Un signal périodique peut être carré, triangulaire ou irrégulier : Fourier l’étudie par des oscillations simples. Mais additionner sinus et cosinus ne suffit pas : il faut choisir les coefficients, connaître la limite et préciser l’erreur mesurée. Période, orthogonalité et exemples conduisent à Gibbs, Fejér et aux spectres. Intégrales, trigonométrie et suites et séries de fonctions sont requises.
Laboratoire : construire une série de Fourier · Index du parcours
1. Période, fréquence et harmoniques
f(t+T)=f(t); T>0
ν₀=1/T; ω₀=2π/T
cos(nω₀t), sin(nω₀t); n=1,2,…
La fondamentale accomplit une oscillation en T ; l’harmonique n en accomplit n. Pour t en secondes, n/T est en hertz et nω₀ en radians par seconde. N est l’indice maximal, pas le nombre de termes non nuls : pour 1,3,5 il faut N=5.
Taylor utilise des polynômes près d’un point ; Fourier décrit une période entière par des fonctions trigonométriques. Prolonger périodiquement un morceau impose d’examiner les jonctions : elles peuvent créer des sauts malgré un intérieur régulier.
2. Orthogonalité : origine des coefficients
Sur [−π,π], sinus et cosinus de fréquences entières distinctes sont orthogonaux : leur produit a intégrale nulle. Utiliser les identités produit-somme, comme 2cos(nθ)cos(mθ)=cos((n−m)θ)+cos((n+m)θ). Pour n=m, un terme constant subsiste.
∫₋π^πcos(nθ)cos(mθ)dθ=πδₙₘ
∫₋π^πsin(nθ)sin(mθ)dθ=πδₙₘ
∫₋π^πsin(nθ)cos(mθ)dθ=0; n,m≥1
∫₋π^π1dθ=2π
δₙₘ vaut 1 si n=m, sinon 0. Pour nos fonctions de carré intégrable, minimiser l’erreur quadratique parmi les polynômes trigonométriques de degré N sépare les coefficients par orthogonalité. Inutile de supposer une égalité infinie avant de la prouver : définir les coefficients, puis étudier la convergence.
S_N(t)=a₀/2+Σₙ₌₁ᴺ[aₙcos(nω₀t)+bₙsin(nω₀t)]
aₙ=(2/T)∫₋T/2^T/2 f(t)cos(nω₀t)dt, n≥0
bₙ=(2/T)∫₋T/2^T/2 f(t)sin(nω₀t)dt, n≥1
a₀/2=(1/T)∫₋T/2^T/2 f(t)dt
Pour T=2L, 2/T devient 1/L et nω₀ devient nπ/L. Le terme constant est a₀/2 car la norme au carré de 1 est double de celle d’un sinus ou cosinus. Oublier ce facteur double à tort la moyenne.
3. Symétries, amplitude et phase
Si f est paire sur la période centrée, les bₙ sont nuls : un intégrand impair a intégrale nulle. Si f est impaire, a₀ et tous les aₙ sont nuls. La symétrie réduit le travail, à condition de vérifier fonction et centre.
aₙcos(nω₀t)+bₙsin(nω₀t)=Rₙcos(nω₀t−φₙ)
Rₙ=√(aₙ²+bₙ²); φₙ=atan2(bₙ,aₙ)
Rₙ est non négative, contrairement à aₙ et bₙ qui peuvent être signés. Si Rₙ=0, la phase est indéfinie : un tiret la représente. La moyenne est séparément a₀/2 ; son amplitude représentée est |a₀/2|, pas |a₀|.
4. Créneau : calcul complet
Sur (−π,π), prendre g(θ)=−1 pour θ<0 et +1 pour θ>0, et la valeur moyenne 0 aux sauts. L’imparité donne a₀=aₙ=0. Pour les sinus, intégrer la moitié positive :
bₙ=(2/π)∫₀^πsin(nθ)dθ
=(2/π)[−cos(nθ)/n]₀^π
=2[1−(−1)ⁿ]/(πn)
b₂ₖ=0; b₂ₖ₊₁=4/[π(2k+1)]
S_N(θ)=(4/π)Σₖ₌₀^⌊(N−1)/2⌋ sin((2k+1)θ)/(2k+1)
N=5 contient trois harmoniques non nulles ; N=6 donne la même somme ordinaire, le coefficient 6 étant nul. Fejér peut changer entre 5 et 6 car les poids des harmoniques présentes changent aussi.
5. Dent de scie : attention à la jonction
Prendre g(θ)=θ/π pour −π<θ<π et répéter ce morceau. Fonction impaire encore, mais coefficients alternés. Intégrer par parties avec u=θ et dv=sin(nθ)dθ :
bₙ=(2/π²)∫₀^πθsin(nθ)dθ
=(2/π²)[−θcos(nθ)/n+sin(nθ)/n²]₀^π
=2(−1)^(n+1)/(πn)
g(θ)∼(2/π)[sinθ−sin(2θ)/2+sin(3θ)/3−⋯]
Ici ∼ désigne la série associée, pas l’égalité en tout point assigné. À θ=π, limite gauche +1, droite −1 : la série converge vers 0. Un segment linéaire régulier peut donc créer Gibbs aux bords après prolongement périodique.
6. Angles sans sauts et autres signaux
L’onde triangulaire g(θ)=(2/π)arcsin(sinθ) est impaire et continue aux jonctions. Intégrer par parties les deux morceaux linéaires de [0,π], séparés en π/2, donne des sinus impairs alternés. Pour |θ|/π, paire, intégrer θcos(nθ) sur [0,π].
g(θ)=(2/π)arcsin(sinθ): a₀=aₙ=0; bₙ=8sin(nπ/2)/(π²n²)
g(θ)=|θ|/π: a₀=1; bₙ=0
aₙ=(2/π²)[θsin(nθ)/n+cos(nθ)/n²]₀^π
=2[(−1)ⁿ−1]/(π²n²)
Les coefficients décroissent en 1/n² : leur somme absolue converge et M donne la convergence uniforme. Un angle n’est pas un saut de valeur ; ne pas lui appliquer automatiquement la constante de Gibbs. Deux autres exemples continus sont la parabole périodique et la sinusoïde redressée :
g(θ)=(θ/π)²: a₀=2/3; aₙ=4(−1)ⁿ/(π²n²); bₙ=0
g(θ)=max(0,sinθ): a₀=2/π; b₁=1/2
a₂ₖ=−2/[π(4k²−1)], k≥1; a₂ₖ₋₁=0; bₙ=0 (n>1)
Pour une impulsion centrée de hauteur 1 et largeur q de période, la symétrie donne des cosinus seuls. Intégrer sur [−πq,πq] donne moyenne q et les coefficients suivants ; valeur 1/2 aux deux sauts dans le laboratoire.
a₀=2q; aₙ=2sin(nπq)/(πn); bₙ=0
7. Vers quelle valeur converge la série ?
Une hypothèse suffisante pratique est un prolongement périodique C¹ par morceaux, en nombre fini, avec limites latérales finies de la fonction et des dérivées aux séparations. Les sommes ordinaires convergent alors vers la moyenne des limites latérales :
lim_N→∞ S_N(t)=[f(t⁻)+f(t⁺)]/2
En un point continu, cette moyenne vaut f(t). À un saut elle peut différer de la valeur assignée au point. Changer un nombre fini de valeurs ne modifie pas les intégrales des coefficients : la série ne récupère pas des valeurs isolées arbitraires. Aux extrémités, comparer les deux côtés du prolongement périodique.
Chaque S_N est continue : pas de convergence uniforme sur toute la période vers une fonction à sauts. Nos exemples discontinus s’améliorent loin des sauts sans uniformité globale. Pour les exemples continus à coefficients absolument sommables, M garantit l’uniformité. Un graphe proche ne remplace pas ces hypothèses.
8. Gibbs : le pic se resserre sans disparaître
Pour le créneau, M=⌊(N+1)/2⌋ compte les harmoniques impaires. Dériver la somme finie et utiliser l’identité de somme des cosinus localise le premier maximum à droite du saut. Aucun théorème de dérivation de série infinie n’est nécessaire pour cette somme finie.
S_N′(θ)=(4/π)Σⱼ₌₀ᴹ⁻¹cos((2j+1)θ)
=(2/π)sin(2Mθ)/sinθ
θ*=π/(2M); t*=T/(4M)
lim_M→∞S_N(θ*)=(2/π)∫₀^π sin u/u du≈1.178979744
La dernière limite est une somme de Riemann de l’intégrale du sinus. Niveau haut 1, saut 2 : dépassement ≈0,17898, soit 8,949% du saut, pas de l’amplitude haute 1. Pour un saut J, dépassement limite ≈0,08949J. À petit N le pourcentage peut différer ; le laboratoire calcule la somme finie en t*.
La distance du maximum est d’ordre 1/N : la zone se resserre. Aucune contradiction avec la convergence ponctuelle : t* dépend de N au lieu d’être fixé.
9. Moyennes de Fejér : mêmes coefficients, autres poids
σ_N=(S₀+S₁+⋯+S_N)/(N+1)
=a₀/2+Σₙ₌₁ᴺ(1−n/(N+1))[aₙcos(nω₀t)+bₙsin(nω₀t)]
L’harmonique n figure dans S_n jusqu’à S_N, soit N+1−n fois, d’où le poids. La moyenne ne porte pas seulement sur les termes non nuls et inclut S₀=a₀/2. Les hautes fréquences sont davantage atténuées.
F_N(u)=(1/(N+1))[sin((N+1)u/2)/sin(u/2)]²≥0; u∉2πℤ
F_N(2kπ)=N+1; k∈ℤ
(1/(2π))∫₋π^πF_N(u)du=1
σ_N(θ)=(1/(2π))∫₋π^πg(θ−u)F_N(u)du
Sur la période normalisée, F_N est positif ou nul et de masse 1 : σ_N est une moyenne pondérée restant dans l’intervalle des valeurs. Pour toute fonction périodique continue, Fejér converge uniformément : la continuité uniforme contrôle les contributions proches, la masse du noyau loin de zéro tend vers zéro.
Aux sauts de nos signaux, la limite reste le point moyen, sans convergence uniforme globale vers une fonction discontinue. Fejér supprime le dépassement des niveaux mais élargit la transition : tous les types d’erreur ne diminuent pas forcément à N fixé.
10. Parseval, RMS et meilleure approximation quadratique
Pour f de carré intégrable, la complétude trigonométrique dans L² donne Parseval. On utilise la moyenne sur la période plutôt que l’intégrale totale : unités d’amplitude au carré, indépendantes du choix de T.
(1/T)∫₋T/2^T/2 |f(t)|²dt=a₀²/4+(1/2)Σₙ₌₁∞(aₙ²+bₙ²)
RMS_N²=(1/T)∫₋T/2^T/2|f−S_N|²dt=(1/2)Σₙ>N(aₙ²+bₙ²)
L’orthogonalité donne le minimum : pour tout autre polynôme trigonométrique P_N de degré ≤N, l’erreur quadratique est celle de S_N plus la distance quadratique entre S_N et P_N. Le terme croisé est nul. S_N minimise donc RMS, pas forcément l’erreur ponctuelle maximale.
RMS²(f−P_N)=RMS²(f−S_N)+RMS²(S_N−P_N)
RMS²(f−σ_N)=RMS²(f−S_N)
+(1/2)Σₙ₌₁ᴺ[n/(N+1)]²(aₙ²+bₙ²)
La moyenne du carré vaut 1 pour le créneau normalisé, 1/3 pour dent de scie et triangle. Dans le laboratoire, intégrales et coefficients sont analytiques, pas estimés du dessin. Un petit RMS peut coexister avec Gibbs : une zone étroite pèse peu dans l’intégrale, mais compte pour l’erreur uniforme.
11. Amplitude, moyenne, période et forme complexe
f(t)=C+A g(2πt/T)
a₀(f)=2C+A a₀(g)
aₙ(f)=A aₙ(g); bₙ(f)=A bₙ(g), n≥1
Dans le laboratoire, T dilate le signal à profil g fixé. Les fréquences n/T changent, pas les amplitudes des coefficients. A multiplie les composantes variables ; C ne change que le terme moyen. Si g a moyenne μ, celle de f vaut C+Aμ : C n’est pas forcément la moyenne totale.
cₖ=(1/T)∫₋T/2^T/2 f(t)e^(−ikω₀t)dt
c₀=a₀/2; cₙ=(aₙ−ibₙ)/2; c₋ₙ=(aₙ+ibₙ)/2
S_N(t)=Σₖ₌₋ᴺᴺcₖe^(ikω₀t)
La forme complexe est la même représentation via e^(iθ)=cosθ+i sinθ. Pour f réelle, c₋ₙ est le conjugué de cₙ : les termes appariés donnent un résultat réel. Pour n>0, Rₙ=2|cₙ|, pas |cₙ|.
12. Applications : chaleur, signaux et limites d’échantillonnage
Pour la chaleur périodique en θ, chaque harmonique évolue séparément. u_τ=κu_θθ, κ>0, avec profil initial g(θ), atténue le mode n par e^(−κn²τ) : les structures fines décroissent plus vite. Pour τ>0, la série devient très régulière ; la moyenne reste inchangée.
u(θ,τ)=a₀/2+Σₙ₌₁∞e^(−κn²τ)[aₙcos(nθ)+bₙsin(nθ)]
Pour les signaux, le spectre indique fréquences, amplitudes et phases. Les séries concernent les fonctions périodiques à fréquences discrètes ; la transformée est un autre outil, typiquement pour signaux non périodiques et fréquences continues. La DFT part d’un nombre fini d’échantillons et ne donne pas automatiquement les intégrales analytiques.
θⱼ=2πj/M ⇒ cos(Mθⱼ)=1, j=0,…,M−1
C’est l’aliasing : une harmonique d’ordre M ressemble à une constante aux nœuds. Un graphe échantillonné peut cacher des oscillations ou suggérer de mauvais coefficients. Le laboratoire utilise des coefficients analytiques tout en signalant que les graphes sont échantillonnés.
13. Exemple complet : période 4, amplitude 2, niveau 1
Soit g le créneau normalisé et f(t)=1+2g(πt/2). T=4, ω₀=π/2, moyenne 1. Niveaux −1 et 3 : saut de 4. Trois harmoniques non nulles demandent N=5.
a₀=2; aₙ=0
bₙ=8/(πn) (n=1,3,5,…); b₂ₖ=0
S₅(t)=1+(8/π)[sin(πt/2)+sin(3πt/2)/3+sin(5πt/2)/5]
S₅(0)=1
S₅(1)=1+(8/π)(1−1/3+1/5)=1+104/(15π)≈3.207
En t=0, la somme donne le point moyen 1. En t=1 la fonction vaut 3 et la somme le dépasse, mais ce n’est pas le premier maximum près du saut : M=3 donne t*=T/(4M)=1/3. Une valeur observée n’est pas automatiquement un maximum.
RMS₅²=4[1−(8/π²)(1+1/9+1/25)]
La dernière formule mesure l’erreur quadratique moyenne sur la période. Elle ne borne pas chaque erreur ponctuelle par RMS : près du saut, elle peut être bien plus grande.
14. Le laboratoire et une méthode de travail
Choisir un des huit signaux puis A,C,T,N ; l’impulsion propose aussi q. Premier graphe : f et S_N, puis σ_N si activé. Le zoom suit un saut sans changer le domaine. h isole une harmonique, h=0 la moyenne. Le spectre montre les amplitudes ; la table conserve signes et phases.
Les RMS viennent de Parseval. Pour les coefficients absolument sommables, des queues donnent aussi des bornes uniformes suffisantes, pas forcément des maxima exacts pour chaque méthode. Avec des sauts, on indique l’obstacle d’au moins un demi-saut : un approximant continu doit se tromper d’un côté. Le maximum sur 401 points est explicitement échantillonné et peut sous-estimer l’erreur globale.
Le dernier signal est déjà fini : g(θ)=0,1+0,6cosθ+0,3sin(2θ)−0,2cos(3θ). Dès N=3 la somme ordinaire est exacte, mais Fejér atténue encore : lisser ne minimise pas toute erreur. Méthode : période et prolongement, symétries, coefficients, type de convergence, puis interprétation des graphes et erreurs.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Une fonction a pour période T=4. Quelles fréquences pour la fondamentale et la troisième harmonique ?
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ν₀=1/T=1/4 ; ω₀=2π/T=π/2. Troisième harmonique : fréquence 3/T=3/4 et pulsation 3π/2. Fréquence et pulsation sont distinctes.
2. Pour f(t)=3, que valent a₀ et la moyenne ?
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a₀=(2/T)·3T=6. La moyenne est a₀/2=3 ; les autres coefficients sont nuls. Le facteur 1/2 est essentiel.
3. Quels coefficients disparaissent pour le créneau impair ?
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La parité impaire annule a₀ et tous les aₙ. Ici bₙ=2[1−(−1)ⁿ]/(πn) : zéro pour n pair, 4/(πn) pour n impair. La seule imparité ne suffit pas à annuler les bₙ pairs en général.
4. N=5 et N=6 donnent-ils le même créneau approché ?
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Oui pour S_N : l’harmonique 6 est nulle, restent 1,3,5. Non pour σ_N : les poids passent de 1−k/6 à 1−k/7. N est l’indice maximal, pas le nombre de termes non nuls.
5. La dent de scie vaut θ/π sur (−π,π). Limite de la série en π ?
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Les limites périodiques latérales sont 1 et −1 : convergence vers (1−1)/2=0. Changer seulement la valeur en π ne change pas les intégrales des coefficients.
6. Pourquoi la série de |θ|/π converge-t-elle uniformément ?
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Moyenne 1/2 ; bₙ=0 et aₙ=−4/(π²n²) pour n impair, zéro sinon. La majoration sommable 4/(π²n²) donne la convergence uniforme, par M, vers le prolongement continu.
7. Une impulsion centrée occupe 40 % de la période. Moyenne et premier coefficient ?
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q=0,4. Moyenne q=0,4 et a₀=0,8. Symétrie : bₙ=0 ; a₁=2sin(0,4π)/π≈0,60546. Ne pas confondre hauteur et durée relative.
8. Quel dépassement asymptotique de Gibbs pour un saut de −1 à 3 ?
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Saut J=4. Dépassement tendant vers 0,089489872…·4≈0,3579595 au-dessus de 3 : premier maximum vers 3,3579595. Pourcentage du saut, pas du niveau haut ; valeur différente à N fini.
9. Quels poids utilise Fejér pour N=3 ?
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σ₃=(S₀+S₁+S₂+S₃)/4. Harmonique 1 présente trois fois, 2 deux fois, 3 une fois : poids 3/4,1/2,1/4. La moyenne ne change pas.
10. Pour f(θ)=2cos(3θ), erreur RMS à N=2 et N=3 ?
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Seul a₃=2 est non nul. S₂=0 : RMS²=(1/2)·2²=2, RMS=√2. S₃=f : RMS=0. Le facteur 1/2 est la moyenne de cos² sur une période.
11. Le lissage de Fejér améliore-t-il toujours le RMS ?
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Non. Pour g=0,1+0,6cosθ+0,3sin2θ−0,2cos3θ, S₃=g et RMS=0. σ₃ atténue des coefficients exacts : RMS=√[(0,15²+0,15²+0,15²)/2]=√0,03375≈0,18371. La somme ordinaire est la projection quadratique optimale au degré fixé.
12. Avec T=4,A=2,C=1,N=5, la valeur en t=1 est-elle le premier maximum ?
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Non. S₅(1)=1+104/(15π)≈3,207. M=3 harmoniques impaires : premier maximum près du saut en 0 à t*=T/(4M)=1/3. En t=0 la somme vaut le point moyen 1.
Avant : suites et séries de fonctions · Index du parcours