Un segnale periodico può sembrare quadrato, triangolare o irregolare: la sua serie di Fourier lo studia attraverso oscillazioni semplici. Ma «sommare seni e coseni» non basta: dobbiamo sapere come scegliere i coefficienti, a quale valore converge la somma e quale errore stiamo misurando. Partiamo da periodo e ortogonalità, svolgiamo esempi completi e arriviamo a Gibbs, alle medie di Fejér e al significato dello spettro. Servono integrali, trigonometria e il capitolo su successioni e serie di funzioni.
Laboratorio: costruire una serie di Fourier · Indice del percorso
1. Periodo, frequenza e armoniche
f(t+T)=f(t); T>0
ν₀=1/T; ω₀=2π/T
cos(nω₀t), sin(nω₀t); n=1,2,…
La fondamentale compie un’oscillazione in T; l’armonica n ne compie n. Se t è in secondi, n/T è la frequenza in hertz e nω₀ la pulsazione in radianti al secondo. N è l’armonica massima inclusa, non il numero di termini non nulli: se compaiono solo 1,3,5, per includerli tutti serve N=5.
Taylor usa polinomi per descrivere una funzione vicino a un punto; Fourier usa funzioni trigonometriche per descrivere un intero periodo. Se assegniamo una funzione su un intervallo e poi ne prendiamo il prolungamento periodico, le giunzioni agli estremi fanno parte del problema: possono introdurre salti anche se il tratto interno è regolare.
2. Ortogonalità: da dove vengono i coefficienti
Su [−π,π] seni e coseni di frequenze intere diverse sono ortogonali: l’integrale del loro prodotto è zero. Per verificarlo basta trasformare prodotti in somme, ad esempio 2cos(nθ)cos(mθ)=cos((n−m)θ)+cos((n+m)θ). Se n=m rimane un termine costante che non si annulla.
∫₋π^πcos(nθ)cos(mθ)dθ=πδₙₘ
∫₋π^πsin(nθ)sin(mθ)dθ=πδₙₘ
∫₋π^πsin(nθ)cos(mθ)dθ=0; n,m≥1
∫₋π^π1dθ=2π
δₙₘ vale 1 se n=m e 0 altrimenti. Per le funzioni a quadrato integrabile dei nostri esempi, scegliendo un polinomio trigonometrico di grado N che minimizzi l’integrale dell’errore al quadrato, l’ortogonalità separa i coefficienti. Non occorre fingere di aver già dimostrato un’uguaglianza con una serie infinita: prima definiamo i coefficienti, poi studiamo la convergenza.
S_N(t)=a₀/2+Σₙ₌₁ᴺ[aₙcos(nω₀t)+bₙsin(nω₀t)]
aₙ=(2/T)∫₋T/2^T/2 f(t)cos(nω₀t)dt, n≥0
bₙ=(2/T)∫₋T/2^T/2 f(t)sin(nω₀t)dt, n≥1
a₀/2=(1/T)∫₋T/2^T/2 f(t)dt
Per T=2L, il fattore 2/T diventa 1/L e la pulsazione nω₀ diventa nπ/L. Il termine costante è a₀/2, perché la norma al quadrato della funzione 1 è doppia di quella di ciascun seno o coseno. Dimenticare questo fattore raddoppia erroneamente la media.
3. Simmetrie, ampiezza e fase
Se f è pari sul periodo centrato, i bₙ sono nulli: un integrando dispari ha integrale zero. Se f è dispari, sono nulli a₀ e tutti gli aₙ. La simmetria dimezza il lavoro, ma non autorizza a eliminare termini senza controllare la funzione e il centro del periodo.
aₙcos(nω₀t)+bₙsin(nω₀t)=Rₙcos(nω₀t−φₙ)
Rₙ=√(aₙ²+bₙ²); φₙ=atan2(bₙ,aₙ)
L’ampiezza spettrale Rₙ è non negativa, mentre aₙ e bₙ possono avere segno. Se Rₙ=0 la fase non è definita: la tabella mostra un trattino, non una fase arbitraria. Per il termine medio si riporta separatamente a₀/2; la sua ampiezza nello spettro è |a₀/2|, non |a₀|.
4. Onda quadra: calcolo completo
Nel periodo normalizzato (−π,π), prendiamo g(θ)=−1 per θ<0 e +1 per θ>0. Nei salti scegliamo il valore medio 0. La funzione è dispari: a₀=aₙ=0. Per i seni integriamo soltanto la metà positiva:
bₙ=(2/π)∫₀^πsin(nθ)dθ
=(2/π)[−cos(nθ)/n]₀^π
=2[1−(−1)ⁿ]/(πn)
b₂ₖ=0; b₂ₖ₊₁=4/[π(2k+1)]
S_N(θ)=(4/π)Σₖ₌₀^⌊(N−1)/2⌋ sin((2k+1)θ)/(2k+1)
N=5 include tre armoniche non nulle, N=6 dà la stessa somma ordinaria: il coefficiente di ordine 6 è zero. La media di Fejér può invece cambiare fra 5 e 6 perché modifica anche i pesi delle armoniche già presenti.
5. Dente di sega: attenzione alla giunzione periodica
Prendiamo g(θ)=θ/π per −π<θ<π e poi ripetiamo il tratto. Anche questa funzione è dispari, ma i seni non hanno tutti lo stesso segno. Integriamo per parti con u=θ e dv=sin(nθ)dθ:
bₙ=(2/π²)∫₀^πθsin(nθ)dθ
=(2/π²)[−θcos(nθ)/n+sin(nθ)/n²]₀^π
=2(−1)^(n+1)/(πn)
g(θ)∼(2/π)[sinθ−sin(2θ)/2+sin(3θ)/3−⋯]
Il simbolo ∼ indica qui la serie di Fourier associata, non una promessa di uguaglianza in ogni punto. Alla giunzione θ=π il limite da sinistra è +1 e quello da destra è −1: la serie converge a 0. Un tratto lineare regolare può quindi produrre Gibbs ai bordi quando viene prolungato periodicamente.
6. Angoli senza salti e altri segnali del laboratorio
L’onda triangolare g(θ)=(2/π)arcsin(sinθ) è dispari e continua, anche alle giunzioni. Integrando per parti i due tratti lineari di [0,π], separati in π/2, si ottengono seni dispari alternati. Per |θ|/π, funzione pari, basta invece integrare θcos(nθ) su [0,π].
g(θ)=(2/π)arcsin(sinθ): a₀=aₙ=0; bₙ=8sin(nπ/2)/(π²n²)
g(θ)=|θ|/π: a₀=1; bₙ=0
aₙ=(2/π²)[θsin(nθ)/n+cos(nθ)/n²]₀^π
=2[(−1)ⁿ−1]/(π²n²)
I coefficienti scendono come 1/n²: la serie dei loro valori assoluti converge, quindi il criterio M dà convergenza uniforme. Un angolo non è un salto del valore: non bisogna applicare automaticamente a esso la costante di Gibbs. Altri due esempi continui sono la parabola periodica e la sinusoide raddrizzata:
g(θ)=(θ/π)²: a₀=2/3; aₙ=4(−1)ⁿ/(π²n²); bₙ=0
g(θ)=max(0,sinθ): a₀=2/π; b₁=1/2
a₂ₖ=−2/[π(4k²−1)], k≥1; a₂ₖ₋₁=0; bₙ=0 (n>1)
Per un impulso centrato, alto 1 e largo la frazione q del periodo, la simmetria dà solo coseni. Integrando la costante sul tratto [−πq,πq] si ottengono media q e coefficienti seguenti; ai due salti il valore scelto nel laboratorio è 1/2.
a₀=2q; aₙ=2sin(nπq)/(πn); bₙ=0
7. A quale valore converge la serie?
Un’ipotesi sufficiente comoda è che il prolungamento periodico sia C¹ a tratti, con un numero finito di tratti e limiti laterali finiti della funzione e delle derivate ai punti di separazione. In queste condizioni le somme ordinarie convergono alla media dei limiti laterali:
lim_N→∞ S_N(t)=[f(t⁻)+f(t⁺)]/2
In un punto continuo questa media è f(t). A un salto può non coincidere con il valore assegnato proprio in quel punto. Cambiare un numero finito di valori non modifica gli integrali dei coefficienti, quindi la serie non può recuperare valori isolati arbitrari. Agli estremi del periodo si confrontano i due lati del prolungamento periodico, non soltanto il tratto disegnato.
Le somme S_N sono continue. Non possono convergere uniformemente, su tutto il periodo, a una funzione con salti. Nei nostri esempi discontinui, il controllo può migliorare lontano dai salti ma non globalmente. Per gli esempi continui con coefficienti assolutamente sommabili, invece, il criterio M garantisce uniformità. La sola osservazione di un grafico vicino alla funzione non sostituisce queste ipotesi.
8. Gibbs: il picco si stringe, non si annulla
Per l’onda quadra, poniamo M=⌊(N+1)/2⌋: abbiamo M armoniche dispari. Derivando la somma finita e usando l’identità per la somma dei coseni troviamo il primo massimo a destra del salto. Qui si può derivare senza teoremi sulle serie infinite, perché la somma è finita.
S_N′(θ)=(4/π)Σⱼ₌₀ᴹ⁻¹cos((2j+1)θ)
=(2/π)sin(2Mθ)/sinθ
θ*=π/(2M); t*=T/(4M)
lim_M→∞S_N(θ*)=(2/π)∫₀^π sin u/u du≈1.178979744
L’ultimo limite è una somma di Riemann dell’integrale del seno. Il livello alto è 1, il salto è 2: il superamento è circa 0,17898, cioè circa l’8,949% del salto, non dell’ampiezza alta 1. Per un salto di altezza J, il limite della sovraelongazione è circa 0,08949J. Con N piccolo la percentuale può essere diversa; il laboratorio calcola il valore finito esatto della somma in t*.
La distanza del massimo dal salto è dell’ordine di 1/N, quindi la zona problematica si restringe. Non c’è contraddizione con la convergenza puntuale: t* si sposta con N e non è un punto fissato una volta per tutte.
9. Le medie di Fejér: stessi coefficienti, pesi diversi
σ_N=(S₀+S₁+⋯+S_N)/(N+1)
=a₀/2+Σₙ₌₁ᴺ(1−n/(N+1))[aₙcos(nω₀t)+bₙsin(nω₀t)]
Un’armonica di ordine n compare in S_n,S_{n+1},…,S_N: in totale N+1−n volte, da cui il peso. La media non è la sola somma degli indici non nulli e include S₀=a₀/2. Le frequenze alte sono attenuate più di quelle basse.
F_N(u)=(1/(N+1))[sin((N+1)u/2)/sin(u/2)]²≥0; u∉2πℤ
F_N(2kπ)=N+1; k∈ℤ
(1/(2π))∫₋π^πF_N(u)du=1
σ_N(θ)=(1/(2π))∫₋π^πg(θ−u)F_N(u)du
Nel periodo normalizzato, il nucleo F_N è non negativo e ha massa totale 1: σ_N è una media pesata dei valori del segnale. Per questo non supera il suo intervallo di valori. Per ogni funzione continua periodica le medie di Fejér convergono uniformemente: la continuità uniforme controlla i contributi vicini, mentre la massa del nucleo lontana da zero tende a zero.
Nei salti dei nostri segnali resta il limite al punto medio e non c’è convergenza uniforme globale a una funzione discontinua. Fejér elimina la sovraelongazione oltre i livelli del segnale, ma allarga la transizione: non è un modo per rendere ogni errore più piccolo a parità di N.
10. Parseval, RMS e migliore approssimazione quadratica
Per f a quadrato integrabile, la completezza delle funzioni trigonometriche in L² dà l’identità di Parseval. Usiamo la media su un periodo, non l’integrale totale: così le unità del suo quadrato sono quelle dell’ampiezza al quadrato e non dipendono dalla scelta di T.
(1/T)∫₋T/2^T/2 |f(t)|²dt=a₀²/4+(1/2)Σₙ₌₁∞(aₙ²+bₙ²)
RMS_N²=(1/T)∫₋T/2^T/2|f−S_N|²dt=(1/2)Σₙ>N(aₙ²+bₙ²)
L’ortogonalità dà anche la proprietà di minimo: per qualsiasi altro polinomio trigonometrico P_N di grado al più N, l’errore quadratico è quello di S_N più il quadrato della distanza fra S_N e P_N. Il termine incrociato è zero. Quindi S_N minimizza RMS, non necessariamente il massimo errore puntuale.
RMS²(f−P_N)=RMS²(f−S_N)+RMS²(S_N−P_N)
RMS²(f−σ_N)=RMS²(f−S_N)
+(1/2)Σₙ₌₁ᴺ[n/(N+1)]²(aₙ²+bₙ²)
Per l’onda quadra normalizzata la media di f² vale 1; per dente di sega e triangolare vale 1/3. Nel laboratorio questi integrali e i coefficienti sono analitici: non stimiamo RMS dal disegno. Un RMS piccolo può coesistere con Gibbs: una regione stretta pesa poco nell’integrale ma conta ancora per l’errore uniforme.
11. Ampiezza, livello medio, periodo e forma complessa
f(t)=C+A g(2πt/T)
a₀(f)=2C+A a₀(g)
aₙ(f)=A aₙ(g); bₙ(f)=A bₙ(g), n≥1
Nel laboratorio cambiare T dilata il segnale mantenendo fissato il profilo normalizzato g. Cambiano le frequenze n/T, non le ampiezze dei coefficienti. A moltiplica tutte le parti variabili; C modifica solo il termine medio. Se g ha media μ, f ha media C+Aμ: C non è necessariamente la media totale.
cₖ=(1/T)∫₋T/2^T/2 f(t)e^(−ikω₀t)dt
c₀=a₀/2; cₙ=(aₙ−ibₙ)/2; c₋ₙ=(aₙ+ibₙ)/2
S_N(t)=Σₖ₌₋ᴺᴺcₖe^(ikω₀t)
La forma complessa è la stessa rappresentazione scritta con e^(iθ)=cosθ+i sinθ. Per f reale, c₋ₙ è il coniugato di cₙ: i contributi complessi si combinano in un risultato reale. Non confondere |cₙ| con l’ampiezza reale Rₙ: per n>0 vale Rₙ=2|cₙ|.
12. Applicazioni: calore, segnali e limiti del campionamento
Per un problema del calore periodico in θ, ogni armonica evolve separatamente. L’equazione u_τ=κu_θθ, con κ>0 e dato iniziale g(θ), attenua la frequenza n con e^(−κn²τ): le strutture più fini si smorzano più rapidamente. Per τ>0 questo fattore rende la serie molto regolare; il valore medio rimane invariato.
u(θ,τ)=a₀/2+Σₙ₌₁∞e^(−κn²τ)[aₙcos(nθ)+bₙsin(nθ)]
Per i segnali, lo spettro dice quali frequenze contribuiscono, con quale ampiezza e fase. La serie di Fourier riguarda una funzione periodica e frequenze discrete; la trasformata di Fourier è un altro strumento, tipicamente per segnali non periodici e frequenze continue. La DFT calcola invece coefficienti da un numero finito di campioni: non coincide automaticamente con gli integrali analitici.
θⱼ=2πj/M ⇒ cos(Mθⱼ)=1, j=0,…,M−1
Quest’ultimo esempio mostra l’aliasing: ai nodi una vera armonica di ordine M sembra una costante. Un disegno campionato può quindi nascondere oscillazioni o suggerire coefficienti sbagliati. Il laboratorio evita questo equivoco usando formule analitiche per i coefficienti, pur dichiarando il carattere campionato dei grafici.
13. Un esempio completo: periodo 4, ampiezza 2 e livello 1
Sia g l’onda quadra normalizzata e f(t)=1+2g(πt/2). Abbiamo T=4, ω₀=π/2 e media 1. I livelli sono −1 e 3, quindi il salto vale 4. Per conservare tre armoniche non nulle scegliamo N=5.
a₀=2; aₙ=0
bₙ=8/(πn) (n=1,3,5,…); b₂ₖ=0
S₅(t)=1+(8/π)[sin(πt/2)+sin(3πt/2)/3+sin(5πt/2)/5]
S₅(0)=1
S₅(1)=1+(8/π)(1−1/3+1/5)=1+104/(15π)≈3.207
In t=0 siamo sul salto e la somma vale il punto medio 1. In t=1 la funzione vale 3 e la somma finita lo supera: questo punto non è però il primo massimo vicino al salto, che per M=3 si trova in t*=T/(4M)=1/3. Non bisogna confondere un valore osservato con il massimo del grafico.
RMS₅²=4[1−(8/π²)(1+1/9+1/25)]
L’ultima formula misura l’errore quadratico sull’intero periodo. Non afferma che l’errore in ogni punto sia minore di RMS: vicino al salto può essere molto più grande.
14. Il laboratorio e una procedura di studio
Scegli uno degli otto segnali, poi modifica A, C, T e N. L’impulso permette anche di cambiare la frazione q. Il primo grafico confronta funzione e S_N; attivando Fejér aggiunge σ_N. Lo zoom segue un salto senza cambiare il dominio periodico. Il cursore h isola una singola armonica, con h=0 riservato alla media. Lo spettro mostra le ampiezze e la tabella conserva coefficienti con segno e fasi.
Gli errori RMS sono ricavati da Parseval. Per le funzioni a coefficienti assolutamente sommabili mostriamo anche limiti superiori dell’errore uniforme ottenuti dalle code dei coefficienti; sono stime sufficienti, non necessariamente i massimi esatti per ogni metodo. Nei segnali con salti indichiamo invece l’ostacolo di almeno metà salto: ogni approssimante continuo deve sbagliare da almeno un lato. Il massimo su 401 campioni della finestra è etichettato come campionato e può sottostimare l’errore globale.
Il segnale finale è già finito: g(θ)=0,1+0,6cosθ+0,3sin(2θ)−0,2cos(3θ). Da N=3 la somma ordinaria è esatta nel modello, ma Fejér attenua ancora le frequenze: è un controllo utile per vedere che smussare non significa minimizzare ogni errore. Procedura generale: scegli periodo e prolungamento, controlla simmetrie, calcola coefficienti, dichiara il tipo di convergenza e solo dopo interpreta grafico ed errore.
Esercizi: prova prima di aprire
1. Una funzione ha periodo T=4. Quali frequenze hanno la fondamentale e la terza armonica?
Mostra la soluzione ragionata
ν₀=1/T=1/4; ω₀=2π/T=π/2. La terza armonica ha frequenza 3/T=3/4 e pulsazione 3π/2. Frequenza e pulsazione non sono lo stesso numero.
2. Per f(t)=3, quanto valgono a₀ e la media?
Mostra la soluzione ragionata
a₀=(2/T)·3T=6. La media è a₀/2=3; tutti gli altri coefficienti sono nulli. Il fattore 1/2 del termine costante è essenziale.
3. Quali coefficienti spariscono nell’onda quadra dispari?
Mostra la soluzione ragionata
La disparità annulla a₀ e tutti gli aₙ. Inoltre bₙ=2[1−(−1)ⁿ]/(πn): gli indici pari danno zero e i dispari 4/(πn). La sola disparità non basta, in generale, ad annullare i bₙ pari.
4. N=5 e N=6 producono la stessa onda quadra approssimata?
Mostra la soluzione ragionata
Sì per S_N: la sesta armonica è nulla e restano 1,3,5. No per σ_N: i pesi passano da 1−k/6 a 1−k/7 anche sulle armoniche già presenti. N indica l’indice massimo, non il numero di termini non nulli.
5. Il dente di sega vale θ/π su (−π,π). A cosa converge la serie in π?
Mostra la soluzione ragionata
I limiti periodici laterali sono 1 e −1, quindi la serie converge a (1−1)/2=0. Cambiare il solo valore assegnato in π non cambia gli integrali dei coefficienti.
6. Perché la serie di |θ|/π converge uniformemente?
Mostra la soluzione ragionata
La media è 1/2; bₙ=0 e aₙ=−4/(π²n²) per n dispari, zero per n pari. I termini sono maggiorati da 4/(π²n²), una serie numerica convergente: il criterio M garantisce convergenza uniforme al prolungamento continuo.
7. Un impulso centrato occupa il 40% del periodo. Quali media e primo coefficiente?
Mostra la soluzione ragionata
q=0,4. La media è q=0,4 e a₀=0,8. Per simmetria bₙ=0; a₁=2sin(0,4π)/π≈0,60546. Altezza e durata relativa non vanno confuse.
8. Un salto da −1 a 3 ha quale sovraelongazione asintotica di Gibbs?
Mostra la soluzione ragionata
Il salto è J=4. La sovraelongazione tende a 0,089489872…·4≈0,3579595 oltre il livello 3, quindi il primo massimo tende a 3,3579595. La percentuale si riferisce al salto, non al livello alto. Con N finito il valore è diverso.
9. Quali pesi usa Fejér con N=3?
Mostra la soluzione ragionata
σ₃=(S₀+S₁+S₂+S₃)/4. L’armonica 1 compare tre volte, la 2 due, la 3 una: pesi 3/4,1/2,1/4. La media compare sempre, quindi resta invariata.
10. Per f(θ)=2cos(3θ), qual è l’errore RMS con N=2 e N=3?
Mostra la soluzione ragionata
Solo a₃=2 è non nullo. S₂=0, perciò RMS²=(1/2)·2²=2 e RMS=√2. S₃=f, quindi RMS=0. Il fattore 1/2 viene dalla media di cos² su un periodo.
11. Smussare con Fejér migliora sempre l’errore RMS?
Mostra la soluzione ragionata
No. Per g=0,1+0,6cosθ+0,3sin2θ−0,2cos3θ, S₃=g e RMS=0. σ₃ attenua coefficienti già esatti; il suo RMS è √[(0,15²+0,15²+0,15²)/2]=√0,03375≈0,18371. La somma ordinaria è la proiezione ottima in norma quadratica al grado dato.
12. Nell’esempio T=4,A=2,C=1,N=5, il valore in t=1 è il primo massimo?
Mostra la soluzione ragionata
No. S₅(1)=1+104/(15π)≈3,207. Ci sono M=3 armoniche dispari; il primo massimo vicino al salto in 0 è in t*=T/(4M)=1/3. In t=0 la somma vale il punto medio 1.
Prima: successioni e serie di funzioni · Indice del percorso