Si son las 10 y pasan cinco horas, un reloj de 12 horas marca las 3. Hemos hallado el resto de 15 al dividir entre 12: 15≡3 (mod 12). De esta observación nace la aritmética modular. En el laboratorio interactivo puedes ver los restos en un círculo, descubrir ciclos de potencias y resolver 25 problemas progresivos.
Congruencia y división euclídea
Escribimos a≡b (mod n) cuando n divide a−b. Es equivalente a decir que a y b tienen el mismo resto módulo n. Cada entero se escribe de forma única a=nq+r, con 0≤r<n si n>0. Por ejemplo, −17=5×(−4)+3: incluso para un número negativo elegimos un resto no negativo. Módulo 1 el único resto es 0; el módulo 0 no está definido.
Operaciones que respetan los restos
Si a≡b y c≡d módulo n, podemos sumar, restar y multiplicar: a±c≡b±d y ac≡bd. ¿Por qué? Las diferencias entre las expresiones correspondientes son múltiplos de n. Así 123×456 mod 7 se reduce a 4×1 mod 7=4, sin multiplicar antes los números grandes.
Las potencias regresan: descubre un ciclo
Las potencias de 7 módulo 10 producen 7,9,3,1,7,…, con período 4. Para conocer la última cifra de 7^2026, basta observar que 2026≡2 (mod 4); la respuesta es 9. El laboratorio muestra el ciclo paso a paso. Para la última cifra y las dos últimas utiliza módulo 10 y módulo 100, respectivamente, y calcula potencias grandes mediante cuadrados sucesivos.
Divisibilidad, relojes y calendarios
Como 10≡1 (mod 9), un número tiene el mismo resto módulo 9 que la suma de sus cifras. Como 10≡−1 (mod 11), el criterio del 11 emplea una suma alternada. Los días de la semana funcionan módulo 7: cien días después del lunes será miércoles, porque 100≡2 (mod 7). Las herramientas permiten comprobar estos ejemplos.
Ecuaciones y sistemas
La congruencia ax≡b (mod n) tiene soluciones exactamente cuando MCD(a,n) divide b. Existe un inverso de a para n>1 cuando MCD(a,n)=1. Con módulos coprimos dos a dos, el teorema chino del resto combina condiciones: x≡2 (mod 3), x≡3 (mod 5) y x≡2 (mod 7) dan x≡23 (mod 105). El laboratorio muestra los pasos, no solo la respuesta.
Ahora te toca
El recorrido incluye quince etapas, diez herramientas, exploración de cuadrados y cubos, veinticinco problemas con pistas y soluciones ocultas y práctica aleatoria. Atención a (1234567+9876543) mod 9: el resto correcto es 7. Abre el laboratorio de aritmética modular →