Analyse
Laboratoire : construire une série de Fourier
Additionnez les harmoniques, lisez les coefficients et comparez à la fonction périodique. Explorez Gibbs et Fejér sans confondre erreur moyenne et uniforme.
Modèle et coefficients
Une seconde par harmonique ajoutée : N est l’indice maximal, pas le nombre de coefficients non nuls. u=t₀/T reste fixé ; u=0,25 signifie t₀=T/4. Le zoom ne concerne que le premier graphe.
Fonction périodique et reconstruction
Le point t₀ est hors du zoom ; ses valeurs restent indiquées ci-dessous.
Valeurs et erreurs : leur sens
Le point bleu indique Sₙ(t₀) ; pour le créneau, le rouge repère le premier maximum à droite du saut.
Fejér évite les dépassements hors de l’intervalle des valeurs d’un signal borné, sans rendre uniforme la convergence vers une fonction à sauts. À N égal, Sₙ est la meilleure approximation quadratique : σₙ peut avoir un RMS supérieur.
Une seule harmonique
Spectre des amplitudes
Pour n≥1, barre √(aₙ²+bₙ²) ; en n=0, |a₀/2|. Les barres violettes appliquent les poids 1−n/(N+1). Phase : aₙcos+bₙsin=Rₙcos(nω₀t−φₙ).
Tableau des valeurs
φₙ en radians ; — signifie amplitude nulle et phase indéfinie. n/T est en cycles par unité de t. Les coefficients sont analytiques, pas estimés sur le dessin.
Les formules et Parseval concernent les fonctions mathématiques. Valeurs et graphes en virgule flottante ; un maximum de grille n’est pas l’erreur uniforme. Aux sauts, valeurs latérales et point moyen sont dessinés sans segment continu. Ni estimation DFT ni génération audio.