Decir «aproximadamente» no basta: ¿cuánto podemos equivocarnos? Taylor construye un polinomio con las derivadas en un punto y lo acompaña de un resto. Lo decisivo no es cuántos términos escribimos, sino dónde y con qué precisión podemos usarlos.
Laboratorio de sucesiones y Taylor · Índice del recorrido
1. De la tangente al polinomio
Cerca del centro a, T₀(x)=f(a) conserva el valor; T₁(x)=f(a)+f′(a)(x−a) también la pendiente. Para conservar la segunda derivada añadimos f″(a)(x−a)²/2. No interpolamos datos en puntos distintos ni ajustamos una regresión: imponemos valor y derivadas en un mismo punto.
El centro a y el punto evaluado x no tienen por qué coincidir. h=x−a mide el alejamiento del centro.
2. Por qué aparecen factoriales
Escribimos P(x)=c₀+c₁(x−a)+…+cₙ(x−a)ⁿ. Evaluando en a: P(a)=c₀. Derivando una vez: P′(a)=c₁. Tras k derivadas: P⁽ᵏ⁾(a)=k!cₖ; los términos inferiores desaparecen y los superiores aún contienen x−a.
cₖ=f⁽ᵏ⁾(a)/k!
Tₙ(x)=Σₖ₌₀ⁿ [f⁽ᵏ⁾(a)/k!](x−a)ᵏ
0!=1. El grado es como máximo n: algunos coeficientes pueden ser cero. El caso a=0 se llama Maclaurin. Para sin(x), T₂=T₁=x; el orden máximo 2 no obliga a que el grado real sea 2.
3. Fórmula finita y resto de Lagrange
Una condición suficiente cómoda: f tiene n+1 derivadas continuas en un intervalo abierto que contiene todo el segmento entre a y x. Entonces, para x≠a, existe ξ estrictamente entre a y x tal que:
f(x)=Tₙ(x)+Rₙ(x)
Rₙ(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x−a)ⁿ⁺¹/(n+1)!
Llamamos Rₙ al resto tras Tₙ; otros textos lo llaman Rₙ₊₁. ξ existe, pero normalmente es desconocido. No podemos sustituirlo arbitrariamente por a o x. Para x=a el resto es 0. La fórmula finita no exige que converja una serie infinita.
4. De la identidad a una cota garantizada
Si |f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)|≤M en todo el segmento entre a y x, entonces:
|Rₙ(x)|≤M|x−a|ⁿ⁺¹/(n+1)!
M acota la derivada en todo el segmento, no en unos pocos puntos. El error efectivo es |f(x)−Tₙ(x)|; la cota puede ser mucho mayor. Una cota superior a la tolerancia no certifica la precisión, pero tampoco prueba que la aproximación sea mala.
Bajo las mismas hipótesis, integrar por partes repetidamente da Rₙ(x)=(1/n!)∫ₐˣ f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)(x−t)ⁿdt. Tomando valores absolutos e integrando M|x−t|ⁿ se obtiene la cota. Esta forma integral conecta Taylor con las integrales definidas.
5. Tres ejemplos con control del error
e0.2, centro 0, orden 3. Todas las derivadas de eˣ son eˣ. T₃(0,2)=1+0,2+0,2²/2+0,2³/6=1,221333333… . En [0; 0,2], M=e0.2. El resto es como máximo e0.2·0,2⁴/24≈0,000081427. El error efectivo ronda 0,000069425, menor que la cota.
ln(1,5), centro 0 para f(x)=ln(1+x), orden 4. T₄(0,5)=0,5−0,5²/2+0,5³/3−0,5⁴/4≈0,401041667. La quinta derivada es 24/(1+x)⁵: M=24 en [0; 0,5]. La cota es 0,5⁵/5=0,00625; el error efectivo ronda 0,004423441.
√1,21, centro 0 para √(1+x), orden 2. T₂(0,21)=1+0,21/2−0,21²/8=1,0994875. La tercera derivada es 3/[8(1+x)⁵ᐟ²], así que M=3/8. La cota es 0,0005788125; el valor exacto es 1,1 y el error 0,0005125.
6. Elegir orden y centro
Para sin(0,1), T₃=x−x³/6. Con M=1 la cota de orden 3 es 0,1⁴/24. Pero T₄=T₃ porque el coeficiente de x⁴ es cero: aplicar el teorema en orden 4 da la cota más fina 0,1⁵/120≈8,33·10⁻⁸ sin cambiar el polinomio.
Para estimar e1.1 podemos centrar en a=1: T₂(1,1)=e[1+0,1+0,1²/2]. Importa h=0,1, no x=1,1. Un centro cercano puede requerir menos términos si conocemos sus derivadas.
Para tolerancia δ buscamos M|h|ⁿ⁺¹/(n+1)!≤δ. «Buscar orden» recorre de 0 a 30: el primer orden certificado por esta cota no tiene por qué ser el grado real mínimo con error aceptable.
7. Fórmula finita, serie e intervalo de validez
Para x fijo, Tₙ(x)→f(x) exactamente cuando Rₙ(x)→0 al tender n a infinito. Tener todas las derivadas no basta. Las series de eˣ, sin(x), cos(x) representan sus funciones para todo real.
En centro 0, 1/(1−x)=1+x+x²+… solo para |x|<1. En x=−1 la función vale 1/2 pero las sumas oscilan; en x=1 no está definida. El resto finito exacto es Rₙ=xⁿ⁺¹/(1−x), que permite comprobar la distinción sin gráfica.
ln(1+x)=x−x²/2+x³/3−… representa la función para −1<x≤1; en x=1 converge más lentamente y necesita un argumento aparte. La serie de √(1+x) en 0 también representa la función en ambos extremos −1 y 1. El laboratorio excluye x=−1 para raíz y logaritmo: allí no dispone de la cota por derivadas continuas en el segmento.
Para logaritmo y raíz con centro a>−1, el radio es 1+a; para 1/(1−x), |1−a|. Fuera del radio una fórmula finita con resto puede seguir siendo válida en la misma rama, sin garantizar convergencia al aumentar n. Los extremos requieren un estudio aparte.
8. Resto de Peano: otro límite
Si f es Cⁿ cerca de a, entonces f(x)=Tₙ(x)+o((x−a)ⁿ) cuando x→a. Significa Rₙ(x)/(x−a)ⁿ→0: n es fijo mientras x se acerca al centro. No es n→∞ con x fijo ni proporciona por sí solo un M numérico para certificar error a distancia finita.
Por ejemplo eˣ=1+x+x²/2+o(x²) da limₓ→₀(eˣ−1−x)/x²=1/2. Conservar solo 1+x perdería el primer término no nulo necesario.
9. Tener todas las derivadas no basta
Definimos f(0)=0 y f(x)=e^(−1/x²) para x≠0. Todas las derivadas en 0 son nulas. Fuera de 0 cada derivada es un polinomio en 1/x multiplicado por e^(−1/x²), que tiende a 0 más rápido que cualquier potencia; lo mismo ocurre en los cocientes incrementales en 0.
Todos los Tₙ son nulos. La serie nula converge en todo punto pero solo representa f en 0: fuera es positiva. El laboratorio separa este caso: muestra el error efectivo, sin cota del resto ni búsqueda de orden certificado. El teorema de Lagrange no falla: los restos no tienden a 0 al crecer n.
10. Experimentos y límites del laboratorio
Elige una de siete funciones, centro a, punto x y orden n. Las gráficas comparan función y polinomio; la tabla enumera cₖ y cₖ(x−a)ᵏ. Reproducir aumenta el orden de 0 a 30. El panel distingue valor, aproximación, error numérico y cota de Lagrange, con M calculado analíticamente en el segmento.
Prueba 1/(1−x) en a=0 con x=0,5 y después x=−1. Para eˣ cambia el centro de 0 a 1. El caso plano mantiene a=0. Se rechazan segmentos que crucen polos o fronteras del dominio. Los números están redondeados: las garantías corresponden al polinomio matemático, no a aritmética de intervalos certificada del ordenador.
Ejercicios: intenta antes de revelar
1. Construye T₃ de eˣ en 0.
2. ¿Por qué c₂=f″(a)/2 y no f″(a)?
Mostrar la solución razonada
La segunda derivada de c₂(x−a)² es 2c₂: imponemos 2c₂=f″(a) y dividimos por 2!=2.
3. Estima sin(0,1) con T₄ en 0.
4. ¿Una cota de error 0,01 prueba que el error sea 0,01?
Mostrar la solución razonada
No: solo garantiza |Rₙ|≤0,01. El error efectivo puede ser mucho menor.
5. En centro 0, ¿converge Tₙ de 1/(1−x) en x=−1?
Mostrar la solución razonada
No: 1−1+1−… da sumas 1,0,1,0,… . La función vale 1/2, pero los polinomios no convergen a ella.
6. Calcula limₓ→₀(eˣ−1−x)/x².
Mostrar la solución razonada
eˣ−1−x=x²/2+o(x²); dividir por x² da límite 1/2.
7. ¿Todas las derivadas nulas en 0 implican f idénticamente nula?
Mostrar la solución razonada
No: f(0)=0, f(x)=e^(−1/x²) para x≠0 es positiva fuera de 0 y todas sus derivadas en 0 son nulas.
8. Para ln(1+x), ¿la cota de Lagrange centrada en 0 admite x=−1?
Mostrar la solución razonada
No: ln(0) no está definido y las derivadas no son continuas en ese segmento. Poder calcular un polinomio no basta.
Sucesiones: de los primeros términos a la convergencia · Repasa los límites · Repasa las derivadas