S’il est 10 heures et que cinq heures passent, une horloge de 12 heures indique 3 heures. Nous avons trouvé le reste de 15 dans la division par 12 : 15≡3 (mod 12). L’arithmétique modulaire naît de cette observation. Dans le laboratoire interactif, vous pouvez voir les restes sur un cercle, découvrir les cycles des puissances et résoudre 25 problèmes progressifs.
Congruence et division euclidienne
Nous écrivons a≡b (mod n) lorsque n divise a−b. Cela revient à dire que a et b ont le même reste modulo n. Chaque entier s’écrit de façon unique a=nq+r, avec 0≤r<n si n>0. Par exemple −17=5×(−4)+3 : même pour un nombre négatif, le reste est non négatif. Modulo 1, le seul reste est 0 ; le module 0 n’est pas défini.
Opérations qui respectent les restes
Si a≡b et c≡d modulo n, on peut additionner, soustraire et multiplier : a±c≡b±d et ac≡bd. Pourquoi ? Les différences entre les expressions correspondantes sont des multiples de n. Ainsi 123×456 mod 7 se réduit à 4×1 mod 7=4, sans commencer par multiplier les grands nombres.
Les puissances reviennent : découvrir un cycle
Les puissances de 7 modulo 10 donnent 7,9,3,1,7,… : la période vaut 4. Pour trouver le dernier chiffre de 7^2026, il suffit de remarquer que 2026≡2 (mod 4) ; la réponse est 9. Le laboratoire montre le cycle étape par étape. Pour le dernier chiffre et les deux derniers, il utilise respectivement les modules 10 et 100 et calcule les grandes puissances par carrés successifs.
Divisibilité, horloges et calendriers
Puisque 10≡1 (mod 9), un nombre a le même reste modulo 9 que la somme de ses chiffres. Puisque 10≡−1 (mod 11), le critère de 11 emploie une somme alternée. Les jours de la semaine fonctionnent modulo 7 : cent jours après lundi, ce sera mercredi, car 100≡2 (mod 7). Les outils permettent de vérifier ces exemples.
Équations et systèmes
La congruence ax≡b (mod n) admet des solutions exactement lorsque PGCD(a,n) divise b. Un inverse de a existe pour n>1 lorsque PGCD(a,n)=1. Avec des modules premiers entre eux deux à deux, le théorème chinois des restes combine plusieurs conditions : x≡2 (mod 3), x≡3 (mod 5) et x≡2 (mod 7) donnent x≡23 (mod 105). Le laboratoire montre les étapes, pas seulement la réponse.
À vous de jouer
Le parcours comprend quinze étapes, dix outils, l’exploration des carrés et des cubes, vingt-cinq problèmes avec indices et solutions cachés, ainsi qu’un entraînement aléatoire. Attention à (1234567+9876543) mod 9 : le reste correct est 7. Ouvrir le laboratoire d’arithmétique modulaire →