Una successione descrive quantità che cambiano per passi numerati: un capitale dopo ogni anno, l’errore dopo ogni iterazione o una somma dopo ogni nuovo addendo. Non basta calcolare i primi valori: vogliamo capire che cosa succede quando il numero dei passi cresce senza limite.
Successioni e Taylor: laboratorio · Indice del percorso
1. Una funzione con indice intero
Scriviamo (aₙ) per la successione e aₙ per il termine di indice n. Qui n parte da 1. La regola aₙ=1/n genera 1, 1/2, 1/3, … . In (4,1/4), 4 è il numero del passo e 1/4 è il risultato. Il grafico contiene punti isolati: collegarli non crea termini intermedi.
Una lista finita non determina una regola unica: infinite formule possono coincidere sui primi dieci termini e poi comportarsi diversamente.
2. Formula esplicita e ricorrenza
La formula esplicita aₙ=2n+1 dà direttamente a₁₀₀=201. La stessa successione è definita da a₁=3, aₙ₊₁=aₙ+2: per avanzare serve il termine precedente. Senza dato iniziale una ricorrenza non determina una successione unica.
Per a₁=1, aₙ₊₁=√(2+aₙ), otteniamo 1, √3, √(2+√3), … . L’equazione di un eventuale limite non ne dimostra l’esistenza.
3. Progressioni aritmetiche e geometriche
Nell’aritmetica la differenza è costante: aₙ=a₁+(n−1)d. Se d>0 tende a +∞; se d<0 a −∞; se d=0 è costante. Nella geometrica aₙ=a₁qⁿ⁻¹. Il laboratorio usa qⁿ, con primo termine q.
Per qⁿ: |q|<1 dà limite 0; q=1 dà 1; q=−1 oscilla; q>1 tende a +∞; q<−1 oscilla con ampiezza crescente. Se q=0 e n≥1, tutti i termini sono 0. Nella forma generale conta anche a₁: se è 0, la successione è sempre nulla.
4. Il limite: tutti i termini da un certo punto in poi
aₙ→L ⇔ per ogni ε>0 esiste N intero tale che n≥N implica |aₙ−L|<ε.
ε è la precisione; N dice da quando è rispettata per sempre. Per 1/n e ε=0,05 serve n>20: N=21. Il termine a₂₀=0,05 è sul bordo, escluso dalla disuguaglianza stretta.
La fascia (L−ε,L+ε) è aperta. Cambiare ε cambia N, non il limite. Nel laboratorio N viene da una formula dimostrata, non dal primo punto nella fascia. Il grafico può fermarsi prima di N senza smentire la convergenza. Il limite finito, se esiste, è unico.
5. Convergere, divergere, oscillare
Convergere significa avere un limite finito. Per n→+∞, ogni soglia M è definitivamente superata: nessun termine è il numero “infinito”. Una successione non convergente può invece oscillare senza tendere a nessuno dei due infiniti, come (−1)ⁿ.
Essere limitata non basta: (−1)ⁿ lo è. Cambiare segno non impedisce la convergenza: (−1)ⁿ/n→0. Alcuni testi chiamano divergente ogni non convergente, altri solo le successioni con limite infinito: qui specifichiamo il comportamento.
6. Tre tecniche per i limiti
Potenza dominante: (2n+1)/(n+3)=(2+1/n)/(1+3/n)→2. L’errore è 5/(n+3): basta n>5/ε−3.
Razionalizzare: √(n²+n)−n=n/[√(n²+n)+n]=1/[√(1+1/n)+1]→1/2. “∞−∞” non è un calcolo.
Confronto: −1/n≤sin(n)/n≤1/n. Gli estremi tendono a 0, quindi anche il centro. Le regole per somme, prodotti e quozienti di limiti finiti valgono anche qui; nel quoziente il limite del denominatore deve essere non nullo.
7. Monotonia e limitatezza: dimostrazione
Una successione reale crescente e limitata superiormente converge al supremo dei suoi valori; una decrescente e limitata inferiormente converge all’infimo. “Crescente” può includere uguaglianze.
Per a₁=1, aₙ₊₁=√(2+aₙ), se 0≤aₙ≤2 allora 0≤aₙ₊₁≤2: l’induzione mantiene tutti i termini in [0,2]. Inoltre √(2+aₙ)≥aₙ equivale, qui, a (2−aₙ)(aₙ+1)≥0. La successione è crescente e limitata, quindi converge.
Solo ora L=√(2+L): L²−L−2=0 dà 2 o −1. Il vincolo L≥0 esclude −1. Infine 2−aₙ₊₁=(2−aₙ)/(2+aₙ₊₁)≤(2−aₙ)/3, quindi 0≤2−aₙ≤3⁻⁽ⁿ⁻¹⁾: anche l’errore è controllato.
8. Sottosuccessioni e criterio di Cauchy
Una sottosuccessione sceglie indici strettamente crescenti n₁<n₂<… . Se aₙ→L, ogni sottosuccessione ha lo stesso limite. In (−1)ⁿ i termini pari valgono 1 e i dispari −1: due limiti diversi dimostrano che il limite globale non esiste. Una sola sottosuccessione convergente non basta.
In ℝ, convergere equivale a essere di Cauchy: per ogni ε>0 esiste N tale che m,n≥N implica |aₙ−aₘ|<ε. Confrontiamo termini lontani tra loro, senza conoscere L. Il criterio riguarda tutta la coda infinita, non un campione finito.
9. Successione e serie non sono sinonimi
Una serie si studia mediante le somme parziali Sₙ=a₁+…+aₙ. Per aₙ=1/2ⁿ, Sₙ=1−1/2ⁿ→1: i termini tendono a 0, le somme a 1.
Se una serie converge, aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁→0. Il contrario è falso: 1/n→0, ma Hₙ=1+1/2+…+1/n→+∞. Tra 2ᵏ⁻¹+1 e 2ᵏ ci sono 2ᵏ⁻¹ termini almeno pari a 1/2ᵏ: ogni blocco aggiunge almeno 1/2, quindi le somme non sono limitate.
Per x fissato anche T₀(x), T₁(x), …, i polinomi di Taylor valutati in x, formano una successione di somme parziali. Tenderanno davvero a f(x)?
10. Il numero e e i limiti del calcolatore
(1+1/n)ⁿ cresce verso e≈2,718281828. Da u−u²/2≤ln(1+u)≤u, per u≥0, segue 0≤1−n ln(1+1/n)≤1/(2n). Usando 1−e⁻ᵛ≤v, per v≥0, otteniamo 0<e−(1+1/n)ⁿ≤e/(2n)<3/(2n). Questa stima semplice, non ottimale, dà un N sufficiente.
Il calcolatore ha precisione finita: la ricorrenza delle radici può stampare 2 anche quando il valore matematico è ancora minore. Zero visualizzato non significa errore esattamente nullo.
Nel laboratorio scegli uno dei dieci casi, premi Esplora e usa Avvia per rivelare un termine alla volta. Cambia ε per vedere fascia e N; confronta 1/n con le somme armoniche. La classificazione dipende dalla formula del caso guidato, non dai punti osservati. Non è un risolutore per successioni arbitrarie.
Esercizi: prova prima di aprire
1. Trova a₁₀ per aₙ=3n−2.
Mostra la soluzione ragionata
3·10−2=28. L’indice non è il valore.
2. Per 1/n, trova N con ε=0,01.
3. Per (2n+1)/(n+3), trova limite e N con ε=0,1.
4. (−0,8)ⁿ converge?
5. Essere limitata basta?
Mostra la soluzione ragionata
No: (−1)ⁿ ha sottosuccessioni pari e dispari con limiti diversi, 1 e −1.
6. Calcola il limite di √(n²+n)−n.
Mostra la soluzione ragionata
Razionalizzando: 1/[√(1+1/n)+1]→1/2.
7. Se aₙ→0, Σaₙ converge sempre?
Mostra la soluzione ragionata
No: i termini armonici tendono a 0, ma ogni blocco tra potenze di 2 aggiunge almeno 1/2. Le somme non sono limitate.
8. Confronta i limiti di 1/2ⁿ e Sₙ=Σₖ₌₁ⁿ1/2ᵏ.
Mostra la soluzione ragionata
Il termine tende a 0; Sₙ=1−1/2ⁿ tende a 1. Sono due successioni diverse.
Taylor con resto: approssimare e controllare l’errore · Ripassa i limiti · Ripassa le derivate