Un marchand regroupe ses pièces par trois, cinq ou sept et obtient chaque fois un reste différent. Peut-on retrouver le total initial ? C’est le cœur des problèmes chinois des restes. Le laboratoire interactif propose trente défis progressifs, chacun avec une réponse vérifiable, un indice et une solution directement sous le problème.
Du Sunzi Suanjing au nombre 23
Le Sunzi Suanjing, ancien manuel mathématique chinois, présente un nombre laissant les restes 2 modulo 3, 3 modulo 5 et 2 modulo 7. Sa plus petite valeur positive est 23. La méthode emploie les blocs 70, 21 et 15 : le premier laisse le reste 1 modulo 3 et est divisible par 5 et 7 ; le deuxième laisse le reste 1 modulo 5 et est divisible par 3 et 7 ; le troisième laisse le reste 1 modulo 7 et est divisible par 3 et 5. Ainsi 2×70+3×21+2×15=233. En retirant deux fois 105=3×5×7, on trouve 23. Cette étude historique explique le rôle des blocs.
La méthode moderne : congruences et inverses
On écrit x≡a (mod n) lorsque la division de x par n laisse le reste a. Si n₁,n₂,n₃ sont premiers entre eux deux à deux, posons N=n₁n₂n₃ et Nᵢ=N/nᵢ. Choisissons uᵢ tel que Nᵢuᵢ≡1 (mod nᵢ). Alors x≡a₁N₁u₁+a₂N₂u₂+a₃N₃u₃ (mod N). Les blocs historiques sont un cas particulièrement simple de cette construction. Pour les restes 1,2,3 modulo 3,5,7, on obtient 70+42+45=157≡52 (mod 105) : la plus petite réponse positive est 52.
Modules non premiers entre eux : vérifier la compatibilité
Un système ne possède pas toujours de réponse. Pour x≡a (mod m) et x≡b (mod n), une solution existe exactement lorsque PGCD(m,n) divise b−a. Si elle existe, elle est unique modulo PPCM(m,n), et non nécessairement modulo mn. Ainsi x≡2 (mod 6) et x≡5 (mod 9) sont compatibles : 5−2=3 est divisible par PGCD(6,9)=3, et x≡14 (mod 18). En remplaçant 5 par 4, la différence devient 2 et le système est impossible.
Une borne peut éliminer toutes les réponses
La congruence x≡688 (mod 693) possède une infinité de solutions entières, mais aucune solution positive inférieure à 500. Dans un énoncé, des mots comme « moins de » ou « entre » sont essentiels. Le laboratoire distingue un système incompatible d’un système dont les solutions sont hors de l’intervalle demandé. Pour le calendrier, les prochaines occurrences sont dans 1, 3 et 4 jours ; dire qu’elles « ont eu lieu il y a 1, 3 et 4 jours » changerait les restes et la réponse.
Trente problèmes, quatre niveaux
La nouvelle section Problèmes chinois comporte des exercices débutants, intermédiaires, difficiles et des pièges sans réponse dans les conditions données. Chaque réponse est vérifiée avec les restes ; les explications montrent les combinaisons successives et la période finale. Tu peux réessayer sans ouvrir la solution, et les progrès restent dans ton navigateur. Ouvrir les 30 défis →