Un mercader agrupa monedas de tres en tres, de cinco en cinco y de siete en siete, y obtiene un resto distinto cada vez. ¿Podemos reconstruir la cantidad inicial? Esta es la esencia de los problemas chinos de los restos. En el laboratorio interactivo hay treinta retos progresivos, cada uno con respuesta comprobable, pista y solución justo debajo del problema.
Del Sunzi Suanjing al número 23
El Sunzi Suanjing, antiguo manual matemático chino, plantea un número que deja restos 2 módulo 3, 3 módulo 5 y 2 módulo 7. Su menor valor positivo es 23. El método utiliza los bloques 70, 21 y 15: el primero deja resto 1 módulo 3 y es divisible por 5 y 7; el segundo deja resto 1 módulo 5 y es divisible por 3 y 7; el tercero deja resto 1 módulo 7 y es divisible por 3 y 5. Así, 2×70+3×21+2×15=233. Al restar dos veces 105=3×5×7 obtenemos 23. Esta explicación histórica muestra por qué funcionan esos bloques.
El método moderno: congruencias e inversos
Escribimos x≡a (mod n) cuando la división de x por n deja resto a. Si n₁,n₂,n₃ son coprimos dos a dos, tomamos N=n₁n₂n₃ y Nᵢ=N/nᵢ. Elegimos uᵢ de modo que Nᵢuᵢ≡1 (mod nᵢ). Entonces x≡a₁N₁u₁+a₂N₂u₂+a₃N₃u₃ (mod N). Los bloques históricos son un caso especialmente sencillo de esta construcción. Para los restos 1,2,3 módulo 3,5,7, la misma regla da 70+42+45=157≡52 (mod 105): la menor respuesta positiva es 52.
Módulos no coprimos: comprobar la compatibilidad
No todos los sistemas tienen respuesta. Para x≡a (mod m) y x≡b (mod n), existe solución exactamente cuando MCD(m,n) divide b−a. Si existe, es única módulo mcm(m,n), no necesariamente módulo mn. Por ejemplo, x≡2 (mod 6) y x≡5 (mod 9) son compatibles: 5−2=3 es divisible por MCD(6,9)=3, y x≡14 (mod 18). Si cambiamos 5 por 4, la diferencia pasa a 2 y el sistema es imposible.
Un límite puede descartar todas las respuestas
La congruencia x≡688 (mod 693) tiene infinitas soluciones enteras, pero ninguna positiva menor que 500. Por eso, en un problema narrativo importan palabras como «menos de» y «entre». El laboratorio distingue entre un sistema incompatible y uno cuyas respuestas quedan fuera del intervalo pedido. En el problema del calendario, las próximas ocurrencias serán dentro de 1, 3 y 4 días; decir que «ocurrieron hace 1, 3 y 4 días» cambiaría los restos y la respuesta.
Treinta problemas, cuatro niveles
La nueva sección Problemas chinos incluye ejercicios iniciales, intermedios, difíciles y trampas sin solución en las condiciones dadas. Cada respuesta se verifica con los restos; la explicación muestra las combinaciones sucesivas y el período final. Puedes volver a intentarlo sin abrir la solución y conservar el progreso en tu navegador. Abrir los 30 retos →