Doppia variazione percentuale

Data del testo originale: 25 ottobre 2009.

In generale, la variazione finale dopo una successione di aumenti, indicati da valori positivi, o diminuzioni, indicate da valori negativi, è data dal prodotto dei rispettivi fattori moltiplicativi, meno 1:

[(100 + a) / 100] · [(100 + b) / 100] · … − 1

Il caso di due variazioni

Formalizziamo il caso di due variazioni percentuali a e b. La variazione complessiva, espressa inizialmente come numero decimale, è:

[(100 + a) / 100] · [(100 + b) / 100] − 1

= [(100 + a)(100 + b) − 10000] / 10000

= [10000 + 100b + 100a + ab − 10000] / 10000

= (100b + 100a + ab) / 10000

Moltiplichiamo per 100 per trasformare il risultato in percentuale:

Variazione finale = [(100b + 100a + ab) / 100] %
                  = [a + b + (ab / 100)] %

Abbiamo così ottenuto la formula risolutiva della doppia variazione percentuale.

Esempio: aumento del 10% e poi del 4%

Se un prezzo aumenta del 10% e successivamente del 4%, poniamo a = 10 e b = 4:

[(100 · 10 + 100 · 4 + 10 · 4) / 100] %
= (1000 + 400 + 40) / 100 %
= 14,4%

La variazione complessiva è quindi un aumento del 14,4%, non del solo 14%: il secondo aumento si applica anche all’aumento già prodotto dal primo.

Caso particolare: variazioni uguali e opposte

Un caso interessante si ha quando le due variazioni sono opposte, cioè b = −a. Per esempio, un prezzo sale del 10% e poi scende del 10%. Sostituendo b = −a nella formula si ottiene:

[(100(−a) + 100a + a(−a)) / 100] %
= [−a² / 100] %

Se a una variazione ne segue un’altra uguale e contraria, la variazione finale è sempre negativa per ogni a ≠ 0.

Per esempio, se un prezzo sale del 30% e poi diminuisce del 30%, la variazione finale è:

[−a² / 100] % = [−30² / 100] % = −9%

Il valore finale risulta dunque inferiore del 9% rispetto a quello iniziale.

A cura di Salvatore Mosaico.