Sommes remarquables : de Gauss aux nombres pairs et impairs

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Une chaîne de formules née d’une seule idée.

Deux rangées de jetons associés deux à deux et un carré de jetons évoquent la recherche de structure dans les sommes. — Associer les termes et observer la forme des sommes : une représentation visuelle de l’idée qui guide cet article.

1. L’histoire : le jeune Gauss et la somme de 1 à 100

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) est considéré comme l’un des plus grands mathématiciens de l’histoire. Selon le célèbre récit scolaire, alors qu’il était encore enfant, son maître demanda à la classe d’additionner les nombres de 1 à 100. Gauss remarqua qu’au lieu de faire cent additions, on pouvait associer le premier et le dernier terme :

1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
…
50 + 51 = 101

Il y a 50 paires et chacune vaut 101, donc :

50 × 101 = 5050

L’épisode est traditionnellement raconté dans les biographies de Gauss. Au-delà des détails du récit, le point mathématique essentiel est l’idée : associer les termes équidistants des extrémités, car leur somme est toujours la même.

2. Démonstration de la formule de Gauss

Nous voulons calculer :

S = 1 + 2 + 3 + … + (n − 1) + n

Écrivons la même somme dans l’ordre inverse :

S = n + (n − 1) + (n − 2) + … + 2 + 1

Ajoutons les deux lignes terme à terme. Chaque paire vaut n + 1 et il y a n paires :

2S = n(n + 1)

En divisant par 2, nous obtenons :

1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) / 2

3. De Gauss à la somme des n premiers nombres pairs

Nous savons que :

1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) / 2

Multiplions chaque terme par 2. Nous obtenons les n premiers nombres pairs :

2 + 4 + 6 + … + 2n

La somme est elle aussi multipliée par 2 :

2 · [n(n + 1) / 2] = n(n + 1)
2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)

4. Des pairs aux impairs

Partons directement des n premiers nombres pairs :

2, 4, 6, 8, …, 2n

Retirons 1 à chacun :

1, 3, 5, 7, …, 2n − 1

Il y a n termes : en retirant 1 à chacun, nous avons donc retiré n à la somme. Par conséquent :

n(n + 1) − n = n² + n − n = n²
1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²

5. Pairs moins impairs

Notons P la somme des n premiers nombres pairs et D celle des n premiers nombres impairs :

P = n(n + 1)      D = n²

Alors :

P − D = n(n + 1) − n² = n

On voit également cette propriété terme à terme :

(2 − 1) + (4 − 3) + … + [2n − (2n − 1)] = 1 + 1 + … + 1 = n

6. Pairs plus impairs

En additionnant les deux formules :

P + D = n(n + 1) + n² = n(2n + 1)

Mais il existe aussi une lecture immédiate : réunir les n premiers impairs et les n premiers pairs donne tous les nombres de 1 à 2n :

1 + 2 + 3 + … + 2n = [2n(2n + 1)] / 2 = n(2n + 1)

7. Tout en une seule chaîne

Relation	Formule
Somme des n premiers entiers naturels	1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2
Somme des n premiers nombres pairs	2 + 4 + … + 2n = n(n + 1)
Somme des n premiers nombres impairs	1 + 3 + … + (2n − 1) = n²
Pairs − impairs	P − D = n
Pairs + impairs	P + D = n(2n + 1)

8. L’idée pédagogique

Le plus intéressant n’est pas de mémoriser cinq formules séparées, mais de voir comment presque tout naît de la première. La formule de Gauss donne la somme des pairs par une simple multiplication par 2 ; les impairs s’obtiennent à partir des pairs en retirant 1 à chacun des n termes ; puis la somme et la différence découlent immédiatement des pairs et des impairs. Les formules deviennent ainsi des conséquences naturelles de transformations élémentaires, et non des résultats à apprendre par cœur.

Note historique. Le récit scolaire et les principales données biographiques sur Gauss s’appuient sur la biographie MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews.