Après les limites, voici une nouvelle question : à quelle vitesse une quantité change-t-elle en un instant ou un point précis ? La dérivée naît d’une limite, mais devient aussi une fonction à étudier. Construisons son sens avant les règles, puis relions calculs, graphes et applications.
Que mesure une dérivée ?
Si s(t) est une position en mètres et t un temps en secondes, [s(t+h)-s(t)]/h mesure la vitesse moyenne sur l’intervalle. Pour obtenir la vitesse instantanée, on fait tendre h vers zéro. Si une fonction décrit un coût en euros selon la quantité produite, sa dérivée mesure des euros par unité de produit.
La dérivée est un taux de variation local : pas la hauteur du graphe. Une fonction peut être positive mais décroissante, donc avoir une dérivée négative. Ses unités sont celles de la sortie divisées par celles de l’entrée.
Taux d’accroissement et droite sécante
Fixons P=(a,f(a)) et un point voisin Q=(a+h,f(a+h)), avec h≠0. L’accroissement horizontal vaut h, le vertical f(a+h)-f(a). La pente de la sécante PQ est :
Q(h) = [f(a+h)-f(a)]/h
h peut être positif ou négatif. Ne change pas seulement le signe du dénominateur : pour h négatif, a+h change aussi. a et les points voisins utilisés doivent appartenir au domaine.
La dérivée est une limite, pas une division par zéro
La dérivée ordinaire en un point intérieur a est la limite finie :
f′(a) = lim(h→0) [f(a+h)-f(a)]/h
On calcule le quotient pour h≠0, puis on étudie sa limite. Remplacer h par 0 et obtenir 0/0 n’est pas un résultat. Pour que la dérivée existe, les limites à gauche et à droite du taux d’accroissement doivent coïncider et être finies.
f′(a) désigne un nombre, tandis que f′(x) désigne la fonction dérivée. Les notations y′ et dy/dx expriment le même concept ; dy/dx n’autorise pas à traiter systématiquement les symboles comme une fraction ordinaire.
Un calcul complet par définition : f(x)=x²
On a f(a+h)=(a+h)²=a²+2ah+h² et f(a)=a². Ainsi :
Q(h)=[a²+2ah+h²-a²]/h=(2ah+h²)/h=2a+h, pour h≠0.
En faisant h→0, on obtient f′(a)=2a, donc f′(x)=2x. En a=1, la dérivée vaut 2 ; h=0,1 donne 2,1 et h=-0,1 donne 1,9. Les deux rapports se rapprochent de 2 de côtés opposés.
Pour une constante c, le numérateur c-c vaut 0 : la dérivée est 0. Pour une droite mx+q, le taux d’accroissement vaut toujours m : la dérivée est m.
Équation de la tangente et approximation locale
Si f est dérivable en a, la tangente passe par (a,f(a)) avec pente f′(a) :
y = f(a) + f′(a)(x-a)
Pour x² en a=1 : y=1+2(x-1)=2x-1. La sécante a une pente Q(h), encore dépendante de h. Une tangente peut traverser le graphe : elle ne le touche pas nécessairement en un seul point.
Pour de petits accroissements, f(a+h)≈f(a)+f′(a)h. Pour √x en a=4 : √(4,04)≈2+(1/4)·0,04=2,01. C’est une approximation, non une égalité exacte ; la dérivabilité seule garantit une erreur petite devant h, pas une erreur généralement nulle.
Dérivabilité et continuité : une implication seulement
Si f est dérivable en a, elle y est continue. En effet, pour h≠0, f(a+h)-f(a)=Q(h)·h ; si Q(h) tend vers un nombre fini, le produit tend vers 0.
La réciproque est fausse. |x| est continue en zéro, mais ses taux d’accroissement valent -1 à gauche et 1 à droite : aucune dérivée unique. La continuité est nécessaire, non suffisante.
Si le point manque, comme x=1 pour (x²-1)/(x-1), on ne peut même pas former un quotient ancré en f(1). La fonction initiale n’a pas de dérivée en ce point, bien que sa dérivée vaille 1 ailleurs.
Points anguleux, points de rebroussement, tangentes verticales et bords
|x|en zéro : pentes latérales finies mais différentes, point anguleux.|x|^(2/3)en zéro : rapports vers -∞ à gauche et +∞ à droite, point de rebroussement avec demi-tangentes verticales ; aucune dérivée finie.cbrt(x)en zéro : rapports vers +∞ des deux côtés, tangente verticale x=0 mais aucune dérivée ordinaire finie.√xen zéro : le domaine n’autorise que le rapport droit, qui tend vers +∞. C’est un comportement unilatéral au bord, non une dérivée ordinaire bilatérale.- Une fonction à saut n’est pas continue au point : elle ne peut pas y être dérivable.
Le quotient symétrique [f(a+h)-f(a-h)]/(2h) ne remplace pas la définition : pour |x| en zéro il vaut toujours 0, mais la dérivée n’existe pas.
Dérivées usuelles et domaines respectifs
| Fonction | Dérivée | Conditions |
|---|---|---|
| c | 0 | c constante |
| xⁿ | nx^(n-1) | Pour n entier strictement positif, sur ℝ |
| x^α | αx^(α-1) | Pour α réel, certainement sur x>0 ; les autres cas demandent le domaine approprié |
| 1/x | -1/x² | x≠0 |
| √x | 1/(2√x) | x>0 |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| bˣ | bˣ ln b | b>0, b≠1 |
| ln x | 1/x | x>0 |
| log_b x | 1/(x ln b) | x>0, b>0, b≠1 |
| sin x | cos x | Radians |
| cos x | -sin x | Radians |
| tan x | 1/cos²x | cos x≠0, radians |
Ce tableau ne supprime pas les exclusions de la fonction initiale. Ainsi, (ln|x|)′=1/x pour x≠0, tandis que ln x n’est pas défini pour x négatif.
Sommes, différences et facteurs constants
Là où les fonctions sont dérivables : (u+v)′=u′+v′, (u-v)′=u′-v′ et (cu)′=cu′, avec c constante.
Exemple : f(x)=3x⁴-2x²+7x-5. En dérivant terme à terme : f′(x)=12x³-4x+7. Le terme -5 disparaît car il est constant ; 7x donne 7, non 0.
Simplifie d’abord lorsque c’est permis : x·x=x². Conserve toutefois le domaine initial si tu simplifies une fraction.
Produits et quotients : ne pas dériver séparément les morceaux
(uv)′=u′v+uv′, et non u′v′. Pour x sin x : f′=1·sin x+x·cos x.
(u/v)′=(u′v-uv′)/v², avec v≠0. Pour (x²+1)/(x-1) :
f′=[2x(x-1)-(x²+1)]/(x-1)²=(x²-2x-1)/(x-1)²=1-2/(x-1)², pour x≠1. Attention à l’ordre de la soustraction et au dénominateur au carré.
Fonctions composées : la règle de la chaîne
Pour f(x)=g(u(x)), on dérive l’extérieure à la valeur intérieure et on multiplie par la dérivée de l’intérieur :
f′(x)=g′(u(x))·u′(x)
Pour (3x+1)⁴ : extérieure u⁴ → 4u³ ; intérieure 3x+1 → 3. Donc f′=4(3x+1)³·3=12(3x+1)³. Pour sin(x²), on obtient 2x cos(x²) ; pour ln(x²+1), 2x/(x²+1).
La chaîne se combine avec produits et quotients. Pour x²e^(3x) : f′=2xe^(3x)+3x²e^(3x). Oublier le facteur intérieur est une erreur fréquente.
Un pas de plus : dérivation implicite et logarithmique
Si x²+y²=25 définit localement y comme fonction dérivable de x, on dérive aussi y par la chaîne : 2x+2y·y′=0, donc y′=-x/y lorsque y≠0. En y=0, cette formule ne donne pas de pente finie et nécessite une étude séparée.
Pour y=x^x, avec x>0, prenons le logarithme : ln y=x ln x. En dérivant : y′/y=ln x+1, puis y′=x^x(ln x+1). La règle des puissances à exposant constant ne suffit pas quand l’exposant dépend aussi de x.
Signe de la dérivée, extrema et optimisation
Sur un intervalle, f′>0 implique croissance et f′<0 décroissance. Ne relie pas des intervalles séparés par un point exclu. Les points avec f′=0 sont des candidats, non automatiquement des extrema : x³ croît en traversant zéro.
Le passage de + à - indique un maximum local ; de - à + un minimum local. Vérifie aussi points non dérivables et bords inclus. Pour optimiser sur un intervalle fermé, compare tous les candidats et les extrémités.
Exemple : rectangle de périmètre 20. Si un côté vaut x, l’autre vaut 10-x ; A(x)=x(10-x) pour 0<x<10. A′=10-2x est positive avant 5 et négative après. L’aire maximale vaut A(5)=25, obtenue par un carré 5×5.
Dérivée seconde : comment varie la pente
La dérivée seconde f″ est la dérivée de f′. Là où f″>0, la pente augmente : courbure vers le haut ; là où f″<0, elle diminue : courbure vers le bas. Pour une position s(t), s′ est la vitesse et s″ l’accélération : mètres par seconde et mètres par seconde au carré.
Une inflexion exige un changement effectif de courbure en un point du graphe. x⁴ a f″=12x², nulle en zéro mais positive des deux côtés : aucune inflexion. x³ a f″=6x, qui change de signe : inflexion en zéro.
Le test f′(a)=0 et f″(a)>0 donne un minimum local ; f″(a)<0 un maximum, sous les hypothèses habituelles de régularité. Si f″(a)=0, le test ne conclut pas.
Rolle et les accroissements finis : variations moyenne et instantanée
Rolle : si f est continue sur [u,v], dérivable sur (u,v) et f(u)=f(v), il existe au moins un c intérieur tel que f′(c)=0. Pour f(x)=x² sur [-1,1], c=0.
Théorème des accroissements finis : avec continuité sur [u,v] et dérivabilité sur (u,v), un c intérieur vérifie f′(c)=[f(v)-f(u)]/(v-u). Une tangente est parallèle à la sécante des extrémités. Pour x² sur [0,2], la pente moyenne vaut 2 et f′(1)=2.
Les hypothèses comptent : |x| sur [-1,1] a des valeurs égales aux extrémités mais n’est pas dérivable en zéro, et sa dérivée ne s’annule nulle part. On ne peut pas appliquer Rolle en ignorant le point anguleux.
Revenir aux limites : la règle de l’Hôpital avec prudence
Pour les formes 0/0 ou ∞/∞, sous les hypothèses du théorème, on peut étudier le rapport des dérivées. Dans une version usuelle, f et g sont dérivables dans un voisinage privé du point, g′≠0, et la limite de f′/g′ existe, finie ou infinie. Les autres conditions de domaine et de quotient doivent aussi être respectées.
lim(x→0)(e^x-1)/x=lim(x→0)e^x/1=1, si la dérivée de l’exponentielle a déjà été établie indépendamment. Il ne faut pas utiliser une règle pour démontrer la limite dont cette même règle a été déduite.
Ce n’est pas la dérivation d’un quotient : on compare des limites de rapports, sans affirmer (f/g)′=f′/g′. Les autres formes indéterminées exigent une transformation préalable ; quand une simple factorisation suffit, elle est souvent plus claire.
Dérivation symbolique et estimation numérique sont différentes
Une formule de f′ vient des règles et de leurs conditions. Une différence finie utilise un h petit mais non nul : c’est une estimation. Si h est trop grand, le rapport reste éloigné de la dérivée ; s’il est trop petit, soustraire des valeurs presque égales fait perdre des chiffres.
Les cas guidés utilisent si possible des rapports équivalents stables : pour x², Q(h)=2a+h ; pour eˣ, Q(h)=e^a·expm1(h)/h. Le sens mathématique ne change pas. La saisie libre évalue l’expression et signale les limites du calcul sans certifier automatiquement la dérivabilité.
Une formule dérivée non évaluable ne prouve pas à elle seule la non-dérivabilité : une simplification ou une étude séparée du taux d’accroissement peut être nécessaire. Un graphe est aussi échantillonné, non une preuve.
Comment explorer le laboratoire
Choisis l’un des dix-sept cas ou saisis une fonction. Le point a est modifiable même dans les cas guidés ; le sélecteur affiche h positif, négatif ou les deux. Le curseur réduit |h| de 1 à 10⁻⁶. Démarrer, Pause et Un pas montrent la convergence des sécantes.
Le premier graphe compare f, les sécantes et la tangente lorsqu’elle est justifiée ; le second montre f′ et éventuellement f″. Active le zoom près du point et compare les tableaux, y compris le quotient symétrique. Les explications distinguent les différents cas non réguliers.
Les définitions par morceaux guidées sont préconfigurées. La saisie libre utilise des expressions en x, radians et décimales avec point. Les conclusions générales se justifient par le raisonnement, pas par quelques valeurs à l’écran.
Repartir du sens d’une limite · Ouvrir le laboratoire des limites
Relier à l’étude de fonction · Ouvrir l’étude de fonction
Seize exercices : ouvrir la solution après avoir essayé
1. x^2
Trouver la dérivée en 2 par définition et la tangente.
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Q(h)=4+h→4. Le point est (2,4), donc y=4+4(x-2)=4x-4.
2. 3*x^4-2*x^2+7*x-5
Dériver terme à terme.
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f′=12x³-4x+7. En zéro la pente vaut 7 et f(0)=-5 : tangente y=-5+7x.
3. x*sin(x)
Appliquer la règle du produit.
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f′=sin x+x cos x. En zéro, f′=0 et f=0 : tangente horizontale y=0.
4. (x^2+1)/(x-1)
Dériver le quotient en conservant le domaine.
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f′=[2x(x-1)-(x²+1)]/(x-1)²=1-2/(x-1)², x≠1. En zéro f=-1 et f′=-1 : y=-1-x.
5. (3*x+1)^4
Identifier fonctions extérieure et intérieure.
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Extérieure u⁴, intérieure 3x+1 : f′=4(3x+1)³·3=12(3x+1)³. En zéro la pente vaut 12.
6. ln(x^2+1)
Utiliser la chaîne pour le logarithme.
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L’argument est toujours positif. f′=2x/(x²+1), qui vaut 1 en x=1. La tangente est y=ln 2+(x-1).
7. sqrt(1+x^2)
Dériver la racine composée.
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f′=[1/(2√(1+x²))]·2x=x/√(1+x²). En zéro la pente vaut 0 et f=1 : y=1.
8. x^2*exp(3*x)
Combiner produit et chaîne.
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f′=2xe^(3x)+3x²e^(3x)=e^(3x)(2x+3x²). En 1, cela vaut 5e³.
9. abs(x)
Un quotient symétrique nul prouve-t-il la dérivabilité ?
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Non. Les taux à gauche et à droite valent -1 et 1 : la dérivée n’existe pas. Le quotient symétrique vaut 0, mais ce n’est pas la limite demandée par la définition.
10. cbrt(x)
Décrire la pente en zéro.
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Q(h)=cbrt(h)/h=1/|h|^(2/3)→+∞ des deux côtés. Tangente verticale x=0, aucune dérivée ordinaire finie.
11. sqrt(x)
Pourquoi faut-il faire attention au bord du domaine ?
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Il n’existe pas d’échantillons réels à gauche de zéro. À droite Q(h)=1/√h→+∞. C’est un comportement unilatéral au bord, non une dérivée bilatérale finie.
12. x^3
Une dérivée nulle implique-t-elle un extremum ?
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Non. f′=3x²≥0 et la fonction croît en traversant zéro. f″=6x change de signe : inflexion à tangente horizontale.
13. x^4
Appliquer le test de la dérivée seconde en zéro.
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f′(0)=0 et f″(0)=0 : le test ne conclut pas. Le signe de f′=4x³ donne un minimum. f″=12x² ne change pas de signe : aucune inflexion.
14. x*(10-x)
Maximiser l’aire du rectangle de périmètre 20.
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Pour 0<x<10, A′=10-2x passe de positive à négative en 5. A(5)=25 est le maximum : les deux côtés valent 5.
15. x^x
Dériver par logarithme, pour x>0.
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De ln y=x ln x suit y′/y=ln x+1. Donc y′=x^x(ln x+1), qui vaut 1 en x=1.
16. x^2
Trouver le point des accroissements finis pour x² sur [0,2].
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La fonction est continue sur [0,2] et dérivable sur (0,2). La pente moyenne vaut (4-0)/(2-0)=2. Résoudre 2c=2 donne c=1, intérieur à l’intervalle.