Esta es la entrada única al recorrido de Análisis. El primer bloque reúne las bases disponibles; el segundo organiza ampliaciones futuras sin presentarlas como publicadas. Cada etapa disponible enlaza teoría y laboratorio, con una comprobación explicada.
Bloque 1 — Fundamentos de análisis: trece etapas
Trece etapas y doce artículos: empezamos por dominios, familias y transformaciones antes de límites. Continuidad, sucesiones, derivadas y estudio de funciones preparan integrales; rotaciones, impropias, series, Taylor y primeras ecuaciones diferenciales completan el bloque. Definidas y rotaciones comparten artículo; sucesiones y Taylor un laboratorio. El segundo bloque en preparación se describe más adelante en este mismo índice.
Antes de empezar: funciones y herramientas algebraicas
Para empezar bastan cálculo con reales, potencias enteras, ecuaciones sencillas y coordenadas cartesianas. No se requieren límites ni derivadas: el primer capítulo construye dominios, imágenes, familias, composición e inversas.
Antes de simplificar, comprueba denominadores no nulos, argumentos logarítmicos positivos y radicandos pares no negativos. Para ln(x−1)/√(4−x), las condiciones dan 1<x<4. El nuevo capítulo inicial desarrolla estas comprobaciones paso a paso; factorizar ayuda a resolver desigualdades.
Funciones elementales: dominio, gráficas, composición e inversas · Estudio de funciones: entender cada paso y construir la gráfica · Factorizar polinomios: elegir el método, paso a paso
1. Funciones elementales: las bases
Leer dominio, imagen y gráfica antes del cálculo.
Reconoce potencias, raíces, valor absoluto, recíproco, exponenciales, logaritmos y trigonométricas. Distingue dominio e imagen, sigue puntos transformados, comprueba composiciones y elige la rama correcta de la inversa. El laboratorio compara fórmulas, conjuntos y gráficas.
Distinguir √(x²)=|x| de (√x)²=x para x≥0, e inversa de recíproco.
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¿Dónde está definida √(3−x) y cuál es su imagen?
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Se exige 3−x≥0, luego x≤3. Dominio (−∞,3], imagen [0,+∞). Se incluye (3,0). Reflexión horizontal y traslación cambian el dominio, no la salida no negativa de la raíz.
2. Límites y primer encuentro con la continuidad
Entender qué ocurre al acercarse a un punto o al infinito.
El límite no coincide necesariamente con el valor en el punto. Estudia ambos lados, puntos excluidos, formas indeterminadas y límites notables; después une límite y continuidad. Las derivadas vienen después: no uses l’Hôpital antes de conocerlas.
Distinguir un hueco, un salto y un comportamiento infinito, justificando la conclusión más allá de una tabla numérica.
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Ejemplo conductor: ¿cuánto vale lim(x→1) x²?
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Vale 1 porque x² es continua en 1. Aquí coincide con f(1), pero no es una propiedad automática de cualquier función o punto.
3. Continuidad y teoremas de las funciones continuas
Pasar de los límites a garantías sobre valores, ceros y extremos.
Comprueba valor, límite e igualdad en el punto; estudia dominios, empalmes y discontinuidades. Valores intermedios y Bolzano aseguran existencia bajo hipótesis precisas; Weierstrass asegura extremos alcanzados en intervalos cerrados y acotados. El laboratorio compara hipótesis, repara empalmes y anima la bisección.
Distinguir criterios suficientes y necesarios, existencia y unicidad, supremo y máximo alcanzado.
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¿Por qué x² en (−1,2) tiene mínimo pero no máximo?
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0 se alcanza en x=0; el supremo 4 no se alcanza porque x=2 está excluido. Weierstrass no se aplica al dominio abierto, pero puede existir mínimo.
4. Sucesiones: del término a la convergencia
Entender qué ocurre cuando el índice entero crece sin límite.
Pasa de fórmulas explícitas y recurrencias a límites, monotonía, subsucesiones y sumas parciales. Distingue la sucesión de términos de la de sumas: términos que tienden a cero no garantizan que una serie converja.
Explicar por qué una gráfica finita no prueba un límite y hallar un N suficiente para precisión ε en los casos tratados.
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Para aₙ=1/n, ¿qué N garantiza |aₙ|<0,05 para todo n≥N?
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Necesitamos n>20: elegimos N=21. El término 20 está en el borde de la banda abierta y no basta. El límite es 0 independientemente de la precisión elegida.
5. Derivadas: medir la variación local
Pasar de secantes a tangente y de variación media a instantánea.
Empieza por el cociente incremental y su límite. Después introduce reglas de derivación, cadena, puntos no derivables y segunda derivada. Rolle y el teorema del valor medio conectan el comportamiento local con el de un intervalo.
Separar altura f(a) y pendiente f′(a), explicar por qué continuidad y derivabilidad no son equivalentes y comprobar las hipótesis.
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Para f(x)=x², ¿cuál es la pendiente en x=1?
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f′(x)=2x y f′(1)=2. El punto es (1,1) y la tangente y=1+2(x-1)=2x-1. La pendiente no es la ordenada.
6. Estudio de funciones: reunir los indicios
Construir un gráfico justificado con dominio, signo, límites y derivadas.
Ahora el estudio es una síntesis: intersecciones, simetrías, asíntotas, crecimiento, extremos y concavidad deben ser compatibles. No basta un gráfico automático ni encontrar f′=0 o f″=0.
Explicar cada rama y distinguir candidatos de extremos o puntos de inflexión realmente comprobados.
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¿Qué cuenta el estudio completo de x²?
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Dominio ℝ; función par y no negativa; único cero 0. f′=2x: decrece hasta 0 y crece después. Mínimo absoluto (0,0). f″=2>0: convexa, sin inflexiones.
7. Integrales indefinidas: reconstruir una función
Buscar F tal que F′=f y entender por qué el resultado es una familia.
Aprende primitiva y constante C, después linealidad, sustitución, partes y fracciones simples. Comprueba derivando. Componentes separadas del dominio pueden tener constantes independientes.
Encontrar primitivas en los casos estudiados y distinguir «no he encontrado una fórmula» de «no existe una primitiva».
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¿Cuál es la familia de primitivas de x²?
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F(x)=x³/3+C, porque (x³/3+C)′=x². En ℝ todas las primitivas difieren en una constante. Una condición como F(1)=2 elige C=5/3.
8. Integrales definidas y áreas: medir una acumulación
Pasar de una familia de primitivas a un número asociado a un intervalo.
Las sumas de Riemann introducen acumulación; el teorema fundamental da F(b)-F(a) bajo sus hipótesis. Distingue integral con signo, área geométrica y área entre curvas; comprueba orientación, intersecciones y puntos impropios.
Explicar por qué una integral puede ser cero sin que el área total lo sea y por qué el número final no lleva +C.
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¿Cuánto valen integral y área bajo x² de 0 a 1?
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∫₀¹x²dx=[x³/3]₀¹=1/3. Como x²≥0, el área geométrica también es 1/3. Para x en [-1,1], en cambio, la integral es 0 y el área 1.
9. Giros: distinguir volumen y área superficial
Elegir la integral correcta después de fijar eje y magnitud.
Girar una región produce un sólido: discos, arandelas o capas miden su volumen. Girar una curva genera una superficie: su área implica longitud de arco y, por tanto, la derivada. Las bases no están incluidas automáticamente en el área lateral.
Indicar eje, radios, posible hueco y unidades: u³ para volumen, u² para superficie.
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¿Qué calculas al girar la región bajo x² en [0,1] alrededor de x?
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El volumen es V=π∫₀¹x⁴dx=π/5. El área generada por la curva sola es S=2π∫₀¹x²√(1+4x²)dx. Para cerrar el sólido, la base no nula añade π al área superficial, no al volumen.
10. Integrales impropias: límites y singularidades
Extender la integral mediante límites sin confundir convergencia y cancelación simétrica.
Estudia intervalos infinitos, extremos singulares y puntos interiores separando los límites necesarios. Usa umbrales de potencias y comparaciones, controla la parte omitida y distingue integral ordinaria y valor principal. El laboratorio muestra total truncado y contribuciones separadas.
Explicar por qué ∫₁∞1/x diverge pero ∫₁∞1/x² converge, y por qué ∫₋₁¹1/x no vale 0 como integral ordinaria.
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¿Cuánto vale ∫₁∞dx/x² y qué falta si paramos en R=100?
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El truncamiento es I(R)=1−1/R, luego el límite es 1. En R=100 obtenemos 0,99 y aún falta 0,01. Un truncamiento finito no es la integral completa: aquí la fórmula de la cola controla la diferencia matemática exacta.
11. Series numéricas y de potencias
Entender cuándo infinitos términos tienen suma finita y cómo controlar la cola.
Distingue término y suma parcial, aprende criterios con sus hipótesis y separa convergencia absoluta y condicional. En series de potencias calcula el radio y estudia cada extremo: el radio solo no determina el intervalo. Este capítulo prepara las representaciones de Taylor.
Explicar por qué aₙ→0 no basta, elegir un criterio adecuado y distinguir cota del resto y error efectivo.
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Para 1+1/2+1/4+… ¿cuántos sumandos garantizan error como máximo 0,001?
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La suma es 2 y el resto tras N sumandos es 2¹⁻ᴺ. Diez dan error 1/512>0,001; once dan 1/1024<0,001. Bastan once, contando el primer término 1.
12. Taylor con resto: aproximar con una garantía
Construir un polinomio local y controlar su posible diferencia con la función.
Utiliza derivadas en el centro a para construir Tₙ. El resto de Lagrange relaciona el error con una cota de la derivada de orden n+1 en todo el segmento. Distingue fórmula finita, resto de Peano y serie infinita: aumentar el orden no siempre garantiza convergencia a la función.
Distinguir error efectivo y cota, comprobar dominio e hipótesis y buscar un orden que certifique una tolerancia.
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En centro 0 y orden 3, ¿qué aproximación y cota del resto obtenemos para exp(0,2)?
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T₃(0,2)=1+0,2+0,2²/2+0,2³/6≈1,221333333. En [0;0,2], M=exp(0,2), luego |R₃|≤M·0,2⁴/24≈0,000081427. El error efectivo ronda 0,000069425 y no es igual a la cota.
13. Primeras ecuaciones diferenciales: describir una evolución
Encontrar una función a partir de una ley de cambio y un dato inicial.
Distingue ecuación y problema inicial. Parte de primitivas, separa sin perder equilibrios, usa el factor integrante para lineales y construye modelos exponenciales, térmicos y logísticos. El laboratorio compara campo, solución, Euler y Heun, comprobando dominio, unicidad y estabilidad.
Verificar una solución y distinguir error numérico, límites del modelo y no unicidad.
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¿Qué función resuelve y′=2t, y(0)=0?
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Integrando obtenemos y=t²+C. El dato impone C=0, luego y=t². Su derivada es 2t e y(0)=0: se verifican ambas condiciones. Heun reproduce aquí los valores nodales en aritmética exacta, mientras Euler introduce diferencia.
Una función, preguntas diferentes
El recorrido con x² muestra por qué no deben confundirse estas operaciones. Cada etapa enlaza al ejemplo correspondiente del laboratorio; intenta antes de abrir la comprobación explicada.
| Pregunta | Respuesta para x² |
|---|---|
| La gráfica de x² | D=ℝ; Im=[0,+∞); f(−x)=f(x) |
| Comportamiento cerca de 1 | lim(x→1)x²=1 |
| Continuidad de x² | lim(x→a)x²=a²=f(a); min[−1,2]=0, max[−1,2]=4 |
| Acercamiento mediante índices enteros | aₙ=(1+1/n)² → 1 |
| Pendiente en 1 | f′(1)=2 |
| Forma del gráfico | Mínimo en (0,0), convexidad, sin inflexión |
| Reconstrucción desde f=x² | F=x³/3+C |
| Acumulación en [0,1] | ∫₀¹x²dx=1/3 |
| Volumen de giro alrededor de x | V=π/5 |
| Cola impropia para x² | ∫₁ᴿx²dx=(R³−1)/3 → +∞ |
| Serie de potencias para x² | 0+0x+1x²+0x³+… = x²; R=∞ |
| Taylor con centro 1 | T₂(x)=1+2(x−1)+(x−1)²=x²; R₂=0 |
| Una ecuación para x² | y′=2t, y(0)=0 ⇒ y=t² |
El puente con algoritmos: aproximaciones numéricas
Bisección y Newton buscan ceros; puntos medios, trapecios, Simpson y Monte Carlo estiman integrales. La introducción de Taylor en Matemáticas → Algoritmos sigue siendo una aplicación numérica; el capítulo de Análisis desarrolla ahora coeficientes, hipótesis, resto de Lagrange y convergencia con laboratorio propio. Una pequeña diferencia entre refinamientos no es por sí sola una cota garantizada.
- Artículo sobre aproximaciones
- Laboratorio: bisección, Newton y Taylor
- Laboratorio: integración numérica y π
Cómo estudiar y repasar
- Lee el problema que motiva la etapa y escribe qué quieres encontrar.
- Intenta un ejemplo en papel indicando dominio, hipótesis y tipo de resultado.
- Usa el laboratorio para explorar y comparar, no para sustituir una demostración por una imagen.
- Abre la solución después del intento e identifica el origen del error.
- Avanza cuando sepas explicar el resultado, no solo aplicar la fórmula.
Para repasar un problema concreto, usa el índice de etapas. Para un estudio completo, sigue el orden propuesto y vuelve al estudio de funciones después de límites y derivadas.
Bloque 2 — Ampliaciones en preparación
Son desarrollos futuros, no enlaces a capítulos publicados. Conservamos un índice: cada ampliación tendrá artículo y laboratorio cuando esté lista.
- Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Situación actual: El primer orden está en las bases.
Próximo paso útil: Oscilaciones, muelles y amortiguamiento animados.
- Sistemas de ecuaciones diferenciales
Situación actual: Ya se introdujeron ecuaciones individuales.
Próximo paso útil: Dos cantidades relacionadas, trayectorias y equilibrios.
- Continuidad uniforme y Heine–Cantor
Situación actual: Continuidad puntual, Bolzano y Weierstrass están disponibles.
Próximo paso útil: Controlar toda una función con una misma elección de δ.
- Series de funciones y convergencia uniforme
Situación actual: Series numéricas y de potencias están en el primer bloque.
Próximo paso útil: Cuándo se pueden intercambiar límites, derivadas e integrales.
- Series de Fourier
Situación actual: Seno y coseno ya forman parte de las bases.
Próximo paso útil: Reconstruir formas y señales sumando ondas.
La meta: elegir el razonamiento, no solo la fórmula
Reconocer si el problema trata de aproximación, variación, reconstrucción o acumulación; elegir la herramienta y justificar sus condiciones. Vuelve a este índice cuando un paso no esté claro.