Devant 1, 2, 3, 5, nous répondons spontanément 8. Cette réponse est raisonnable, mais elle ne découle pas inévitablement des quatre nombres. Il ne s’agit pas de piéger le lecteur : il s’agit de distinguer les données de la règle choisie. À partir du document fourni sur la suite 4, 7, 11, 15, 3, construisons une démonstration et deux exemples à quatre nombres.
- Les valeurs observées ne constituent pas encore une règle
- Lagrange : construire une formule passant par les données
- L’exemple du document : 4, 7, 11, 15, 3
- Choisir librement le sixième terme
- Quatre nombres quelconques : a, b, c, d
- Corriger le cinquième terme
- Premier exemple : 2, 4, 6, 8 peut aussi continuer par 42
- Deuxième exemple : 1, 2, 3, 5 selon Fibonacci
- Les mêmes données avec un polynôme : le cinquième vaut 9
- La même construction par différences successives
- Après 1, 2, 3, 5, nous pouvons placer N
- Et si tous les termes doivent être entiers ?
- La preuve générale et le sens de l’unicité
- Comment lire une énigme sur les suites
1. Les valeurs observées ne constituent pas encore une règle
Une suite associe une valeur uₙ à chaque rang n. Quatre termes connus ne fixent que quatre associations. Dans les formules, x désigne le rang, pas la valeur écrite : pour 1, 2, 3, 5, nous imposons p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3 et p(4)=5.
Sans autre contrainte, tout réel peut être le cinquième terme. Exiger des entiers limite le choix aux entiers, mais ne le rend pas unique. Nous allons construire une formule qui produit le nombre choisi, plutôt que donner quelques exceptions.
2. Lagrange : construire une formule passant par les données
Pour m valeurs y₁, …, yₘ aux rangs distincts 1, …, m, il existe un unique polynôme interpolateur de degré au plus m−1. Lagrange utilise des polynômes sélecteurs :
p(x) = Σᵢ yᵢ Lᵢ(x) Lᵢ(x) = ∏ⱼ≠ᵢ (x − j)/(i − j)
Σ désigne une somme et ∏ un produit. Dans Lᵢ, j parcourt les indices de 1 à m sauf i. Pour x=i, chaque rapport vaut 1 ; à un autre rang connu, un facteur du numérateur est nul. Ainsi Lᵢ(i)=1 et Lᵢ(j)=0 pour j≠i. Multiplier par yᵢ puis additionner restitue les données. La formule figure dans le NIST DLMF, §3.3.
3. L’exemple du document : 4, 7, 11, 15, 3
Nous voulons p(1)=4, p(2)=7, p(3)=11, p(4)=15 et p(5)=3. Les dénominateurs sont 24, −6, 4, −6, 24. Par exemple, le deuxième vaut (2−1)(2−3)(2−4)(2−5)=−6 :
A(x) = 4(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)/24 B(x) = −7(x−1)(x−3)(x−4)(x−5)/6 C(x) = 11(x−1)(x−2)(x−4)(x−5)/4 D(x) = −15(x−1)(x−2)(x−3)(x−5)/6 E(x) = 3(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)/24 p(x) = A(x) + B(x) + C(x) + D(x) + E(x)
Au premier rang, A(1)=4 ; les autres termes contiennent (x−1) et s’annulent. Le même raisonnement vérifie chacun des autres rangs.
Développer les produits et regrouper les coefficients
P₁ = (x−2)(x−3)(x−4)(x−5) = x⁴−14x³+71x²−154x+120 P₂ = (x−1)(x−3)(x−4)(x−5) = x⁴−13x³+59x²−107x+60 P₃ = (x−1)(x−2)(x−4)(x−5) = x⁴−12x³+49x²−78x+40 P₄ = (x−1)(x−2)(x−3)(x−5) = x⁴−11x³+41x²−61x+30 P₅ = (x−1)(x−2)(x−3)(x−4) = x⁴−10x³+35x²−50x+24 24p(x) = 4P₁ − 28P₂ + 66P₃ − 60P₄ + 3P₅ x⁴: 4−28+66−60+3 = −15 x³: −56+364−792+660−30 = 146 x²: 284−1652+3234−2460+105 = −489 x: −616+2996−5148+3660−150 = 742 1: 480−1680+2640−1800+72 = −288
Avec le dénominateur commun 24 :
p(x) = (−15x⁴+146x³−489x²+742x−288)/24 p(6) = 4 − 35 + 110 − 150 + 15 = −56
−56 est donc le sixième terme du polynôme de degré au plus quatre, pas celui de toute suite imaginable.
4. Choisir librement le sixième terme
Nous cherchons une correction qui préserve les cinq valeurs. Q₅ s’annule aux rangs connus et vaut 120 au sixième. Notons N la valeur souhaitée :
Q₅(x) = (x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5) Q₅(1) = … = Q₅(5) = 0 Q₅(6) = 5·4·3·2·1 = 120 f_N(x) = p(x) + k Q₅(x) −56 + 120k = N k = (N+56)/120 f_N(x) = p(x) + (N+56)Q₅(x)/120
Aux rangs 1 à 5, la correction est nulle. Au rang 6, elle ajoute N+56 à −56 et donne N. Pour obtenir 100, prenons k=156/120=13/10 : f₁₀₀(6)=−56+156=100. Le degré peut désormais atteindre cinq : nous avons élargi la classe de règles autorisées.
5. Quatre nombres quelconques : a, b, c, d
Plaçons ces valeurs aux rangs 1, 2, 3, 4. Les dénominateurs de Lagrange sont −6, 2, −2, 6. Le polynôme de degré au plus trois est :
p₃(x) = −a(x−2)(x−3)(x−4)/6
+b(x−1)(x−3)(x−4)/2
−c(x−1)(x−2)(x−4)/2
+d(x−1)(x−2)(x−3)/6
p₃(5) = −a + 4b − 6c + 4dLes coefficients −1, 4, −6, 4 viennent des sélecteurs évalués en x=5 : −(3·2·1)/6=−1 ; (4·2·1)/2=4 ; −(4·3·1)/2=−6 ; (4·3·2)/6=4. Cette formule donne le cinquième terme sous l’hypothèse d’un modèle polynomial cubique.
6. Corriger le cinquième terme
Il faut maintenant préserver quatre rangs, et non cinq. Nous utilisons quatre facteurs et divisons par 24, pas par 120 :
Q₄(x) = (x−1)(x−2)(x−3)(x−4) Q₄(1) = … = Q₄(4) = 0 Q₄(5) = 4·3·2·1 = 24 g_N(x) = p₃(x) + [N−p₃(5)]Q₄(x)/24 g_N(1)=a, g_N(2)=b, g_N(3)=c, g_N(4)=d g_N(5)=N
Le polynôme initial propose p₃(5). Nous ajoutons exactement la différence N−p₃(5), sans toucher aux quatre premières valeurs. Ici, N désigne le cinquième terme ; dans le document, il désignait le sixième.
7. Premier exemple : 2, 4, 6, 8 peut aussi continuer par 42
La règle naturelle « ajouter 2 » donne 10. Pourtant, la formule conserve les quatre données et permet d’obtenir 42 :
2, 4, 6, 8, ? p₃(x) = 2x p₃(5) = −2+4·4−6·6+4·8 = 10 g_N(x) = 2x + (N−10)Q₄(x)/24 N = 42 → g₄₂(x) = 2x + (4/3)Q₄(x) g₄₂(5) = 10 + (4/3)·24 = 42
Aux rangs 1 à 4, Q₄ est nul : nous gardons 2, 4, 6, 8. Cela ne rend pas 42 plus plausible que 10 : cela prouve que les données seules n’imposent pas 10. Si l’énoncé précise qu’il s’agit d’une suite arithmétique, 10 devient en revanche obligatoire.
8. Deuxième exemple : 1, 2, 3, 5 selon Fibonacci
Choisissons la règle « à partir du troisième terme, additionner les deux précédents » :
u₁=1, u₂=2 uₙ = uₙ₋₁ + uₙ₋₂ (n ≥ 3) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Nous vérifions 1+2=3 et 2+3=5. La même règle impose 3+5=8, puis 5+8=13. C’est la suite de Fibonacci commençant par 1 et 2. 8 est correct sous cette règle, mais quatre valeurs ne suffisent pas à la désigner exclusivement.
9. Les mêmes données avec un polynôme : le cinquième vaut 9
Partons de la fonction x, qui donne déjà 1, 2, 3 aux trois premiers rangs. Au quatrième, elle donne 4 au lieu de 5 : il faut ajouter 1. Le produit (x−1)(x−2)(x−3) est nul aux trois premiers rangs et vaut 6 au quatrième. Divisons-le par 6 :
p₃(x) = x + (x−1)(x−2)(x−3)/6
= (x³−6x²+17x−6)/6
p₃(1)=1, p₃(2)=2, p₃(3)=3
p₃(4)=4+(3·2·1)/6=5
p₃(5)=5+(4·3·2)/6=9
p₃(6)=6+(5·4·3)/6=16Nous obtenons le polynôme cubique sans développer tous les termes de Lagrange. La formule générale confirme : −1+4·2−6·3+4·5=9. Ce n’est pas une erreur dans Fibonacci, mais une autre règle, qui continue par 9 et 16 au lieu de 8 et 13.
10. La même construction par différences successives
Soustrayons chaque terme du suivant. Les différences premières sont 1, 1, 2 ; les secondes, 0, 1 ; la seule différence troisième connue vaut 1. Si nous supposons les différences troisièmes constantes, la différence seconde suivante vaut 2, la première vaut 4 et le cinquième terme vaut 5+4=9 :
u: 1 2 3 5 9 16 Δu: 1 1 2 4 7 Δ²u: 0 1 2 3 Δ³u: 1 1 1
À l’étape suivante, la différence seconde vaut 3, la première 7, et le terme 16. La constance des différences troisièmes caractérise le modèle cubique ; une seule différence observée ne démontre pas cette constance.
11. Après 1, 2, 3, 5, nous pouvons placer N
Le polynôme cubique propose 9. Pour le remplacer par N sans modifier les termes précédents :
g_N(x) = x + (x−1)(x−2)(x−3)/6
+(N−9)(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)/24
g_N(5) = 9+(N−9)·24/24 = N
g_N(6) = 16+(N−9)·120/24 = 5N−29| Cinquième terme N | Coefficient (N−9)/24 | Sixième terme de g_N |
|---|---|---|
| 8 | −1/24 | 11 |
| 9 | 0 | 16 |
| 100 | 91/24 | 471 |
Attention à la première ligne : N=8 produit 1, 2, 3, 5, 8, 11, et non 13. Coïncider avec Fibonacci au cinquième rang ne signifie pas suivre sa règle. Le tableau décrit cette famille de polynômes, pas toutes les suites possibles.
12. Et si tous les termes doivent être entiers ?
Des coefficients fractionnaires n’impliquent pas nécessairement des valeurs fractionnaires aux rangs entiers. Dans notre exemple :
g_N(n) = n + C(n−1,3) + (N−9)C(n−1,4) C(r,k) = r!/[k!(r−k)!] (r ≥ k) C(r,k) = 0 (0 ≤ rC(r,k) est le coefficient binomial, le nombre de façons de choisir k objets parmi r. Pour n entier positif, ces coefficients sont entiers. Ainsi, si N est entier, la formule produit des entiers à tous les rangs positifs. Elle ne garantit pas qu’ils soient tous positifs, croissants ou bornés : ce sont d’autres contraintes.
13. La preuve générale et le sens de l’unicité
Pour m données, prenons le polynôme p de degré au plus m−1. Le produit des m facteurs est nul aux rangs connus et vaut m! au suivant, avec m!=1·2·…·m :
Qₘ(x) = ∏ⱼ₌₁ᵐ (x−j) Qₘ(m+1) = m! F_N(x) = p(x) + [N−p(m+1)]Qₘ(x)/m! H(x) = F_N(x) + λ∏ⱼ₌₁ᵐ⁺¹ (x−j)La première formule impose n’importe quel N au rang m+1. La seconde, pour tout réel λ, préserve aussi ce terme tout en changeant les suivants : il reste une infinité de règles après le choix de N.
Aucune contradiction avec Lagrange : deux polynômes de degré au plus m−1 coïncidant en m points auraient une différence avec m racines, donc une différence nulle. L’unicité vaut dans la limite de degré annoncée. Les corrections utilisent des degrés supérieurs. La régularité ne suffit pas non plus : tous ces polynômes sont continus et dérivables.
14. Comment lire une énigme sur les suites
Une énigme demande souvent la règle simple imaginée par son auteur. Cet exercice est utile, mais « simple » dépend du langage et des règles envisagées. Pour garantir une réponse mathématique unique, il faut préciser une récurrence, une progression ou une borne de degré suffisante.
Vérification : 1, 2, 3, 5, 8 impose-t-il ensuite 13 ?
Non. Fibonacci impose 13, mais le polynôme g₈ donne 11. Les deux reproduisent les cinq premiers termes.
Vérification : que vient-il après a, b, c, d si le degré est au plus trois ?
−a+4b−6c+4d. Sans cette contrainte, nous pouvons choisir N et utiliser la correction Q₄.
Conclusion : trouver une règle compatible ne prouve pas qu’elle soit unique. Les données disent ce qui est connu ; la règle ajoutée décide du prolongement. Rendre ce choix explicite fait partie de l’intérêt pédagogique des suites.