Dire “circa” non basta: quanto possiamo sbagliare? Taylor costruisce un polinomio usando le derivate in un punto e accompagna l’approssimazione con un resto. La domanda decisiva non è quanti termini sappiamo scrivere, ma dove e con quale precisione possiamo usarli.
Successioni e Taylor: laboratorio · Indice del percorso
1. Dalla tangente a un polinomio
Vicino al centro a, T₀(x)=f(a) conserva il valore; T₁(x)=f(a)+f′(a)(x−a) conserva anche la pendenza. Per conservare pure la seconda derivata aggiungiamo f″(a)(x−a)²/2. Non stiamo interpolando dati in punti diversi né adattando una regressione: imponiamo valore e derivate nello stesso punto.
Il centro a e il punto da stimare x non coincidono necessariamente. La quantità h=x−a misura quanto ci allontaniamo dal centro.
2. Perché compaiono i fattoriali
Scriviamo P(x)=c₀+c₁(x−a)+…+cₙ(x−a)ⁿ. Valutando in a: P(a)=c₀. Derivando una volta: P′(a)=c₁. Derivando k volte: P⁽ᵏ⁾(a)=k!cₖ, perché i termini di ordine inferiore spariscono e quelli superiori contengono ancora x−a.
cₖ=f⁽ᵏ⁾(a)/k!
Tₙ(x)=Σₖ₌₀ⁿ [f⁽ᵏ⁾(a)/k!](x−a)ᵏ
0!=1. Il polinomio ha grado al più n: alcuni coefficienti possono essere zero. Il caso a=0 si chiama Maclaurin. Per sin(x), T₂=T₁=x; l’ordine massimo 2 non obbliga il grado effettivo a essere 2.
3. Formula finita e resto di Lagrange
Una condizione sufficiente comoda: f ha n+1 derivate continue in un intervallo aperto che contiene tutto il segmento tra a e x. Allora, per x≠a, esiste ξ strettamente tra a e x tale che:
f(x)=Tₙ(x)+Rₙ(x)
Rₙ(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x−a)ⁿ⁺¹/(n+1)!
Indichiamo con Rₙ il resto dopo Tₙ; altri testi lo chiamano Rₙ₊₁. ξ esiste ma normalmente non lo conosciamo. Non possiamo sostituirlo arbitrariamente con a o con x. Per x=a il resto è 0. La formula finita non richiede che una serie infinita converga.
4. Dall’identità alla maggiorazione garantita
Se |f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)|≤M per ogni t del segmento tra a e x, allora:
|Rₙ(x)|≤M|x−a|ⁿ⁺¹/(n+1)!
M è una maggiorazione su tutto il segmento, non una derivata campionata in pochi punti. L’errore effettivo è |f(x)−Tₙ(x)|; la stima può essere molto più grande. Se la stima supera la tolleranza non abbiamo certificato la precisione, ma non abbiamo dimostrato che l’approssimazione sia cattiva.
Sotto le stesse ipotesi, l’integrazione per parti ripetuta dà Rₙ(x)=(1/n!)∫ₐˣ f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)(x−t)ⁿdt. Prendendo i valori assoluti e integrando M|x−t|ⁿ si ottiene proprio la maggiorazione. Questa forma integrale collega Taylor agli integrali definiti.
5. Tre esempi svolti con controllo dell’errore
e0.2, centro 0, ordine 3. Tutte le derivate di eˣ sono eˣ. T₃(0,2)=1+0,2+0,2²/2+0,2³/6=1,221333333… . Su [0; 0,2], M=e0.2. Il resto è al più e0.2·0,2⁴/24≈0,000081427. L’errore effettivo è circa 0,000069425, minore della stima.
ln(1,5), centro 0 per f(x)=ln(1+x), ordine 4. T₄(0,5)=0,5−0,5²/2+0,5³/3−0,5⁴/4≈0,401041667. La derivata quinta vale 24/(1+x)⁵: su [0; 0,5], M=24. Il resto è al più 0,5⁵/5=0,00625; l’errore effettivo è circa 0,004423441.
√1,21, centro 0 per √(1+x), ordine 2. T₂(0,21)=1+0,21/2−0,21²/8=1,0994875. La derivata terza è 3/[8(1+x)⁵ᐟ²], quindi M=3/8. La stima è 0,0005788125; il valore esatto è 1,1 e l’errore 0,0005125.
6. Scegliere l’ordine e il centro
Per sin(0,1), T₃=x−x³/6. Con M=1 la stima di ordine 3 è 0,1⁴/24. Ma T₄=T₃ perché il coefficiente di x⁴ è nullo: usando il teorema all’ordine 4 otteniamo la stima più fine 0,1⁵/120≈8,33·10⁻⁸, senza cambiare il polinomio.
Per stimare e1.1 possiamo centrare in a=1: T₂(1,1)=e[1+0,1+0,1²/2]. Conta h=0,1, non x=1,1. Un centro vicino può richiedere meno termini, purché conosciamo le derivate in quel centro.
Per una tolleranza δ cerchiamo un ordine per cui M|h|ⁿ⁺¹/(n+1)!≤δ. Nel laboratorio “Trova ordine” cerca da 0 a 30: il primo ordine certificato da questa stima non è necessariamente il grado minimo che avrebbe errore effettivo accettabile.
7. Formula finita, serie e intervallo di validità
Per x fissato, Tₙ(x)→f(x) esattamente quando Rₙ(x)→0 per n→∞. Non basta che f abbia tutte le derivate. Per eˣ, sin(x), cos(x) la serie rappresenta la funzione per ogni x reale.
In centro 0, 1/(1−x)=1+x+x²+… solo per |x|<1. A x=−1, la funzione vale 1/2 ma le somme oscillano; a x=1, la funzione non è definita. Il resto finito esatto è Rₙ=xⁿ⁺¹/(1−x), quindi la distinzione è verificabile senza intuizioni grafiche.
ln(1+x)=x−x²/2+x³/3−… rappresenta la funzione per −1<x≤1; a x=1 converge più lentamente e il bordo richiede un argomento separato. La serie di √(1+x) in centro 0 converge alla funzione anche ai due bordi x=−1 e x=1. Il laboratorio esclude x=−1 per radice e logaritmo: lì la stima con derivate continue sul segmento non è disponibile.
Per logaritmo e radice con centro a>−1, il raggio è 1+a; per 1/(1−x) è |1−a|. Fuori dal raggio una formula finita con resto può ancora essere valida nello stesso ramo del dominio, ma aumentare n non garantisce la convergenza alla funzione. I bordi non si decidono dalla sola disuguaglianza sul raggio.
8. Resto di Peano: un limite diverso
Se f è di classe Cⁿ vicino ad a, allora f(x)=Tₙ(x)+o((x−a)ⁿ) per x→a. Significa che Rₙ(x)/(x−a)ⁿ→0: l’ordine n è fisso e x si avvicina al centro. Non è il limite n→∞ a x fissato, e non fornisce da solo un numero M per certificare un errore a distanza finita.
Per esempio eˣ=1+x+x²/2+o(x²) permette di trovare limₓ→₀(eˣ−1−x)/x²=1/2. Usando solo 1+x non vedremmo il primo termine non nullo necessario.
9. Tutte le derivate non bastano
Definiamo f(0)=0 e f(x)=e^(−1/x²) per x≠0. Tutte le derivate in 0 sono nulle. Infatti, fuori da 0, ogni derivata è un polinomio in 1/x moltiplicato per e^(−1/x²), e questa esponenziale tende a 0 più rapidamente di ogni potenza; lo stesso vale nei quozienti incrementali in 0.
Ogni Tₙ è il polinomio nullo. La serie nulla converge ovunque, ma rappresenta f soltanto in 0: per x≠0 la funzione è positiva. Nel laboratorio questo caso è separato: mostra l’errore effettivo, ma non calcola una maggiorazione del resto né cerca un ordine certificato. Non significa che il teorema di Lagrange sia falso: manca la convergenza dei resti a 0 per n→∞.
10. Esperimenti e limiti del laboratorio
Scegli una delle sette funzioni, imposta centro a, punto x e ordine n. I grafici confrontano funzione e polinomio; la tabella elenca cₖ e cₖ(x−a)ᵏ. Avvia fa crescere l’ordine da 0 a 30. Il riquadro distingue valore della funzione, approssimazione, errore numerico e maggiorazione di Lagrange, con M calcolato analiticamente sul segmento.
Prova 1/(1−x) in a=0 prima a x=0,5, poi a x=−1. Per eˣ cambia il centro da 0 a 1. Il caso piatto mantiene a=0. Non sono accettati segmenti che attraversano poli o bordi del dominio. I risultati numerici sono arrotondati: le garanzie riguardano il polinomio matematico, non costituiscono aritmetica intervallare certificata del calcolatore.
Esercizi: prova prima di aprire
1. Costruisci T₃ di eˣ in 0.
2. Perché c₂=f″(a)/2 e non f″(a)?
Mostra la soluzione ragionata
La derivata seconda di c₂(x−a)² è 2c₂: imponendo 2c₂=f″(a), dividiamo per 2!=2.
3. Stima sin(0,1) con T₄ in 0.
4. Un limite superiore dell’errore pari a 0,01 prova che l’errore è 0,01?
Mostra la soluzione ragionata
No: garantisce soltanto |Rₙ|≤0,01. Il valore effettivo può essere molto minore.
5. In centro 0, Tₙ di 1/(1−x) converge a x=−1?
Mostra la soluzione ragionata
No: 1−1+1−… dà somme 1,0,1,0,… . La funzione vale 1/2 ma i polinomi non vi convergono.
6. Calcola limₓ→₀(eˣ−1−x)/x².
Mostra la soluzione ragionata
eˣ−1−x=x²/2+o(x²); dividendo per x² il limite è 1/2.
7. Tutte le derivate nulle in 0 implicano f identicamente nulla?
Mostra la soluzione ragionata
No: f(0)=0, f(x)=e^(−1/x²) per x≠0 è positiva fuori da 0 e ha ogni derivata nulla in 0.
8. Per ln(1+x), il centro a=0 consente x=−1 nella stima di Lagrange?
Mostra la soluzione ragionata
No: ln(0) non è definito e le derivate non sono continue su quel segmento. Non basta calcolare un polinomio.
Successioni: dai primi termini alla convergenza · Ripassa i limiti · Ripassa le derivate