Sabliers, équations diophantiennes et Bézout

1. Trouver le PGCD avec Euclide

Initialement a = 1a + 0b et b = 0a + 1b. Pour chaque nouveau reste, soustrayez q fois la ligne du diviseur de celle du dividende : les coefficients deviennent (u₀ − qu₁, v₀ − qv₁). Le dernier reste non nul est le PGCD.

2. Vérifier la divisibilité

3. Bézout et une première solution

Multiplier les deux coefficients par d/PGCD :

4. Toutes les solutions entières

Un coefficient négatif représente une soustraction de durées, pas un temps écoulé négatif ni un retournement « à l’envers ». Les solutions de l’équation ne constituent pas à elles seules un mode d’emploi des sabliers.

5. Observer un protocole vérifié

Si un sablier de durée a a encore r minutes à écouler, le retourner laisse a − r minutes : le sable déjà écoulé revient en haut.

L’animation avance d’un événement par seconde, pas d’une minute réelle. Le sable et les temps restants indiquent l’état juste après le geste. Les lignes du tableau sont aussi sélectionnables.

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