Una señal periódica puede ser cuadrada, triangular o irregular: Fourier la estudia mediante oscilaciones simples. Pero sumar senos y cosenos no basta: hay que elegir coeficientes, conocer el límite y precisar el error medido. Empezamos con período, ortogonalidad y ejemplos, hasta Gibbs, Fejér y espectros. Se necesitan integrales, trigonometría y sucesiones y series de funciones.
Laboratorio: construir una serie de Fourier · Índice del recorrido
1. Período, frecuencia y armónicos
f(t+T)=f(t); T>0
ν₀=1/T; ω₀=2π/T
cos(nω₀t), sin(nω₀t); n=1,2,…
La fundamental completa una oscilación en T; el armónico n completa n. Si t está en segundos, n/T es frecuencia en hercios y nω₀ frecuencia angular en radianes por segundo. N es el índice máximo, no el número de términos no nulos: para 1,3,5 se necesita N=5.
Taylor usa polinomios cerca de un punto; Fourier describe un período completo con funciones trigonométricas. Extender periódicamente un tramo obliga a estudiar las uniones: pueden introducir saltos aunque el interior sea regular.
2. Ortogonalidad: de dónde salen los coeficientes
En [−π,π], senos y cosenos de distintas frecuencias enteras son ortogonales: la integral de su producto es cero. Usa identidades producto-suma, como 2cos(nθ)cos(mθ)=cos((n−m)θ)+cos((n+m)θ). Si n=m queda un término constante.
∫₋π^πcos(nθ)cos(mθ)dθ=πδₙₘ
∫₋π^πsin(nθ)sin(mθ)dθ=πδₙₘ
∫₋π^πsin(nθ)cos(mθ)dθ=0; n,m≥1
∫₋π^π1dθ=2π
δₙₘ vale 1 si n=m y 0 en otro caso. Para nuestros ejemplos de cuadrado integrable, minimizar el error cuadrático entre polinomios trigonométricos de grado N separa coeficientes por ortogonalidad. No hay que suponer una igualdad infinita antes de probarla: primero coeficientes, luego convergencia.
S_N(t)=a₀/2+Σₙ₌₁ᴺ[aₙcos(nω₀t)+bₙsin(nω₀t)]
aₙ=(2/T)∫₋T/2^T/2 f(t)cos(nω₀t)dt, n≥0
bₙ=(2/T)∫₋T/2^T/2 f(t)sin(nω₀t)dt, n≥1
a₀/2=(1/T)∫₋T/2^T/2 f(t)dt
Para T=2L, 2/T es 1/L y nω₀ es nπ/L. El término constante es a₀/2 porque la norma al cuadrado de 1 es doble de la de cada seno o coseno. Omitirlo duplica incorrectamente la media.
3. Simetrías, amplitud y fase
Si f es par en el período centrado, bₙ son nulos porque integrandos impares integran cero. Si es impar, a₀ y todos los aₙ son nulos. La simetría reduce el trabajo, tras comprobar función y centro.
aₙcos(nω₀t)+bₙsin(nω₀t)=Rₙcos(nω₀t−φₙ)
Rₙ=√(aₙ²+bₙ²); φₙ=atan2(bₙ,aₙ)
Rₙ es no negativa, aunque aₙ y bₙ pueden tener signo. Si Rₙ=0 la fase no está definida: la tabla muestra un guion. La media es a₀/2; su amplitud representada es |a₀/2|, no |a₀|.
4. Onda cuadrada: cálculo completo
En (−π,π), toma g(θ)=−1 si θ<0 y +1 si θ>0, asignando promedio 0 en saltos. Por imparidad a₀=aₙ=0. Para senos integra la mitad positiva:
bₙ=(2/π)∫₀^πsin(nθ)dθ
=(2/π)[−cos(nθ)/n]₀^π
=2[1−(−1)ⁿ]/(πn)
b₂ₖ=0; b₂ₖ₊₁=4/[π(2k+1)]
S_N(θ)=(4/π)Σₖ₌₀^⌊(N−1)/2⌋ sin((2k+1)θ)/(2k+1)
N=5 incluye tres armónicos no nulos; N=6 da la misma suma ordinaria porque el coeficiente 6 es cero. Fejér puede cambiar entre 5 y 6 al cambiar los pesos de armónicos ya presentes.
5. Diente de sierra: cuidado con la unión
Toma g(θ)=θ/π para −π<θ<π y repite el tramo. También es impar, pero alternan signos. Integra por partes con u=θ y dv=sin(nθ)dθ:
bₙ=(2/π²)∫₀^πθsin(nθ)dθ
=(2/π²)[−θcos(nθ)/n+sin(nθ)/n²]₀^π
=2(−1)^(n+1)/(πn)
g(θ)∼(2/π)[sinθ−sin(2θ)/2+sin(3θ)/3−⋯]
Aquí ∼ indica la serie asociada, no igualdad en cada valor asignado. En θ=π el límite izquierdo es +1 y el derecho −1: la serie converge a 0. Un tramo lineal regular puede generar Gibbs en bordes al extenderse periódicamente.
6. Esquinas sin saltos y otras señales
La onda triangular g(θ)=(2/π)arcsin(sinθ) es impar y continua incluso en las uniones. Integrar por partes los tramos lineales de [0,π], separados en π/2, da senos impares alternados. Para |θ|/π, par, integra θcos(nθ) en [0,π].
g(θ)=(2/π)arcsin(sinθ): a₀=aₙ=0; bₙ=8sin(nπ/2)/(π²n²)
g(θ)=|θ|/π: a₀=1; bₙ=0
aₙ=(2/π²)[θsin(nθ)/n+cos(nθ)/n²]₀^π
=2[(−1)ⁿ−1]/(π²n²)
Los coeficientes decrecen como 1/n²: su suma absoluta converge y M da uniformidad. Una esquina no es un salto de valor; no debe aplicársele automáticamente la constante de Gibbs. Otros ejemplos continuos son la parábola periódica y el seno rectificado:
g(θ)=(θ/π)²: a₀=2/3; aₙ=4(−1)ⁿ/(π²n²); bₙ=0
g(θ)=max(0,sinθ): a₀=2/π; b₁=1/2
a₂ₖ=−2/[π(4k²−1)], k≥1; a₂ₖ₋₁=0; bₙ=0 (n>1)
Para un pulso centrado de altura 1 y duración q del período, la simetría da solo cosenos. Integrar en [−πq,πq] da media q y estos coeficientes; el laboratorio asigna 1/2 en ambos saltos.
a₀=2q; aₙ=2sin(nπq)/(πn); bₙ=0
7. ¿A qué valor converge la serie?
Una hipótesis suficiente cómoda es que la extensión periódica sea C¹ a trozos, con finitos trozos y límites laterales finitos de función y derivadas en separaciones. Las sumas ordinarias convergen entonces al promedio de límites laterales:
lim_N→∞ S_N(t)=[f(t⁻)+f(t⁺)]/2
En puntos continuos el promedio es f(t). En un salto puede diferir del valor asignado al punto. Cambiar finitos valores no cambia integrales de coeficientes, así que la serie no recupera valores aislados arbitrarios. En extremos compara ambos lados de la extensión periódica.
Cada S_N es continua y no puede converger uniformemente en todo el período a una función con saltos. Nuestros ejemplos discontinuos mejoran lejos de saltos sin uniformidad global. En ejemplos continuos con coeficientes absolutamente sumables, M sí garantiza uniformidad. Una gráfica cercana no sustituye hipótesis.
8. Gibbs: el pico se estrecha, no desaparece
Para la onda cuadrada, M=⌊(N+1)/2⌋ cuenta armónicos impares. Deriva la suma finita y usa la identidad de suma de cosenos para localizar el primer máximo a la derecha del salto. No hace falta un teorema de derivación infinita para una suma finita.
S_N′(θ)=(4/π)Σⱼ₌₀ᴹ⁻¹cos((2j+1)θ)
=(2/π)sin(2Mθ)/sinθ
θ*=π/(2M); t*=T/(4M)
lim_M→∞S_N(θ*)=(2/π)∫₀^π sin u/u du≈1.178979744
El último límite es una suma de Riemann de la integral del seno. Nivel alto 1 y salto 2: exceso ≈0,17898, el 8,949% del salto, no de la amplitud alta 1. Para salto J, sobreoscilación límite ≈0,08949J. Con N pequeño puede diferir; el laboratorio evalúa la suma finita en t*.
La distancia del máximo es de orden 1/N y la zona se estrecha. No contradice convergencia puntual: t* cambia con N, no queda fijo.
9. Medias de Fejér: mismos coeficientes, distintos pesos
σ_N=(S₀+S₁+⋯+S_N)/(N+1)
=a₀/2+Σₙ₌₁ᴺ(1−n/(N+1))[aₙcos(nω₀t)+bₙsin(nω₀t)]
El armónico n aparece desde S_n hasta S_N, N+1−n veces, de ahí su peso. No se promedian solo índices no nulos y se incluye S₀=a₀/2. Las frecuencias altas se atenúan más.
F_N(u)=(1/(N+1))[sin((N+1)u/2)/sin(u/2)]²≥0; u∉2πℤ
F_N(2kπ)=N+1; k∈ℤ
(1/(2π))∫₋π^πF_N(u)du=1
σ_N(θ)=(1/(2π))∫₋π^πg(θ−u)F_N(u)du
En el período normalizado F_N es no negativo y tiene masa 1: σ_N es una media ponderada que permanece en el rango de valores. Para toda función periódica continua, Fejér converge uniformemente: continuidad uniforme controla contribuciones cercanas y la masa del núcleo lejos de cero tiende a cero.
En saltos de nuestras señales permanece el límite al promedio, sin uniformidad global hacia una función discontinua. Fejér elimina sobrepasar niveles pero ensancha transiciones: no reduce todos los errores con igual N.
10. Parseval, RMS y mejor aproximación cuadrática
Para f de cuadrado integrable, la completitud trigonométrica en L² da Parseval. Usamos la media del período, no integral total: unidades de amplitud al cuadrado, independientes de T.
(1/T)∫₋T/2^T/2 |f(t)|²dt=a₀²/4+(1/2)Σₙ₌₁∞(aₙ²+bₙ²)
RMS_N²=(1/T)∫₋T/2^T/2|f−S_N|²dt=(1/2)Σₙ>N(aₙ²+bₙ²)
La ortogonalidad da optimalidad: para otro polinomio trigonométrico P_N de grado ≤N, el error cuadrático es el de S_N más la distancia cuadrática entre S_N y P_N. El término cruzado es cero. S_N minimiza RMS, no necesariamente el máximo error puntual.
RMS²(f−P_N)=RMS²(f−S_N)+RMS²(S_N−P_N)
RMS²(f−σ_N)=RMS²(f−S_N)
+(1/2)Σₙ₌₁ᴺ[n/(N+1)]²(aₙ²+bₙ²)
La media cuadrática es 1 para la onda cuadrada normalizada y 1/3 para sierra y triangular. Integrales y coeficientes del laboratorio son analíticos, no estimados del dibujo. RMS pequeño puede coexistir con Gibbs: una zona estrecha pesa poco en la integral, pero cuenta en error uniforme.
11. Amplitud, media, período y forma compleja
f(t)=C+A g(2πt/T)
a₀(f)=2C+A a₀(g)
aₙ(f)=A aₙ(g); bₙ(f)=A bₙ(g), n≥1
En el laboratorio, T estira la señal manteniendo g fijo. Cambian frecuencias n/T, no amplitudes de coeficientes. A escala componentes variables y C solo cambia el término medio. Si g tiene media μ, la de f es C+Aμ: C no es necesariamente la media total.
cₖ=(1/T)∫₋T/2^T/2 f(t)e^(−ikω₀t)dt
c₀=a₀/2; cₙ=(aₙ−ibₙ)/2; c₋ₙ=(aₙ+ibₙ)/2
S_N(t)=Σₖ₌₋ᴺᴺcₖe^(ikω₀t)
La forma compleja es la misma representación usando e^(iθ)=cosθ+i sinθ. Para f real, c₋ₙ es el conjugado de cₙ y los pares dan un resultado real. Para n>0, Rₙ=2|cₙ|, no |cₙ|.
12. Aplicaciones: calor, señales y límites del muestreo
En calor periódico en θ, los armónicos evolucionan por separado. u_τ=κu_θθ, κ>0, con perfil inicial g(θ), atenúa el modo n por e^(−κn²τ): los detalles finos decaen más rápido. Para τ>0 la serie se regulariza y la media no cambia.
u(θ,τ)=a₀/2+Σₙ₌₁∞e^(−κn²τ)[aₙcos(nθ)+bₙsin(nθ)]
En señales, el espectro identifica frecuencias, amplitudes y fases. Las series tratan funciones periódicas y frecuencias discretas; la transformada es otra herramienta, típicamente para señales no periódicas y frecuencias continuas. Una DFT usa finitas muestras y no equivale automáticamente a integrales analíticas.
θⱼ=2πj/M ⇒ cos(Mθⱼ)=1, j=0,…,M−1
Esto muestra aliasing: un armónico de orden M parece constante en los nodos. Una gráfica muestreada puede ocultar oscilaciones o sugerir coeficientes erróneos. El laboratorio usa fórmulas analíticas y declara que las gráficas son ilustraciones muestreadas.
13. Ejemplo completo: período 4, amplitud 2, nivel 1
Sea g la onda cuadrada normalizada y f(t)=1+2g(πt/2). T=4, ω₀=π/2 y media 1. Niveles −1 y 3: salto 4. Tres armónicos no nulos requieren N=5.
a₀=2; aₙ=0
bₙ=8/(πn) (n=1,3,5,…); b₂ₖ=0
S₅(t)=1+(8/π)[sin(πt/2)+sin(3πt/2)/3+sin(5πt/2)/5]
S₅(0)=1
S₅(1)=1+(8/π)(1−1/3+1/5)=1+104/(15π)≈3.207
En t=0 la suma da el promedio 1 del salto. En t=1 la función vale 3 y la suma la supera, pero no es el primer máximo junto al salto: M=3 da t*=T/(4M)=1/3. Un valor observado no es automáticamente un máximo.
RMS₅²=4[1−(8/π²)(1+1/9+1/25)]
La fórmula final mide error cuadrático medio del período. No acota cada error puntual por RMS: cerca del salto puede ser mucho mayor.
14. El laboratorio y un método de estudio
Elige una de las ocho señales y cambia A,C,T,N; el pulso también permite q. La primera gráfica compara f y S_N, con σ_N opcional. El zoom sigue un salto sin cambiar dominio. h aísla un armónico, h=0 la media. El espectro muestra amplitudes y la tabla conserva signos y fases.
Los RMS vienen de Parseval. Para coeficientes absolutamente sumables mostramos cotas uniformes por colas: suficientes, no necesariamente máximos exactos de cada método. Con saltos se muestra un obstáculo de al menos medio salto: un aproximante continuo falla en algún lado. El máximo en 401 puntos es muestreado y puede subestimar el error global.
La última señal ya es finita: g(θ)=0,1+0,6cosθ+0,3sin(2θ)−0,2cos(3θ). Desde N=3 la suma ordinaria es exacta, pero Fejér aún atenúa: suavizar no minimiza todo error. Método: período y extensión, simetrías, coeficientes, tipo de convergencia y después interpretación de gráficas y errores.
Ejercicios: intenta antes de revelar
1. Una función tiene período T=4. ¿Frecuencias fundamental y del tercer armónico?
Mostrar la solución razonada
ν₀=1/T=1/4; ω₀=2π/T=π/2. El tercer armónico tiene frecuencia 3/T=3/4 y frecuencia angular 3π/2. Son magnitudes distintas.
2. Para f(t)=3, ¿cuánto valen a₀ y la media?
Mostrar la solución razonada
a₀=(2/T)·3T=6. La media es a₀/2=3; los demás coeficientes son cero. El factor 1/2 es esencial.
3. ¿Qué coeficientes desaparecen en la onda cuadrada impar?
Mostrar la solución razonada
La imparidad anula a₀ y todos los aₙ. Aquí bₙ=2[1−(−1)ⁿ]/(πn): cero para n par, 4/(πn) para n impar. La imparidad por sí sola no anula los bₙ de índice par en general.
4. ¿N=5 y N=6 dan la misma aproximación cuadrada?
Mostrar la solución razonada
Sí para S_N: el armónico 6 es cero y quedan 1,3,5. No para σ_N: los pesos pasan de 1−k/6 a 1−k/7. N es el índice máximo, no la cantidad de términos no nulos.
5. La sierra vale θ/π en (−π,π). ¿Límite de la serie en π?
Mostrar la solución razonada
Los límites laterales periódicos son 1 y −1: la serie converge a (1−1)/2=0. Cambiar solo el valor asignado en π no cambia los coeficientes.
6. ¿Por qué la serie de |θ|/π converge uniformemente?
Mostrar la solución razonada
Media 1/2; bₙ=0 y aₙ=−4/(π²n²) para n impar, cero si es par. La cota sumable 4/(π²n²) permite aplicar M: convergencia uniforme a la extensión continua.
7. Un pulso centrado ocupa 40% del período. ¿Media y primer coeficiente?
Mostrar la solución razonada
q=0,4. Media q=0,4 y a₀=0,8. Por simetría bₙ=0; a₁=2sin(0,4π)/π≈0,60546. Altura y duración relativa son distintas.
8. ¿Sobreoscilación asintótica de Gibbs para un salto de −1 a 3?
Mostrar la solución razonada
Salto J=4. El exceso tiende a 0,089489872…·4≈0,3579595 sobre 3: primer máximo hacia 3,3579595. El porcentaje es del salto, no del nivel alto; a N finito difiere.
9. ¿Qué pesos usa Fejér con N=3?
Mostrar la solución razonada
σ₃=(S₀+S₁+S₂+S₃)/4. El armónico 1 aparece tres veces, el 2 dos, el 3 una: pesos 3/4,1/2,1/4. La media no cambia.
10. Para f(θ)=2cos(3θ), ¿error RMS con N=2 y N=3?
Mostrar la solución razonada
Solo a₃=2 es no nulo. S₂=0: RMS²=(1/2)·2²=2 y RMS=√2. S₃=f: RMS=0. El factor 1/2 es la media de cos² en un período.
11. ¿Suavizar con Fejér siempre mejora el RMS?
Mostrar la solución razonada
No. Para g=0,1+0,6cosθ+0,3sin2θ−0,2cos3θ, S₃=g y RMS=0. σ₃ atenúa coeficientes exactos: RMS=√[(0,15²+0,15²+0,15²)/2]=√0,03375≈0,18371. La suma ordinaria es la proyección cuadrática óptima al grado dado.
12. Con T=4,A=2,C=1,N=5, ¿el valor en t=1 es el primer máximo?
Mostrar la solución razonada
No. S₅(1)=1+104/(15π)≈3,207. Hay M=3 armónicos impares: primer máximo cerca del salto en 0 en t*=T/(4M)=1/3. En t=0 la suma vale el promedio 1.
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