Une limite répond à cette question : vers quel comportement se dirige f(x) lorsque x se rapproche d’un point ou s’éloigne sans borne ? Elle ne demande pas seulement la valeur de la fonction au point. Partons de cette différence, puis apprenons à calculer et à justifier les réponses.
D’abord l’idée : s’approcher ne signifie pas arriver
Considérons f(x)=2x+1 près de x=2. À gauche : x=1,9 → f(x)=4,8 ; x=1,99 → 4,98. À droite : x=2,1 → 5,2 ; x=2,01 → 5,02. Les abscisses se rapprochent de 2 et les ordonnées de 5.
lim(x→2) (2x+1)=5
La limite n’est pas la dernière valeur d’un tableau : il n’existe pas de « dernier nombre avant 2 ». Elle décrit ce qui se passe lorsque l’on peut s’approcher autant que l’on veut.
Lire la notation d’une limite
Dans lim(x→a) f(x)=L, a est le point vers lequel se dirige la variable ; L est la valeur vers laquelle se dirige la fonction. Ces deux quantités ne coïncident pas nécessairement. x→a⁻ signifie une approche avec x<a ; x→a⁺ avec x>a.
Le symbole ∞ n’est pas un nombre à remplacer dans une expression. x→+∞ signifie que x devient arbitrairement grand ; x→-∞ qu’il devient négatif avec une valeur absolue arbitrairement grande. En revanche, f(x)→+∞ concerne les ordonnées, pas les abscisses.
La limite et la valeur f(a) sont deux informations différentes
Pour f(x)=(x²-1)/(x-1), x=1 est exclu. Pour x≠1, on factorise puis simplifie : f(x)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1. La limite en 1 vaut donc 2, alors que f(1) n’est pas définie.
Si l’on définit g en posant g(1)=5 et g(x)=x+1 pour x≠1, la limite reste 2 : modifier seulement le point ne modifie pas les valeurs voisines. Compare « Trou » et « Valeur attribuée différente » dans le laboratoire : cercle vide et point plein ne disent pas la même chose.
Les limites latérales doivent raconter la même histoire
Lorsque le domaine permet les deux approches, la limite bilatérale finie L existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont toutes deux égales à L. Une comparaison analogue vaut pour une limite infinie unique de même signe.
Pour f(x)=-1 si x<0 ; f(x)=1 si x≥0, la limite à gauche de zéro vaut -1 et celle à droite 1. La limite bilatérale n’existe pas, même si f(0)=1. Pour 1/x en zéro, on trouve -∞ à gauche et +∞ à droite : on ne peut pas simplement répondre « l’infini ».
Pour 1/x², les deux côtés tendent vers +∞. On dit que la limite vaut +∞, en la distinguant d’une limite finie.
Le domaine précède l’approche
On s’approche uniquement par des valeurs autorisées. Le domaine de √x est [0,+∞) : en zéro on étudie la limite à droite, égale à 0. On n’invente pas de racines réelles pour x négatif. Le domaine de ln x est (0,+∞), et sa limite à droite en zéro vaut -∞.
Le point a doit être un point d’accumulation du domaine : il faut des valeurs autorisées distinctes de a arbitrairement proches. Les exclusions restent valables après simplification algébrique. Si un seul côté est disponible, on le précise sans attribuer une approche à l’autre.
Quand peut-on remplacer x ? La continuité
En un point intérieur du domaine, f est continue en a si f(a) est définie et lim(x→a) f(x)=f(a). Aux extrémités incluses, on utilise le côté disponible. Les polynômes, exponentielles et fonctions trigonométriques élémentaires sont continus sur leurs domaines respectifs ; sommes, produits et compositions conservent la continuité là où ils sont définis.
Pour lim(x→2)(x²+1), on remplace x par 2 et on obtient 5. Dans un quotient, cette substitution est permise si le dénominateur ne s’annule pas au point. Elle découle de la continuité : ce n’est pas une règle sans conditions.
Les règles de calcul et leurs conditions
Si f→L et g→M avec L et M finis, alors f+g→L+M, cf→cL et fg→LM. Pour f/g→L/M, il faut M≠0. Avec racines et compositions, on vérifie le domaine et la continuité de la fonction extérieure.
Un dénominateur qui tend vers zéro n’implique pas à lui seul une limite infinie : le numérateur peut aussi s’annuler, le signe changer ou le comportement osciller. Les règles avec des quantités infinies ont aussi des conditions ; ∞-∞ n’est pas une soustraction ordinaire.
Les formes indéterminées ne sont pas des réponses
Les principales formes sont 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0·∞, 1^∞, 0^0 et ∞^0. Elles décrivent le comportement des éléments, mais ne déterminent pas le résultat final.
Près de zéro, x/x→1, x²/x→0 et x/x²=1/x a des limites latérales différentes : les trois commencent par 0/0. Une forme indéterminée invite à transformer l’expression, non à lui attribuer automatiquement 0 ou 1.
Les écritures de puissances désignent ici des formes de limites, pas des valeurs numériques attribuées à 0⁰ ou 1^∞.
Première méthode : factoriser puis simplifier
Calculons lim(x→2)(x²-4)/(x-2). La substitution donne 0/0. Factorisons : x²-4=(x-2)(x+2). Pour x≠2, le quotient vaut x+2 ; la limite est donc 4.
Nous n’avons pas défini la fonction initiale en 2 : nous l’avons remplacée par une expression égale aux points voisins différents de 2, suffisants pour la limite. On simplifie des facteurs communs, pas des termes : on ne peut pas supprimer x dans (x+1)/x.
Deuxième méthode : utiliser le conjugué
Pour lim(x→0)(√(1+x)-1)/x, on rencontre 0/0. Multiplions numérateur et dénominateur par √(1+x)+1 :
(√(1+x)-1)/x = [(1+x)-1]/[x(√(1+x)+1)] = 1/[√(1+x)+1], pour x≠0 dans le domaine. On peut maintenant substituer : limite 1/2.
La même idée traite √(x²+x)-x lorsque x→+∞. Après rationalisation : x/[√(x²+x)+x]=1/[√(1+1/x)+1]→1/2. Ce passage utilise x>0 : pour x négatif, ne pas oublier √(x²)=|x|.
Limites à l’infini et termes dominants
Pour (2x²+1)/(x²+3), divisons tous les termes par x² : (2+1/x²)/(1+3/x²)→2, à +∞ comme à -∞. La droite y=2 est une asymptote horizontale dans les deux directions.
Pour les quotients de polynômes : degré du numérateur inférieur → limite 0 ; degrés égaux → rapport des coefficients dominants ; degré supérieur → étudier la puissance dominante et son signe séparément dans chaque direction. Par exemple, x³/x²=x tend vers +∞ à droite et -∞ à gauche.
Exponentielles et logarithmes demandent des comparaisons spécifiques : lorsque x→+∞, avec a>0 et b>1, ln x / x^a→0 et x^a / b^x→0. On ne compare pas les « degrés » de fonctions non polynomiales.
Limites usuelles : reconnaître la structure
Avec des angles en radians, lim(x→0) sin x / x=1. Comme 1-cos x=2 sin²(x/2), on a (1-cos x)/x²=(1/2)[sin(x/2)/(x/2)]²→1/2.
Autres limites fondamentales lorsque x→0 : ln(1+x)/x→1, (e^x-1)/x→1 et (1+x)^(1/x)→e, dans leurs domaines. Pour α réel fixé, [(1+x)^α-1]/x→α, avec une base positive près de zéro.
Exemple : sin(3x)/x=3·sin(3x)/(3x)→3. De même, on fait apparaître un facteur 3 dans ln(1+3x)/x et on obtient 3. La présence d’un sinus ou d’un logarithme ne suffit pas : arguments, dénominateurs et facteurs doivent correspondre.
Encadrement, oscillations et absence de limite
Puisque |sin(1/x)|≤1, on a |x sin(1/x)|≤|x|. Les bornes -|x| et |x| tendent vers 0 : le théorème des gendarmes donne donc x sin(1/x)→0, malgré les oscillations.
En revanche, sin(1/x) n’a pas de limite en zéro. Les suites positives x_n=1/(π/2+2πn) et z_n=1/(3π/2+2πn) tendent toutes deux vers 0, mais les images valent toujours respectivement 1 et -1. Même la limite à droite n’existe pas ; on obtient une contradiction analogue à gauche.
C’est une justification mathématique, plus forte qu’une courbe qui semble agitée. Le laboratoire présente aussi des échantillons de ces deux suites.
Pourquoi un tableau peut tromper
Un tableau contient un nombre fini de valeurs ; une limite concerne tous les points suffisamment proches. Des échantillons mal choisis peuvent masquer oscillations, trous ou détails étroits. Le dessin a lui aussi une résolution finie.
L’ordinateur arrondit également. Dans (1-cos x)/x², pour x très petit, cos x peut être arrondi à 1 : la soustraction perd de l’information. La forme équivalente 2[sin(x/2)/x]² est plus stable. Le cas guidé l’utilise ; la saisie libre évalue la formule écrite et peut montrer le problème. Pour l’exponentielle en de grandes valeurs négatives, un 0 numérique peut venir de l’arrondi, pas d’un zéro exact.
Le sens précis : d’abord ε, puis δ
Écrire lim(x→a) f(x)=L signifie : pour toute précision ε>0 demandée sur les ordonnées, on peut trouver δ>0 tel que, pour tous les x du domaine satisfaisant 0<|x-a|<δ, on ait |f(x)-L|<ε.
δ peut dépendre de ε, pas du x particulier que l’on vérifie. La condition 0<|x-a| exclut a lui-même. Pour f(x)=2x+1, a=2, L=5 : |f(x)-5|=2|x-2|. Choisir δ=ε/2 suffit. Si ε=0,1, prendre δ=0,05.
La bande ε du laboratoire visualise la demande ; tester un seul échantillon n’est pas une preuve. Dans le cas affine, l’identité précédente garantit tous les points de l’intervalle.
Une procédure raisonnée sans utiliser immédiatement les dérivées
- Identifier le point ou la direction à l’infini et le domaine disponible.
- Séparer les côtés et vérifier les signes si nécessaire.
- Essayer la substitution seulement lorsqu’elle est justifiée.
- Reconnaître l’éventuelle forme indéterminée.
- Choisir : factorisation, conjugué, terme dominant, limite usuelle ou encadrement.
- Préciser la valeur, le côté et les conditions ; comparer les limites latérales.
- Employer graphe et tableau comme contrôles, non comme unique justification.
La règle de l’Hôpital utilise les dérivées et possède des hypothèses précises ; elle n’est pas nécessaire pour ces premiers exemples. Nous y reviendrons dans le parcours sur les dérivées.
Explorer puis relier à l’étude de fonction
Choisis l’un des seize cas guidés et déplace le curseur : près d’un point, x=a-h et x=a+h avec h décroissant ; à l’infini, |x| augmente. Lance l’animation, arrête-la et compare abscisses, ordonnées et f(a). Les exemples à l’infini utilisent une échelle logarithmique pour |x|, explicitement annoncée sur l’axe.
Active le zoom près du point et modifie ε pour afficher une bande autour de la limite finie connue. En exploration libre, un éventuel L est seulement ton hypothèse : le laboratoire ne certifie pas automatiquement une limite. Chaque cas guidé accompagne les échantillons d’une explication analytique.
Les limites interviennent dans l’étude de la continuité, des trous, des asymptotes et des bords du domaine. La dérivée naîtra elle-même d’une limite : le taux d’accroissement.
Étude de fonction : le parcours complet · Ouvrir le laboratoire d’étude de fonction
Douze exercices : essayer avant d’ouvrir la solution
1. x^2+1
Calculer la limite lorsque x→2 et justifier la substitution.
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C’est un polynôme continu sur ℝ : la limite vaut 2²+1=5 et coïncide avec f(2).
2. (x^2-4)/(x-2)
Calculer la limite lorsque x→2 sans remplir le point exclu.
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Pour x≠2, le quotient vaut x+2 ; la limite est donc 4. La fonction initiale reste non définie en 2.
3. (sqrt(1+x)-1)/x
Lever la forme 0/0 en zéro.
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Utiliser le conjugué : pour x≠0, l’expression vaut 1/(√(1+x)+1), qui tend vers 1/2.
4. abs(x)/x
Comparer les limites latérales en zéro.
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Pour x<0 la valeur est -1, pour x>0 elle est 1. Les limites latérales diffèrent : la limite bilatérale n’existe pas.
5. 1/(x-2)^2
Que se passe-t-il des deux côtés de 2 ?
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Le dénominateur est positif et tend vers 0 des deux côtés ; le numérateur vaut 1. Les limites latérales et bilatérale valent +∞. x=2 est une asymptote verticale.
6. (3*x^2-x)/(2*x^2+1)
Calculer la limite lorsque x→+∞.
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Diviser par x² : (3-1/x)/(2+1/x²)→3/2. Ne pas remplacer ∞ comme s’il s’agissait d’un nombre.
7. (1-cos(2*x))/x^2
Utiliser une limite usuelle en zéro.
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1-cos(2x)=2sin²x. Le quotient vaut 2(sin x/x)² et tend vers 2. Numériquement, la forme initiale peut perdre de la précision.
8. ln(1+3*x)/x
Reconnaître la structure en zéro.
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Écrire 3·ln(1+3x)/(3x). Le second facteur tend vers 1 : la limite vaut 3 ; près de zéro il faut 1+3x>0.
9. x*sin(1/x)
Justifier la limite malgré l’oscillation.
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|x sin(1/x)|≤|x|→0. L’encadrement prouve la limite 0 ; il ne suffit pas de dire que l’oscillation semble petite.
10. sin(1/x)
Pourquoi les échantillons d’un tableau ne suffisent-ils pas ici ?
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Les suites positives x_n=1/(π/2+2πn) et z_n=1/(3π/2+2πn) tendent vers zéro mais donnent 1 et -1. La limite à droite n’existe pas, donc la bilatérale non plus.
11. 3*x-2
Prouver la limite 1 lorsque x→1 en choisissant δ selon ε.
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|3x-2-1|=3|x-1|. Pour tout ε>0, choisir δ=ε/3 : 0<|x-1|<δ implique |f(x)-1|<ε.
12. sqrt(x^2+4*x)-x
Lever la forme ∞-∞ lorsque x→+∞.
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Rationaliser : 4x/(√(x²+4x)+x)=4/(√(1+4/x)+1), pour x>0. La limite vaut 2.