Un mercante raggruppa le monete a tre, cinque e sette: ogni volta ne resta un numero diverso. Possiamo ricostruire la quantità iniziale? Questo è il cuore dei problemi cinesi dei resti. Nel laboratorio interattivo trovi trenta sfide progressive, con risposta controllabile, suggerimento e soluzione subito sotto ogni problema.
Dal Sunzi Suanjing al numero 23
Nel Sunzi Suanjing, un antico manuale matematico cinese, compare il problema dei resti 2 modulo 3, 3 modulo 5 e 2 modulo 7. La risposta positiva minima è 23. Il procedimento usa i blocchi 70, 21 e 15: il primo lascia resto 1 modulo 3 ed è divisibile per 5 e 7; il secondo lascia resto 1 modulo 5 ed è divisibile per 3 e 7; il terzo lascia resto 1 modulo 7 ed è divisibile per 3 e 5. Perciò 2×70+3×21+2×15=233. Sottraendo due volte 105=3×5×7 otteniamo 23. La ricostruzione storica chiarisce perché questi blocchi funzionano.
Il metodo moderno: congruenze e inversi
Scriviamo x≡a (mod n) quando la divisione di x per n lascia resto a. Se i moduli n₁,n₂,n₃ sono coprimi a coppie, poniamo N=n₁n₂n₃ e Nᵢ=N/nᵢ. Scegliamo uᵢ in modo che Nᵢuᵢ≡1 (mod nᵢ). Allora x≡a₁N₁u₁+a₂N₂u₂+a₃N₃u₃ (mod N). I blocchi storici sono un caso particolarmente semplice di questa costruzione. Per i resti 1,2,3 modulo 3,5,7, la stessa formula dà 70+42+45=157≡52 (mod 105): la risposta minima è 52.
Moduli non coprimi: prima la compatibilità
Non tutti i sistemi ammettono una risposta. Per x≡a (mod m) e x≡b (mod n), una soluzione esiste esattamente quando MCD(m,n) divide b−a. Se esiste, la soluzione è unica modulo mcm(m,n), non necessariamente modulo mn. Per esempio x≡2 (mod 6) e x≡5 (mod 9) sono compatibili: 5−2=3 è divisibile per MCD(6,9)=3, e x≡14 (mod 18). Sostituendo 5 con 4, la differenza diventa 2: il sistema è impossibile.
Un limite può eliminare tutte le risposte
La congruenza x≡688 (mod 693) ha infinite soluzioni intere, ma nessuna positiva minore di 500. Per questo nei problemi narrativi occorre leggere anche parole come “meno di” e “tra”. Il laboratorio distingue fra incompatibilità del sistema e assenza di risposte nell’intervallo richiesto. Nel problema del calendario le prossime occorrenze sono fra 1, 3 e 4 giorni: formulare invece “sono avvenute 1, 3 e 4 giorni fa” cambierebbe i resti e la risposta.
Trenta problemi, quattro livelli
La nuova sezione Problemi cinesi del laboratorio presenta esercizi di base, intermedi, difficili e trabocchetti senza soluzione nelle condizioni date. Ogni risposta è verificata sui resti; le spiegazioni mostrano le combinazioni successive e il periodo finale. Puoi riprovare senza aprire la soluzione e conservarne i progressi nel browser. Apri le 30 sfide →