 4, 7, 11, 15, 3
- Come scegliere liberamente il sesto valore
- Quattro numeri qualsiasi: a, b, c, d
- La correzione per un quinto numero a scelta
- Primo esempio: anche 2, 4, 6, 8 può finire con 42
- Secondo esempio: 1, 2, 3, 5 secondo Fibonacci
- Gli stessi quattro numeri con un polinomio: il quinto è 9
- La stessa costruzione con le differenze successive
- Dopo 1, 2, 3, 5 possiamo mettere N
- E se vogliamo soltanto numeri interi?
- La dimostrazione generale e il significato dell’unicità
- Come leggere un quiz sulle sequenze
1. I numeri osservati non sono ancora una regola
Una successione associa a ogni posizione n un valore uₙ. Conoscere i primi quattro valori significa conoscere soltanto quattro associazioni. La lettera x nelle formule seguenti indica la posizione, non il numero scritto nella sequenza: per 1, 2, 3, 5 imponiamo p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3, p(4)=5.
Se non imponiamo altre condizioni, qualsiasi numero reale può essere il quinto. Se cerchiamo successioni di interi, il quinto dovrà essere intero, ma non diventa per questo unico. Dimostreremo qualcosa di più forte di una semplice lista di eccezioni: una formula capace di produrre il valore che scegliamo.
2. Lagrange: costruire una formula che attraversi i dati
Dati m valori y₁, …, yₘ alle posizioni distinte 1, …, m, esiste un unico polinomio di grado al massimo m−1 che li assume. La formula di interpolazione di Lagrange usa dei selettori:
p(x) = Σᵢ yᵢ Lᵢ(x) Lᵢ(x) = ∏ⱼ≠ᵢ (x − j)/(i − j)
Σ indica una somma; ∏ indica un prodotto. In Lᵢ moltiplichiamo su tutti gli indici j da 1 a m tranne i. Se x=i, ogni rapporto vale 1; se x è un’altra posizione nota, un fattore del numeratore vale 0. Quindi Lᵢ(i)=1 e Lᵢ(j)=0 per j≠i. Moltiplicando per yᵢ e sommando, otteniamo esattamente i dati. Il teorema e la formula sono riportati nel NIST DLMF, §3.3.
3. Il caso del documento: 4, 7, 11, 15, 3
Cerchiamo p(1)=4, p(2)=7, p(3)=11, p(4)=15, p(5)=3. I denominatori dei cinque selettori sono 24, −6, 4, −6, 24. Per esempio il secondo è (2−1)(2−3)(2−4)(2−5)=−6. I cinque contributi sono:
A(x) = 4(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)/24 B(x) = −7(x−1)(x−3)(x−4)(x−5)/6 C(x) = 11(x−1)(x−2)(x−4)(x−5)/4 D(x) = −15(x−1)(x−2)(x−3)(x−5)/6 E(x) = 3(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)/24 p(x) = A(x) + B(x) + C(x) + D(x) + E(x)
Controlliamo la prima posizione: A(1)=4 e gli altri termini contengono il fattore (x−1), perciò si annullano. Lo stesso ragionamento vale per ciascuna delle altre posizioni.
Apri gli sviluppi dei prodotti e la raccolta dei coefficienti
P₁ = (x−2)(x−3)(x−4)(x−5) = x⁴−14x³+71x²−154x+120 P₂ = (x−1)(x−3)(x−4)(x−5) = x⁴−13x³+59x²−107x+60 P₃ = (x−1)(x−2)(x−4)(x−5) = x⁴−12x³+49x²−78x+40 P₄ = (x−1)(x−2)(x−3)(x−5) = x⁴−11x³+41x²−61x+30 P₅ = (x−1)(x−2)(x−3)(x−4) = x⁴−10x³+35x²−50x+24 24p(x) = 4P₁ − 28P₂ + 66P₃ − 60P₄ + 3P₅ x⁴: 4−28+66−60+3 = −15 x³: −56+364−792+660−30 = 146 x²: 284−1652+3234−2460+105 = −489 x: −616+2996−5148+3660−150 = 742 1: 480−1680+2640−1800+72 = −288
Portando tutto al denominatore 24 troviamo:
p(x) = (−15x⁴+146x³−489x²+742x−288)/24 p(6) = 4 − 35 + 110 − 150 + 15 = −56
Dunque −56 è il sesto valore del polinomio di grado al massimo quattro. Non è ancora il sesto valore obbligatorio di ogni possibile successione.
4. Come scegliere liberamente il sesto valore
Serve una correzione che non tocchi i cinque dati già assegnati. Il prodotto Q₅ si annulla proprio nelle cinque posizioni note, mentre alla sesta vale 120. Indichiamo con N il sesto numero desiderato:
Q₅(x) = (x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5) Q₅(1) = … = Q₅(5) = 0 Q₅(6) = 5·4·3·2·1 = 120 f_N(x) = p(x) + k Q₅(x) −56 + 120k = N k = (N+56)/120 f_N(x) = p(x) + (N+56)Q₅(x)/120
Per x=1, …, 5 la correzione è zero. Per x=6 aggiunge N+56 al valore −56, ottenendo N. Se vogliamo 100, scegliamo k=156/120=13/10: f₁₀₀(6)=−56+156=100. Il grado può ora arrivare a cinque: abbiamo allargato la classe di regole ammesse.
5. Quattro numeri qualsiasi: a, b, c, d
Passiamo al caso richiesto con quattro valori alle posizioni 1, 2, 3, 4. I denominatori di Lagrange sono −6, 2, −2, 6. Il polinomio di grado al massimo tre è:
p₃(x) = −a(x−2)(x−3)(x−4)/6
+b(x−1)(x−3)(x−4)/2
−c(x−1)(x−2)(x−4)/2
+d(x−1)(x−2)(x−3)/6
p₃(5) = −a + 4b − 6c + 4dDa dove vengono i coefficienti −1, 4, −6, 4 dell’ultima riga? Sostituiamo x=5 nei quattro selettori: −(3·2·1)/6=−1; (4·2·1)/2=4; −(4·3·1)/2=−6; (4·3·2)/6=4. Questa è una formula rapida per il quinto valore nell’ipotesi polinomiale cubica.
6. La correzione per un quinto numero a scelta
Ora abbiamo quattro posizioni da preservare, non cinque. Per questo usiamo quattro fattori e dividiamo per 24, non per 120:
Q₄(x) = (x−1)(x−2)(x−3)(x−4) Q₄(1) = … = Q₄(4) = 0 Q₄(5) = 4·3·2·1 = 24 g_N(x) = p₃(x) + [N−p₃(5)]Q₄(x)/24 g_N(1)=a, g_N(2)=b, g_N(3)=c, g_N(4)=d g_N(5)=N
Il significato è semplice: il polinomio di partenza propone p₃(5); aggiungiamo esattamente la differenza N−p₃(5), senza cambiare i primi quattro valori. In questo caso N indica il quinto termine; nell’esempio del documento indicava il sesto.
7. Primo esempio: anche 2, 4, 6, 8 può finire con 42
La regola naturale «aggiungi 2» porta a 10. La formula precedente ci permette però di conservare i quattro dati e ottenere 42:
2, 4, 6, 8, ? p₃(x) = 2x p₃(5) = −2+4·4−6·6+4·8 = 10 g_N(x) = 2x + (N−10)Q₄(x)/24 N = 42 → g₄₂(x) = 2x + (4/3)Q₄(x) g₄₂(5) = 10 + (4/3)·24 = 42
Nelle posizioni da 1 a 4, Q₄ è zero: rimangono 2, 4, 6, 8. Non abbiamo dimostrato che 42 sia più ragionevole di 10; abbiamo dimostrato che 10 non è imposto dai soli dati. Se il problema dichiara «è una progressione aritmetica», allora 10 è invece obbligatorio.
8. Secondo esempio: 1, 2, 3, 5 secondo Fibonacci
Scegliamo la regola «ogni termine, dal terzo in poi, è la somma dei due precedenti»:
u₁=1, u₂=2 uₙ = uₙ₋₁ + uₙ₋₂ (n ≥ 3) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Le verifiche sono 1+2=3 e 2+3=5. La stessa regola impone 3+5=8 e poi 5+8=13. Questa è la successione di Fibonacci nella versione che parte da 1 e 2. La risposta 8 è corretta sotto questa regola, non perché quattro numeri possano descriverla in modo esclusivo.
9. Gli stessi quattro numeri con un polinomio: il quinto è 9
Partiamo dalla funzione x, che già restituisce 1, 2, 3 nelle prime tre posizioni. Alla quarta restituisce 4, mentre ci serve 5: dobbiamo aggiungere 1. Il prodotto (x−1)(x−2)(x−3) è zero nelle prime tre posizioni e vale 6 nella quarta. Dividiamolo per 6:
p₃(x) = x + (x−1)(x−2)(x−3)/6
= (x³−6x²+17x−6)/6
p₃(1)=1, p₃(2)=2, p₃(3)=3
p₃(4)=4+(3·2·1)/6=5
p₃(5)=5+(4·3·2)/6=9
p₃(6)=6+(5·4·3)/6=16Abbiamo costruito il polinomio cubico interpolante senza dover sviluppare tutti i termini di Lagrange. Anche la formula generale conferma il risultato: −1+4·2−6·3+4·5=9. Non è un errore di Fibonacci: è una regola diversa, che prosegue con 9 e 16 anziché 8 e 13.
10. La stessa costruzione con le differenze successive
Sottraiamo ogni termine dal successivo. Dai quattro dati otteniamo prime differenze 1, 1, 2, seconde differenze 0, 1 e una terza differenza uguale a 1. Se assumiamo che le terze differenze restino costanti, la prossima seconda differenza è 2, la prossima prima differenza è 4 e il quinto numero è 5+4=9:
u: 1 2 3 5 9 16 Δu: 1 1 2 4 7 Δ²u: 0 1 2 3 Δ³u: 1 1 1
La tabella mostra anche il passo seguente: seconda differenza 3, prima differenza 7, termine 16. La costanza delle terze differenze è la proprietà del modello cubico; con una sola terza differenza osservata non possiamo affermare che la costanza sia già dimostrata.
11. Dopo 1, 2, 3, 5 possiamo mettere N
Il polinomio cubico propone 9. Per sostituirlo con un numero N lasciando intatto tutto ciò che precede, applichiamo la correzione:
g_N(x) = x + (x−1)(x−2)(x−3)/6
+(N−9)(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)/24
g_N(5) = 9+(N−9)·24/24 = N
g_N(6) = 16+(N−9)·120/24 = 5N−29| Quinto termine N | Coefficiente (N−9)/24 | Sesto termine di g_N |
|---|---|---|
| 8 | −1/24 | 11 |
| 9 | 0 | 16 |
| 100 | 91/24 | 471 |
Attenzione alla prima riga: scegliendo N=8 otteniamo 1, 2, 3, 5, 8, 11, non 13. Avere lo stesso quinto termine di Fibonacci non significa avere la stessa regola. La tabella riguarda questa famiglia di polinomi, non tutte le successioni possibili.
12. E se vogliamo soltanto numeri interi?
I coefficienti frazionari possono trarre in inganno: non obbligano i valori alle posizioni intere a essere frazionari. Per l’esempio 1, 2, 3, 5 riscriviamo:
g_N(n) = n + C(n−1,3) + (N−9)C(n−1,4) C(r,k) = r!/[k!(r−k)!] (r ≥ k) C(r,k) = 0 (0 ≤ rC(r,k) è il coefficiente binomiale, cioè il numero di modi di scegliere k oggetti fra r. Per n intero positivo i due coefficienti binomiali sono interi. Quindi, se N è intero, questa formula genera interi in tutte le posizioni positive. Non promette invece che siano tutti positivi, crescenti o limitati: queste sarebbero ulteriori condizioni da studiare.
13. La dimostrazione generale e il significato dell’unicità
Con m dati prendiamo il polinomio p di grado al massimo m−1. Il prodotto delle m differenze vale zero nei punti noti e m! nella posizione seguente; m! significa 1·2·…·m. Otteniamo:
Qₘ(x) = ∏ⱼ₌₁ᵐ (x−j) Qₘ(m+1) = m! F_N(x) = p(x) + [N−p(m+1)]Qₘ(x)/m! H(x) = F_N(x) + λ∏ⱼ₌₁ᵐ⁺¹ (x−j)La prima formula impone qualsiasi valore N alla posizione m+1. La seconda, con un qualsiasi numero reale λ, conserva anche quel valore e modifica i successivi: restano infinite regole persino dopo aver scelto N.
Non c’è contraddizione con l’unicità di Lagrange. Se due polinomi di grado al massimo m−1 coincidessero negli m punti, la loro differenza avrebbe m radici pur avendo grado al massimo m−1: deve essere il polinomio nullo. L’unicità vale entro il limite di grado dichiarato. Le correzioni usano gradi superiori. Neppure chiedere una funzione regolare basta: tutti questi polinomi sono continui e derivabili.
14. Come leggere un quiz sulle sequenze
In un gioco spesso si cerca la regola semplice immaginata dall’autore. È un’attività utile di riconoscimento, ma «semplice» dipende dal linguaggio e dalla classe di regole considerate. Per una risposta matematica unica, la consegna deve specificare una ricorrenza, una progressione o un limite di grado sufficiente.
Verifica: 1, 2, 3, 5, 8 obbliga a continuare con 13?
No. La ricorrenza di Fibonacci impone 13; il polinomio g₈ costruito sopra restituisce 11. Entrambi riproducono i cinque valori iniziali.
Verifica: qual è il quinto di a, b, c, d se il grado è al massimo tre?
È −a+4b−6c+4d. Senza quel vincolo, possiamo scegliere N e usare la correzione Q₄.
Conclusione: trovare una regola compatibile non equivale a dimostrare che sia l’unica. I dati dicono ciò che è già accaduto; la regola aggiunta decide come proseguire. Il valore educativo delle sequenze sta anche nel rendere esplicita questa scelta.