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En général, la variation finale après une succession de hausses, représentées par des valeurs positives, ou de baisses, représentées par des valeurs négatives, est égale au produit des coefficients multiplicateurs correspondants, moins 1 :
[(100 + a) / 100] · [(100 + b) / 100] · … − 1Le cas de deux variations
Formalisons le cas de deux variations en pourcentage, a et b. La variation totale, d’abord exprimée sous forme décimale, est :
[(100 + a) / 100] · [(100 + b) / 100] − 1
= [(100 + a)(100 + b) − 10000] / 10000
= [10000 + 100b + 100a + ab − 10000] / 10000
= (100b + 100a + ab) / 10000Multiplions par 100 pour exprimer le résultat en pourcentage :
Variation finale = [(100b + 100a + ab) / 100] %
= [a + b + (ab / 100)] %Nous avons ainsi obtenu la formule qui permet de calculer une double variation en pourcentage.
Exemple : une hausse de 10 %, puis de 4 %
Si un prix augmente de 10 %, puis de 4 %, posons a = 10 et b = 4 :
[(100 · 10 + 100 · 4 + 10 · 4) / 100] %
= (1000 + 400 + 40) / 100 %
= 14,4 %La variation totale est donc une hausse de 14,4 %, et non de seulement 14 % : la seconde hausse s’applique aussi à l’augmentation déjà produite par la première.
Cas particulier : variations égales et opposées
Un cas particulièrement intéressant apparaît lorsque les deux variations sont opposées, c’est-à-dire lorsque b = −a. Par exemple, un prix augmente de 10 %, puis baisse de 10 %. En remplaçant b par −a dans la formule, on obtient :
[(100(−a) + 100a + a(−a)) / 100] %
= [−a² / 100] %Si une variation est suivie d’une autre variation égale et contraire, la variation finale est toujours négative dès que a ≠ 0.
Par exemple, si un prix augmente de 30 %, puis diminue de 30 %, la variation finale est :
[−a² / 100] % = [−30² / 100] % = −9%La valeur finale est donc inférieure de 9 % à la valeur initiale.
Préparé par Salvatore Mosaico.