Dopo i limiti affrontiamo una domanda nuova: quanto rapidamente cambia una quantità proprio in un certo istante o punto? La derivata nasce da un limite, ma diventa anche una funzione da studiare. Costruiamo il significato prima delle regole, poi colleghiamo calcoli, grafici e applicazioni.
Che cosa misura una derivata?
Se s(t) è una posizione in metri e t un tempo in secondi, [s(t+h)-s(t)]/h misura la velocità media nell’intervallo. Per conoscere la velocità istantanea facciamo tendere h a zero. Se una funzione descrive un costo in euro rispetto alla quantità prodotta, la derivata misura euro per unità di prodotto.
La derivata è un tasso di variazione locale: non è l’altezza del grafico. Una funzione può essere positiva ma decrescente, quindi avere derivata negativa. Le unità di misura sono quelle dell’uscita divise per quelle dell’ingresso.
Rapporto incrementale e retta secante
Fissiamo P=(a,f(a)) e un punto vicino Q=(a+h,f(a+h)), con h≠0. L’incremento orizzontale è h, quello verticale è f(a+h)-f(a). La pendenza della secante PQ è:
Q(h) = [f(a+h)-f(a)]/h
h può essere positivo o negativo. Non cambiare solo il segno del denominatore: per h negativo cambia anche il punto a+h. Il punto a e i punti vicini usati devono appartenere al dominio.
La derivata è un limite, non una divisione per zero
La derivata ordinaria in un punto interno a è il limite finito:
f′(a) = lim(h→0) [f(a+h)-f(a)]/h
Si calcola il quoziente per h≠0 e poi se ne studia il limite. Non si sostituisce h=0 ottenendo 0/0 come risultato. Per l’esistenza della derivata devono coincidere i limiti del rapporto incrementale da sinistra e da destra, ed essere finiti.
La scrittura f′(a) indica un numero, mentre f′(x) indica la funzione derivata. Le notazioni y′ e dy/dx si riferiscono allo stesso concetto; dy/dx non autorizza a trattare sempre i simboli come una frazione ordinaria.
Un calcolo completo dalla definizione: f(x)=x²
Si ha f(a+h)=(a+h)²=a²+2ah+h² e f(a)=a². Quindi:
Q(h)=[a²+2ah+h²-a²]/h=(2ah+h²)/h=2a+h, per h≠0.
Facendo h→0 otteniamo f′(a)=2a, cioè f′(x)=2x. In a=1 la derivata è 2; per h=0,1 il rapporto è 2,1, per h=-0,1 è 1,9. I due valori si avvicinano a 2 da lati opposti.
Per una costante c il numeratore è c-c=0: la derivata è 0. Per una retta mx+q, il rapporto incrementale è sempre m: la derivata è m.
L’equazione della tangente e l’approssimazione locale
Se f è derivabile in a, la tangente passa per (a,f(a)) con pendenza f′(a):
y = f(a) + f′(a)(x-a)
Per x² in a=1: y=1+2(x-1)=2x-1. La secante ha invece pendenza Q(h), ancora dipendente da h. La tangente può attraversare il grafico: non è necessariamente una retta che lo tocca in un solo punto.
Per piccoli incrementi f(a+h)≈f(a)+f′(a)h. Per √x in a=4: √(4,04)≈2+(1/4)·0,04=2,01. È un’approssimazione, non un’uguaglianza esatta; la sola derivabilità garantisce un errore piccolo rispetto a h, non un generico errore nullo.
Derivabilità e continuità: un’implicazione sola
Se f è derivabile in a, allora è continua in a. Infatti, per h≠0, f(a+h)-f(a)=Q(h)·h; se Q(h) tende a un numero finito, il prodotto tende a 0.
Il contrario è falso. |x| è continua in zero ma i rapporti incrementali valgono -1 a sinistra e 1 a destra: non esiste una derivata unica. La continuità è necessaria, non sufficiente.
Se il punto manca, come x=1 per (x²-1)/(x-1), non possiamo nemmeno formare il rapporto incrementale con f(1): nessuna derivata della funzione originale in quel punto, benché altrove la derivata sia 1.
Punti angolosi, cuspidi, tangenti verticali e bordi
|x|in zero: due pendenze laterali finite ma diverse, punto angoloso.|x|^(2/3)in zero: rapporti verso -∞ a sinistra e +∞ a destra, cuspide con semitangenti verticali; nessuna derivata finita.cbrt(x)in zero: rapporti verso +∞ nei due lati, tangente verticale x=0, ma nessuna derivata ordinaria finita.√xin zero: il dominio consente solo il rapporto destro, che tende a +∞. È un comportamento unilaterale al bordo, non una derivata ordinaria bilatera.- Una funzione a salto non è continua nel punto: non può essere derivabile lì.
Il quoziente simmetrico [f(a+h)-f(a-h)]/(2h) non sostituisce la definizione: per |x| in zero vale sempre 0, ma la derivata non esiste.
Le derivate fondamentali e i rispettivi domini
| Funzione | Derivata | Condizioni |
|---|---|---|
| c | 0 | c costante |
| xⁿ | nx^(n-1) | Per n intero positivo, su ℝ |
| x^α | αx^(α-1) | Per α reale, certamente su x>0; altri casi richiedono il dominio appropriato |
| 1/x | -1/x² | x≠0 |
| √x | 1/(2√x) | x>0 |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| bˣ | bˣ ln b | b>0, b≠1 |
| ln x | 1/x | x>0 |
| log_b x | 1/(x ln b) | x>0, b>0, b≠1 |
| sin x | cos x | Radianti |
| cos x | -sin x | Radianti |
| tan x | 1/cos²x | cos x≠0, radianti |
La tabella non cancella le esclusioni della funzione iniziale. Per esempio (ln|x|)′=1/x vale per x≠0, mentre ln x non è definito per x negativi.
Somma, differenza e fattori costanti
Dove le funzioni coinvolte sono derivabili: (u+v)′=u′+v′, (u-v)′=u′-v′ e (cu)′=cu′, con c costante.
Esempio: f(x)=3x⁴-2x²+7x-5. Derivando termine per termine: f′(x)=12x³-4x+7. Il termine -5 scompare perché è costante; 7x dà 7, non 0.
Prima di applicare molte regole, semplifica quando è lecito: x·x=x². Conserva però il dominio originale se semplifichi una frazione.
Prodotto e quoziente: non si derivano pezzo per pezzo
(uv)′=u′v+uv′, non u′v′. Per x sin x: f′=1·sin x+x·cos x.
(u/v)′=(u′v-uv′)/v², con v≠0. Per (x²+1)/(x-1):
f′=[2x(x-1)-(x²+1)]/(x-1)²=(x²-2x-1)/(x-1)²=1-2/(x-1)², per x≠1. Attenzione all’ordine della sottrazione e al quadrato del denominatore.
Funzioni composte: la regola della catena
Per f(x)=g(u(x)), si deriva l’esterna nel valore interno e si moltiplica per la derivata dell’interno:
f′(x)=g′(u(x))·u′(x)
Per (3x+1)⁴: esterna u⁴ → 4u³; interna 3x+1 → 3. Dunque f′=4(3x+1)³·3=12(3x+1)³. Per sin(x²) otteniamo 2x cos(x²); per ln(x²+1), 2x/(x²+1).
Le catene si combinano con prodotti e quozienti. Per x²e^(3x): f′=2xe^(3x)+3x²e^(3x). Omettere il fattore interno è uno degli errori più frequenti.
Un passo oltre: derivazione implicita e logaritmica
Se x²+y²=25 descrive y localmente come funzione derivabile di x, deriviamo anche y con la catena: 2x+2y·y′=0, dunque y′=-x/y dove y≠0. Nei punti y=0 questa formula non dà una pendenza finita e serve un’analisi separata.
Per y=x^x, con x>0, prendiamo il logaritmo: ln y=x ln x. Derivando: y′/y=ln x+1, quindi y′=x^x(ln x+1). La regola delle potenze con esponente costante non basta quando anche l’esponente dipende da x.
Segno della derivata, estremi e ottimizzazione
Su un intervallo, f′>0 implica crescenza e f′<0 decrescenza. Non collegare intervalli separati da un punto escluso. I punti con f′=0 sono candidati, non automaticamente massimi o minimi: x³ è crescente anche attraversando lo zero.
Un passaggio da + a - indica un massimo locale; da - a + un minimo locale. Si controllano anche punti non derivabili e bordi inclusi. Per ottimizzare su un intervallo chiuso, confronta tutti i candidati con gli estremi dell’intervallo.
Esempio: rettangolo con perimetro 20. Se un lato è x, l’altro è 10-x; A(x)=x(10-x) per 0<x<10. A′=10-2x: positiva prima di 5 e negativa dopo. L’area massima è A(5)=25, ottenuta dal quadrato 5×5.
Derivata seconda: come cambia la pendenza
La derivata seconda f″ è la derivata di f′. Dove f″>0 la pendenza aumenta: concavità verso l’alto; dove f″<0 diminuisce: concavità verso il basso. Per una posizione s(t), s′ è velocità e s″ accelerazione: metri al secondo e metri al secondo quadrato.
Un flesso richiede un cambio effettivo di concavità in un punto del grafico. x⁴ ha f″=12x², nulla in zero ma positiva dai due lati: nessun flesso. x³ ha f″=6x, che cambia segno: flesso in zero.
Il test f′(a)=0 e f″(a)>0 dà un minimo locale; con f″(a)<0 un massimo, sotto le usuali ipotesi di regolarità. Se f″(a)=0 il test non conclude.
Rolle e Lagrange: collegare variazione media e istantanea
Rolle: se f è continua su [u,v], derivabile su (u,v) e f(u)=f(v), esiste almeno un c interno con f′(c)=0. Per f(x)=x² su [-1,1], c=0.
Lagrange: con continuità su [u,v] e derivabilità su (u,v), esiste c interno tale che f′(c)=[f(v)-f(u)]/(v-u). Una tangente è parallela alla secante degli estremi. Per x² su [0,2], la pendenza media è 2 e f′(1)=2.
Le ipotesi contano: |x| su [-1,1] ha estremi uguali ma non è derivabile in zero e non ha alcun punto con derivata zero. Non si può applicare Rolle ignorando il punto angoloso.
Ritornare ai limiti: de l’Hôpital, con prudenza
Per forme 0/0 o ∞/∞, sotto le ipotesi del teorema, si può studiare il rapporto delle derivate. In una versione usuale, f e g sono derivabili in un intorno bucato del punto, g′≠0, e il limite di f′/g′ esiste finito o infinito. Le altre condizioni di dominio e del quoziente vanno rispettate.
lim(x→0)(e^x-1)/x=lim(x→0)e^x/1=1, se la derivata dell’esponenziale è già stata stabilita indipendentemente. Non si deve usare una regola per dimostrare il limite da cui quella stessa regola è stata ricavata.
Non è la regola di derivazione di un quoziente: qui si confrontano limiti di rapporti, non si afferma (f/g)′=f′/g′. Le altre forme indeterminate richiedono prima una trasformazione; quando una semplice fattorizzazione basta, è spesso più chiara.
Derivazione simbolica e stima numerica non sono la stessa cosa
Una formula per f′ viene dalle regole e dalle loro condizioni. Una differenza finita usa un h piccolo ma non nullo: è una stima. Se h è troppo grande, il rapporto resta lontano dalla derivata; se è troppo piccolo, la sottrazione di valori quasi uguali perde cifre.
I casi guidati usano quando possibile rapporti equivalenti stabili: per x², Q(h)=2a+h; per eˣ, Q(h)=e^a·expm1(h)/h. Non cambiano il significato matematico. L’inserimento libero valuta la formula e segnala i limiti del calcolo, senza certificare automaticamente l’esistenza della derivata.
Una formula derivata non valutabile in un punto non è da sola una prova di non derivabilità: può richiedere una semplificazione o uno studio del rapporto incrementale. Anche un grafico è un campionamento, non una dimostrazione.
Come esplorare il laboratorio
Scegli uno dei diciassette casi o inserisci una funzione. Il punto a è modificabile anche nei casi guidati; il selettore permette h positivo, negativo o entrambi. Il cursore riduce |h| da 1 a 10⁻⁶. Avvia, Pausa e Un passo fanno vedere la convergenza delle secanti.
Nel primo grafico confronta f, le secanti e la tangente quando giustificata; il secondo mostra f′, eventualmente f″. Attiva lo zoom vicino al punto e confronta i rapporti nelle tabelle, compreso quello simmetrico. Nei casi non regolari la spiegazione distingue chiaramente le diverse situazioni.
Le formule a tratti dei casi guidati sono predisposte. L’inserimento libero usa espressioni in x, radianti e decimali con punto. Le conclusioni generali si giustificano con il ragionamento: non con pochi numeri dello schermo.
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Sedici esercizi con soluzione da aprire dopo il tentativo
1. x^2
Trova la derivata in 2 dalla definizione e la tangente.
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Q(h)=4+h→4. Il punto è (2,4), quindi y=4+4(x-2)=4x-4.
2. 3*x^4-2*x^2+7*x-5
Deriva termine per termine.
Mostra la soluzione ragionata
f′=12x³-4x+7. In zero la pendenza è 7 e f(0)=-5: tangente y=-5+7x.
3. x*sin(x)
Applica la regola del prodotto.
Mostra la soluzione ragionata
f′=sin x+x cos x. In zero f′=0 e f=0: tangente orizzontale y=0.
4. (x^2+1)/(x-1)
Deriva il quoziente conservando il dominio.
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f′=[2x(x-1)-(x²+1)]/(x-1)²=1-2/(x-1)², x≠1. In zero f=-1 e f′=-1: y=-1-x.
5. (3*x+1)^4
Individua funzione esterna e interna.
Mostra la soluzione ragionata
Esterna u⁴, interna 3x+1: f′=4(3x+1)³·3=12(3x+1)³. In zero la pendenza è 12.
6. ln(x^2+1)
Usa la catena per il logaritmo.
Mostra la soluzione ragionata
L’argomento è sempre positivo. f′=2x/(x²+1); in 1 vale 1. La tangente è y=ln 2+(x-1).
7. sqrt(1+x^2)
Deriva la radice composta.
Mostra la soluzione ragionata
f′=[1/(2√(1+x²))]·2x=x/√(1+x²). In zero la pendenza è 0 e f=1: y=1.
8. x^2*exp(3*x)
Combina prodotto e catena.
Mostra la soluzione ragionata
f′=2xe^(3x)+3x²e^(3x)=e^(3x)(2x+3x²). In 1 vale 5e³.
9. abs(x)
Il quoziente simmetrico zero prova la derivabilità?
Mostra la soluzione ragionata
No. I rapporti sinistro e destro sono -1 e 1, quindi la derivata non esiste. Il quoziente simmetrico è 0 ma non è il limite richiesto dalla definizione.
10. cbrt(x)
Descrivi la pendenza in zero.
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Q(h)=cbrt(h)/h=1/|h|^(2/3)→+∞ dai due lati. Tangente verticale x=0, nessuna derivata ordinaria finita.
11. sqrt(x)
Perché il bordo del dominio richiede attenzione?
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Non esistono campioni reali a sinistra di zero. A destra Q(h)=1/√h→+∞. È un comportamento unilaterale al bordo, non una derivata bilatera finita.
12. x^3
Una derivata nulla implica un massimo o un minimo?
Mostra la soluzione ragionata
No. f′=3x²≥0 e la funzione è crescente attraversando zero. f″=6x cambia segno: zero è un flesso a tangente orizzontale.
13. x^4
Applica il test della seconda derivata in zero.
Mostra la soluzione ragionata
f′(0)=0 e f″(0)=0: il test non conclude. Studiando f′=4x³ si trova un minimo; f″=12x² non cambia segno, dunque nessun flesso.
14. x*(10-x)
Massimizza l’area del rettangolo con perimetro 20.
Mostra la soluzione ragionata
Per 0<x<10, A′=10-2x cambia da positiva a negativa in 5. A(5)=25 è il massimo: i lati sono 5 e 5.
15. x^x
Deriva usando il logaritmo, per x>0.
Mostra la soluzione ragionata
Da ln y=x ln x segue y′/y=ln x+1. Quindi y′=x^x(ln x+1); in 1 vale 1.
16. x^2
Trova il punto di Lagrange per x² su [0,2].
Mostra la soluzione ragionata
La funzione è continua su [0,2] e derivabile su (0,2). La pendenza media è (4-0)/(2-0)=2. Risolvendo 2c=2 otteniamo c=1, interno all’intervallo.