Teoría de números · laboratorio
Del reloj a las congruencias, de los ciclos de potencias al teorema chino del resto.
Un reloj de 12 horas no se detiene en 12: cinco horas después de las 10 marca las 3. Este laboratorio parte de esa idea para estudiar restos, divisibilidad y problemas cada vez más interesantes. Abre «¿Por qué funciona?» en cada etapa y después prueba las herramientas.
Etapa 1 / 15
Después de una vuelta completa regresamos al mismo punto. Solo importa lo que avanza más allá de las vueltas enteras.
10+5=15 ≡ 3 (mod 12)
Ejemplo: 17, 29 y 41 dejan resto 5 al dividirlos entre 12.
Las diferencias entre estos números son múltiplos de 12: cambian las vueltas, no la posición.
Etapa 2 / 15
Dos enteros son congruentes cuando pertenecen a la misma clase de restos.
a ≡ b (mod n) ⇔ n divide a−b
Ejemplo: 23 ≡ 3 (mod 10), porque 23−3=20.
Si a−b=kn, a y b difieren en k vueltas completas de tamaño n.
Etapa 3 / 15
Usa la división euclídea y elige siempre un resto no negativo.
a=nq+r, 0≤r<n
Ejemplo: −17=5×(−4)+3; por tanto −17 mod 5=3.
El cociente puede ser negativo; la condición 0≤r<n hace único el resto. Módulo 1 siempre vale 0.
Etapa 4 / 15
Podemos reducir cada término antes de sumar o restar.
a≡b, c≡d ⇒ a±c≡b±d (mod n)
Ejemplo: 17+29 ≡ 5+5 ≡ 10 (mod 12).
La suma o diferencia de múltiplos de n sigue siendo múltiplo de n.
Etapa 5 / 15
La multiplicación también conserva las congruencias.
a≡b, c≡d ⇒ ac≡bd (mod n)
Ejemplo: 123×456 mod 7 = 4×1 mod 7 = 4.
Si a=b+kn y c=d+hn, la diferencia ac−bd contiene a n como factor.
Etapa 6 / 15
Las potencias recorren un número finito de restos, así que alguno acaba repitiéndose.
7¹,7²,7³,7⁴ ≡ 7,9,3,1 (mod 10)
Ejemplo: 2026 mod 4=2: la última cifra de 7^2026 es 9.
Cuando un estado se repite, multiplicar por la misma base reproduce el recorrido. Algunos ciclos tienen un preperíodo.
Etapa 7 / 15
La última cifra decimal es simplemente el resto módulo 10.
última cifra de a^b = a^b mod 10
Ejemplo: 3^25: ciclo 3,9,7,1; 25 mod 4=1, así que la cifra es 3.
Dos enteros tienen la misma última cifra exactamente cuando son congruentes módulo 10.
Etapa 8 / 15
Usa módulo 100 para las dos últimas cifras y escribe siempre dos caracteres.
dos últimas cifras de a^b = a^b mod 100
Ejemplo: 3^100 mod 100=1: las dos últimas cifras son 01.
Los cuadrados sucesivos evitan construir una potencia enorme.
Etapa 9 / 15
Cada posición decimal es una potencia de 10: sustituye 10 por su resto.
10≡1 (mod 9); 10≡−1 (mod 11)
Ejemplo: En 5724 la suma de cifras es 18: es divisible entre 9. Para 11, 2728 da 2−7+2−8=−11: es divisible entre 11.
Módulo 9 todas las potencias de 10 valen 1; módulo 11 alternan entre 1 y −1.
Etapa 10 / 15
Las horas giran módulo 12 o 24; los días de la semana, módulo 7.
22+17≡15 (mod 24); 100≡2 (mod 7)
Ejemplo: Cien días después del lunes será miércoles.
Cada ciclo completo devuelve el indicador a su posición inicial.
Etapa 11 / 15
La ecuación ax≡b (mod n) puede tener ninguna, una o varias soluciones.
d=MCD(a,n); hay soluciones ⇔ d divide b
Ejemplo: 6x≡4 (mod 8): d=2 y las soluciones son 2 y 6.
Divide entre d para obtener una solución módulo n/d; esta produce d clases módulo n.
Etapa 12 / 15
El inverso de a es un número cuyo producto con a deja resto 1.
a⁻¹ existe (mod n) ⇔ MCD(a,n)=1, n>1
Ejemplo: 7×3=21≡1 (mod 10); por tanto 7⁻¹≡3.
La identidad de Bézout expresa 1 como combinación de a y n exactamente cuando su MCD es 1.
Etapa 13 / 15
Busca un entero que cumpla varias condiciones sobre restos al mismo tiempo.
x≡2 (mod 3); x≡3 (mod 5)
Ejemplo: La menor solución positiva es x=8.
De la primera condición x=2+3t; al sustituir en la segunda obtenemos t≡2 (mod 5).
Etapa 14 / 15
Si los módulos son coprimos dos a dos, existe una clase solución módulo su producto.
x≡2 (mod 3), x≡3 (mod 5), x≡2 (mod 7) ⇒ x≡23 (mod 105)
Ejemplo: 23 deja restos 2, 3 y 2 al dividirlo entre 3, 5 y 7 respectivamente.
Cada nueva congruencia fija el parámetro de la solución anterior; la coprimalidad garantiza que la elección existe y es única.
Etapa 15 / 15
Los restos permiten hallar cifras finales, descartar cuadrados imposibles y resolver sistemas.
7^(7^7) mod 10: primero reduce el exponente módulo 4
Ejemplo: 7^7≡3 (mod 4), por eso la última cifra de 7^(7^7) es 3.
Una pregunta enorme se divide en módulos pequeños y anidados. Practica con los 25 desafíos siguientes.
Introduce números enteros. El módulo debe ser positivo; el módulo 1 sirve para calcular restos, pero no tiene inversos modulares.
Compara todos los cuadrados o cubos módulo n (hasta 60) y observa los residuos distintos.
Responde antes de abrir la pista o la solución. Los intentos y problemas resueltos quedan solo en este navegador, incluso al cambiar de idioma.
1 / 25 · Fácil
Calcula 37 mod 5.
¿Cuántas veces cabe 5 en 37?
2 / 25 · Fácil
¿Es cierto que 47≡5 (mod 7)? Responde sí o no.
Resta 5 a 47.
3 / 25 · Fácil
Son las 9. ¿Qué hora será dentro de 17 horas en un reloj de 12 horas?
Suma y descarta vueltas completas de 12.
4 / 25 · Fácil
Hoy es lunes. ¿Qué día será dentro de 100 días?
Reduce 100 módulo 7.
5 / 25 · Fácil
¿Cuál es la última cifra de 3^25?
El ciclo módulo 10 es 3,9,7,1.
6 / 25 · Fácil
¿Cuál es la última cifra de 7^2026?
El ciclo es 7,9,3,1.
7 / 25 · Fácil
¿Es 123456789 divisible entre 9? Responde sí o no.
Suma las cifras.
8 / 25 · Medio
¿Es 2728 divisible entre 11? Responde sí o no.
Alterna los signos de las cifras.
9 / 25 · Medio
Calcula (1234567+9876543) mod 9.
Reduce por separado los dos sumandos.
10 / 25 · Medio
Calcula 123×456 mod 7.
Reduce los factores antes de multiplicarlos.
11 / 25 · Medio
Calcula 2^100 mod 7.
El ciclo es 2,4,1.
12 / 25 · Medio
Calcula 5^2025 mod 13.
Calcula las cuatro primeras potencias de 5 módulo 13.
13 / 25 · Medio
Resuelve 3x≡1 (mod 7): indica x módulo 7.
Busca qué número multiplicado por 3 deja resto 1.
14 / 25 · Medio
Resuelve 7x≡3 (mod 10): indica x módulo 10.
El inverso de 7 módulo 10 es 3.
15 / 25 · Difícil
Resuelve 6x≡5 (mod 8). Escribe «ninguna» si no hay soluciones.
Calcula MCD(6,8).
16 / 25 · Difícil
Resuelve 6x≡4 (mod 8). Separa las dos soluciones con una coma.
Divide entre MCD(6,8)=2.
17 / 25 · Difícil
Halla el menor x positivo con x≡2 (mod 3) y x≡3 (mod 5).
Escribe x=2+3t.
18 / 25 · Difícil
Halla el menor x positivo con restos 2 módulo 3, 3 módulo 5 y 2 módulo 7.
Parte de x=8 para las dos primeras condiciones.
19 / 25 · Difícil
Halla el menor positivo que deja restos 1,2,3,4 al dividirlo entre 2,3,4,5.
El número es −1 módulo cada uno de los cuatro divisores.
20 / 25 · Difícil
¿Cuáles son las dos últimas cifras de 3^100? Escribe dos cifras.
3^20≡1 (mod 100).
21 / 25 · Desafío
Calcula (10^1000+3) mod 7.
10≡3 (mod 7) y 3^6≡1 (mod 7).
22 / 25 · Desafío
¿Puede existir un entero x con x²≡3 (mod 4)? Responde sí o no.
Prueba los restos 0,1,2,3.
23 / 25 · Desafío
¿Cuáles son los residuos distintos de x³ módulo 9? Sepáralos con comas.
Prueba x=0,1,…,8.
24 / 25 · Desafío
Explica por qué n³−n es divisible entre 6 para todo entero n.
Factoriza n³−n=n(n−1)(n+1).
25 / 25 · Desafío
Halla la última cifra de 7^(7^7).
El ciclo de 7 módulo 10 tiene período 4: reduce primero 7^7 módulo 4.
De monedas y soldados a calendarios: resuelve sistemas de congruencias, comprueba los límites y descubre cuándo no existe respuesta. Las soluciones están debajo de cada problema, pero permanecen cerradas mientras quieras intentarlo.
Lee el artículo: Sunzi y el teorema chino del resto →
El problema clásico del Sunzi Suanjing pide un número que deje restos 2, 3 y 2 al dividirlo por 3, 5 y 7. Los bloques 70, 21 y 15 dan 2×70 + 3×21 + 2×15 = 233; restando dos veces 105 se obtiene 23.
1 / 30 · Inicial
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 1 (mod 3) · x ≡ 2 (mod 5) · x ≡ 3 (mod 7)
Combina las congruencias una a una: escribe x como el primer resto más un múltiplo del primer módulo.
2 / 30 · Inicial
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 2 (mod 3) · x ≡ 2 (mod 5) · x ≡ 2 (mod 7)
Si todos los restos son iguales, resta ese resto y busca un múltiplo del mcm.
3 / 30 · Inicial
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 2 (mod 3) · x ≡ 4 (mod 5) · x ≡ 6 (mod 7)
Cada resto es uno menos que su módulo: razona sobre x+1.
4 / 30 · Inicial
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 2 (mod 5) · x ≡ 3 (mod 7)
Combina las congruencias una a una: escribe x como el primer resto más un múltiplo del primer módulo.
5 / 30 · Inicial
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 1 (mod 4) · x ≡ 2 (mod 5) · x ≡ 3 (mod 7)
Combina las congruencias una a una: escribe x como el primer resto más un múltiplo del primer módulo.
7 / 30 · Inicial
Un mercader agrupa monedas de 3 en 3, de 5 en 5 y de 7 en 7: sobran 2, 4 y 6. ¿Cuál es el menor total?
x ≡ 2 (mod 3) · x ≡ 4 (mod 5) · x ≡ 6 (mod 7)
Cada resto es uno menos que su módulo: razona sobre x+1.
16 / 30 · Inicial
Un mercader agrupa sacos de arroz de 4 en 4, de 5 en 5 o de 6 en 6: siempre sobra uno menos que el tamaño del grupo.
x ≡ 3 (mod 4) · x ≡ 4 (mod 5) · x ≡ 5 (mod 6)
Cada resto es uno menos que su módulo: razona sobre x+1.
6 / 30 · Intermedio
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 1 (mod 5) · x ≡ 2 (mod 7) · x ≡ 3 (mod 8)
Combina las congruencias una a una: escribe x como el primer resto más un múltiplo del primer módulo.
8 / 30 · Intermedio
Un general forma filas de 4, 5 y 7 soldados: sobran respectivamente 1, 2 y 4.
x ≡ 1 (mod 4) · x ≡ 2 (mod 5) · x ≡ 4 (mod 7)
Combina las congruencias una a una: escribe x como el primer resto más un múltiplo del primer módulo.
10 / 30 · Intermedio
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 3 (mod 5) · x ≡ 4 (mod 7) · x ≡ 5 (mod 9)
Combina las congruencias una a una: escribe x como el primer resto más un múltiplo del primer módulo.
11 / 30 · Intermedio
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 1 (mod 2) · x ≡ 2 (mod 3) · x ≡ 3 (mod 5) · x ≡ 4 (mod 7)
Combina las congruencias una a una: escribe x como el primer resto más un múltiplo del primer módulo.
13 / 30 · Intermedio
¿Qué restos deja 47 al dividirlo por 3, 5 y 7? Escribe los tres restos en ese orden, separados por comas.
47 mod 3, 5, 7
Divide 47 por cada módulo y anota los tres restos en orden.
17 / 30 · Intermedio
Las filas de 5, 7 u 8 soldados dejan fuera respectivamente 1, 3 o 4 soldados.
x ≡ 1 (mod 5) · x ≡ 3 (mod 7) · x ≡ 4 (mod 8)
Combina las congruencias una a una: escribe x como el primer resto más un múltiplo del primer módulo.
19 / 30 · Intermedio
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 1 (mod 6) · x ≡ 2 (mod 7) · x ≡ 3 (mod 8)
Combina las congruencias una a una: escribe x como el primer resto más un múltiplo del primer módulo.
20 / 30 · Intermedio
Tres sucesos periódicos se repiten cada 5, 7 y 9 días. Sus próximas ocurrencias serán dentro de 1, 3 y 4 días. ¿Cuándo coincidirán?
x ≡ 1 (mod 5) · x ≡ 3 (mod 7) · x ≡ 4 (mod 9)
Combina las congruencias una a una: escribe x como el primer resto más un múltiplo del primer módulo.
21 / 30 · Intermedio
Al repartir una cantidad entera de litros en recipientes de 8, 9 o 13 litros sobran 3, 5 o 7 litros.
x ≡ 3 (mod 8) · x ≡ 5 (mod 9) · x ≡ 7 (mod 13)
Combina las congruencias una a una: escribe x como el primer resto más un múltiplo del primer módulo.
22 / 30 · Intermedio
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 2 (mod 6) · x ≡ 5 (mod 9)
Si los módulos no son coprimos, los restos deben coincidir módulo su MCD.
25 / 30 · Intermedio
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 1 (mod 5) · x ≡ 2 (mod 6) · x ≡ 3 (mod 7)
Combina las congruencias una a una: escribe x como el primer resto más un múltiplo del primer módulo.
9 / 30 · Difícil
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 3 (mod 8) · x ≡ 5 (mod 9) · x ≡ 7 (mod 11)
Combina las congruencias una a una: escribe x como el primer resto más un múltiplo del primer módulo.
12 / 30 · Difícil
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 5 (mod 8) · x ≡ 7 (mod 9) · x ≡ 9 (mod 11)
Combina las congruencias una a una: escribe x como el primer resto más un múltiplo del primer módulo.
15 / 30 · Difícil
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 2 (mod 7) · x ≡ 4 (mod 9) · x ≡ 6 (mod 11)
Combina las congruencias una a una: escribe x como el primer resto más un múltiplo del primer módulo.
26 / 30 · Difícil
El número buscado está entre 100 y 500, ambos incluidos.
x ≡ 2 (mod 7) · x ≡ 3 (mod 8) · x ≡ 4 (mod 9)
Busca una respuesta dentro de los límites indicados; si no existe, escribe «ninguna». Desde 100 · Hasta 500
Resuelve primero sin límites y luego compara el menor candidato positivo con el intervalo pedido.
28 / 30 · Difícil
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 1 (mod 3) · x ≡ 2 (mod 4) · x ≡ 3 (mod 5) · x ≡ 4 (mod 7)
Combina las congruencias una a una: escribe x como el primer resto más un múltiplo del primer módulo.
30 / 30 · Difícil
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 4 (mod 7) · x ≡ 5 (mod 8) · x ≡ 6 (mod 9) · x ≡ 7 (mod 11)
Combina las congruencias una a una: escribe x como el primer resto más un múltiplo del primer módulo.
14 / 30 · Trampas sin respuesta en las condiciones dadas
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 1 (mod 4) · x ≡ 2 (mod 6)
Si los módulos no son coprimos, los restos deben coincidir módulo su MCD.
18 / 30 · Trampas sin respuesta en las condiciones dadas
Un tesoro contiene menos de 500 monedas; al dividir por 7, 9 y 11 los restos son 2, 4 y 6.
x ≡ 2 (mod 7) · x ≡ 4 (mod 9) · x ≡ 6 (mod 11)
Busca una respuesta dentro de los límites indicados; si no existe, escribe «ninguna». Menos de 500
Resuelve primero sin límites y luego compara el menor candidato positivo con el intervalo pedido.
23 / 30 · Trampas sin respuesta en las condiciones dadas
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 2 (mod 6) · x ≡ 4 (mod 9)
Si los módulos no son coprimos, los restos deben coincidir módulo su MCD.
24 / 30 · Trampas sin respuesta en las condiciones dadas
Un almacén contiene menos de 1000 cajas; al agruparlas de 11, 13 y 17 sobran 4, 6 y 10.
x ≡ 4 (mod 11) · x ≡ 6 (mod 13) · x ≡ 10 (mod 17)
Busca una respuesta dentro de los límites indicados; si no existe, escribe «ninguna». Menos de 1000
Resuelve primero sin límites y luego compara el menor candidato positivo con el intervalo pedido.
27 / 30 · Trampas sin respuesta en las condiciones dadas
El número buscado está entre 200 y 400, ambos incluidos.
x ≡ 1 (mod 7) · x ≡ 1 (mod 9) · x ≡ 1 (mod 11)
Busca una respuesta dentro de los límites indicados; si no existe, escribe «ninguna». Desde 200 · Hasta 400
Resuelve primero sin límites y luego compara el menor candidato positivo con el intervalo pedido.
29 / 30 · Trampas sin respuesta en las condiciones dadas
Halla el menor entero positivo que cumple todas las condiciones.
x ≡ 2 (mod 4) · x ≡ 3 (mod 6) · x ≡ 4 (mod 8)
Si los módulos no son coprimos, los restos deben coincidir módulo su MCD.
Cada desafío se genera en el momento: la respuesta se calcula, no procede de una lista fija.