Variaciones porcentuales sucesivas

Fecha del texto original: 25 de octubre de 2009.

En general, la variación final después de una sucesión de aumentos, representados por valores positivos, o disminuciones, representadas por valores negativos, es el producto de los factores multiplicativos correspondientes, menos 1:

[(100 + a) / 100] · [(100 + b) / 100] · … − 1

El caso de dos variaciones

Formalizamos el caso de dos variaciones porcentuales, a y b. La variación conjunta, expresada primero como número decimal, es:

[(100 + a) / 100] · [(100 + b) / 100] − 1

= [(100 + a)(100 + b) − 10000] / 10000

= [10000 + 100b + 100a + ab − 10000] / 10000

= (100b + 100a + ab) / 10000

Multiplicamos por 100 para expresar el resultado como porcentaje:

Variación final = [(100b + 100a + ab) / 100] %
                = [a + b + (ab / 100)] %

Así hemos obtenido la fórmula para resolver una doble variación porcentual.

Ejemplo: aumento del 10 % y después del 4 %

Si un precio aumenta un 10 % y posteriormente un 4 %, ponemos a = 10 y b = 4:

[(100 · 10 + 100 · 4 + 10 · 4) / 100] %
= (1000 + 400 + 40) / 100 %
= 14,4 %

La variación conjunta es, por tanto, un aumento del 14,4 %, no solo del 14 %: el segundo aumento se aplica también al aumento ya producido por el primero.

Caso particular: variaciones iguales y opuestas

Un caso interesante se produce cuando las dos variaciones son opuestas, es decir, cuando b = −a. Por ejemplo, un precio sube un 10 % y después baja un 10 %. Al sustituir b = −a en la fórmula obtenemos:

[(100(−a) + 100a + a(−a)) / 100] %
= [−a² / 100] %

Si a una variación le sigue otra igual y contraria, la variación final siempre es negativa cuando a ≠ 0.

Por ejemplo, si un precio sube un 30 % y luego disminuye un 30 %, la variación final es:

[−a² / 100] % = [−30² / 100] % = −9%

El valor final resulta, por tanto, un 9 % inferior al valor inicial.

Preparado por Salvatore Mosaico.