Se sono le 10 e passano cinque ore, un orologio a 12 ore indica le 3. Abbiamo contato il resto di 15 nella divisione per 12: 15≡3 (mod 12). Da questa osservazione nasce l’aritmetica modulare. Nel laboratorio interattivo puoi vedere i resti su un cerchio, scoprire i cicli delle potenze e risolvere 25 problemi progressivi.
Congruenza e divisione euclidea
Scriviamo a≡b (mod n) quando n divide a−b. È lo stesso che dire che a e b hanno uguale resto modulo n. Ogni intero si scrive in modo unico come a=nq+r, con 0≤r<n se n>0. Per esempio −17=5×(−4)+3: anche per un numero negativo scegliamo un resto non negativo. Modulo 1 l’unico resto è 0; il modulo 0 non è definito.
Operazioni che rispettano i resti
Se a≡b e c≡d modulo n, allora possiamo sommare, sottrarre e moltiplicare: a±c≡b±d e ac≡bd. Perché? Le differenze tra i membri sono multipli di n. Così 123×456 mod 7 si riduce a 4×1 mod 7=4, senza moltiplicare prima i due numeri grandi.
Le potenze tornano: un ciclo da scoprire
Le potenze di 7 modulo 10 producono 7,9,3,1,7,…: il periodo è 4. Per l’ultima cifra di 7^2026 basta osservare che 2026≡2 (mod 4), quindi la risposta è 9. Il laboratorio mostra materialmente ogni passaggio del ciclo. Per l’ultima e le ultime due cifre usa rispettivamente modulo 10 e modulo 100, calcolando potenze grandi per quadrati successivi, senza costruirle per intero.
Divisibilità, orologi e calendari
Poiché 10≡1 (mod 9), un numero ha lo stesso resto modulo 9 della somma delle sue cifre. Poiché 10≡−1 (mod 11), per 11 compare la somma alternata. I giorni della settimana funzionano modulo 7: cento giorni dopo lunedì sarà mercoledì, perché 100≡2 (mod 7). Gli strumenti del laboratorio permettono di verificare tutti questi esempi.
Equazioni e sistemi
La congruenza ax≡b (mod n) ha soluzioni esattamente quando MCD(a,n) divide b. L’inverso di a esiste per n>1 quando MCD(a,n)=1. Con moduli coprimi a coppie, il teorema cinese del resto combina più condizioni: x≡2 (mod 3), x≡3 (mod 5) e x≡2 (mod 7) danno x≡23 (mod 105). Il laboratorio mostra i passaggi, non solo il risultato.
Prova tu
Il percorso contiene quindici tappe, dieci strumenti, l’esplorazione dei quadrati e dei cubi, venticinque problemi con indizi e soluzioni nascoste, più un allenamento casuale. Il problema (1234567+9876543) mod 9 merita attenzione: il resto corretto è 7. Apri il laboratorio di aritmetica modulare →