Analisi
Laboratorio: costruire una serie di Fourier
Somma armoniche, leggi i coefficienti e confronta il risultato con la funzione periodica. Osserva Gibbs e le medie di Fejér senza confondere errore medio e uniforme.
Modello e coefficienti
Un secondo per armonica aggiunta: N è l’indice armonico massimo, non il numero di coefficienti non nulli. u=t₀/T resta fissato; ad esempio u=0,25 indica t₀=T/4. Lo zoom riguarda solo il primo grafico.
Funzione periodica e ricostruzione
Il punto t₀ è fuori dallo zoom; i suoi valori restano nella tabella sotto.
Valori ed errori: che cosa misurano
Il punto blu indica Sₙ(t₀); nell’onda quadra il punto rosso indica il primo massimo a destra del salto.
Fejér evita la sovraelongazione oltre l’intervallo dei valori nei segnali limitati, ma non rende uniforme una convergenza verso una funzione con salti. Per lo stesso N, Sₙ è la migliore approssimazione quadratica: σₙ può avere RMS maggiore.
Una sola armonica
Spettro delle ampiezze
Per n≥1 la barra vale √(aₙ²+bₙ²); per n=0 vale |a₀/2|. Le barre viola applicano i pesi 1−n/(N+1) di Fejér. La fase usa aₙcos+bₙsin=Rₙcos(nω₀t−φₙ).
Tabella dei valori
φₙ in radianti; — significa ampiezza nulla, fase non definita. n/T è in cicli per unità di t. I coefficienti della tabella sono analitici, non stimati dal disegno.
Le formule dei coefficienti e Parseval riguardano le funzioni matematiche. I valori e i grafici sono in virgola mobile; il massimo su una griglia non è l’errore uniforme. Nei salti disegniamo i valori laterali e il loro punto medio, senza collegarli con un tratto continuo. Non stimiamo coefficienti con una DFT e non generiamo audio.